HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi Program for elektro- og datateknikk 7004 TRONDHEIM

Transkript

1 HØGSKOLEN I SØR-RØNDELAG Avdeling for teknologi Program for elektro- og datateknikk 7004 RONDHEIM ALM005M-A Matematikk 1 Grunnlagfag - 10 tudiepoeng Cae Høt 011 Le dette ført Caen er en "hjemmeoppgave" om du kal arbeide med før ekamen Reultatet av arbeidet kal ikke innlevere 50 % av ekamen vil betå av oppgaver i tilknytning til caen Under denne delen av ekamen er caetekten og din bevarele nødvendige hjelpemidler Huk derfor å ta med både caetekten og bevarelen på ekamendagen Det er viktig at du før ekamen etter deg go inn i caen problemtillinger, og at du beherker løningmetodene og er i tand til å tolke de reultatene du kommer fram til Hvi du i en flervalgoppgave blir purt om ting du ikke har regnet direkte på, bør du være klar over at varalternativene ofte er utformet lik at du likevel kan avgjøre hvilket alternativ om er riktig, ut fra den generelle innikt du har fått gjennom arbeidet med caen Under arbeidet med caen kan du bruke de hjelpemidler du finner heniktmeig (kalkulator /programvare) Vær imidlertid oppmerkom på at noen av pørmålene på ekamen kan forutette at du vet hvordan et problem fra caen kan løe for hånd Du kan arbeide alene med caen, eller ammen med andre Det avgjørende er at du elv tilegner deg innikt i problemene Lykke til med arbeidet! Caetekten på de nete idene inneholder begrepene volumtrøm, tajonær verdi, tidkontant og periode Hvi du leer notatet "Hjelp til caen", om du finner bakert, får du en kort forklaring på hva die begrepene tår for

2 ALM005M-A Matematikk 1, Cae høt 011 Cae: Regulering av vækenivået i en tank 1 apping av væke fra en tank x0 x(t) q(t) Figuren vier en åpen tank med kontant tverrnitt A [m ] og vækenivå x 0 [m] Kranen åpne ved t = 0 og tapping av væke begynner Volumtrømmen q [m 3 /] gjennom kranen er proporjonal med kvadratroten av vækenivået x[m], dv. q k x, k = proporjonalitetkontant Sett opp differeniallikningen for vækenivået x(t) i tanken Lø differeniallikningen Betem tiden det tar å tømme tanken, uttrykt ved A, k og x 0 Skier forløpet til x(t) for 5 m A 1 m, k 0, 0 og x0 1 m. Legg gjerne ytemet inn i SIMULINK, og imuler nivået x(t) for ulike verdier på A og k. Proporjonalregulering av vækenivået i tanken Se figuren nedenfor anken forbinde med et tort vækereervoar appekranen fjerne og en pumpe kople til utløprøret Mellom reervoaret og tanken montere en elektrik reguleringventil om tyre av en datamakin Datamakinen får løpende informajon, via en nivåmåler, om vækenivået i tanken Etter at operatøren har krevet inn et ønket vækenivå r [m] for tanken, ørger datamakinen for å åpne reguleringventilen lik at det går en tilpaet volumtrøm z(t) [m 3 /] gjennom reguleringventilen Vi antar at reguleringen av ventilen kjer kontinuerlig og momentant, uten tidforbruk i datamakinen Den enklete formen for automatik regulering av ventilåpningen er en åkalt P-regulator (proporjonalregulator) Volumtrømmen ut av reguleringventilen ved tiden t er da gitt ved z(t) = K p [r x(t)], K p = proporjonalitetkontant [m /] r = ønket vækenivå i tanken [m] x(t) = virkelig vækenivå i tanken ved tiden t [m]

3 ALM005M-A Matematikk 1, Cae høt Fylling av tom tank med P-regulering Anta at tanken er tom, og at pumpa er lått av Ved t = 0 tarte P-reguleringen av vækenivået i tanken Sett opp differeniallikningen for vækenivået x(t) i tanken Lø differeniallikningen Hva blir tajonærverdien til nivået? Betem tidkontanten for m ytemet Skier forløpet til x(t) for A 1 m, r 1m og K 0, 0. Legg gjerne ytemet inn i SIMULINK, og imuler nivået x(t) for ulike verdier på P K p.. Stabiliering av vækenivået med P-regulering Anta at tanken er fylt opp til det ønkede vækenivået r Ved t = 0 tarte pumpa, og det går en kontant volumtrøm v ut av tanken Sett opp differeniallikningen for vækenivået x(t) i tanken Lø differeniallikningen Hva blir tajonærverdien til nivået? Betem tidkontanten 3 m m for ytemet Skier forløpet til x(t) for A 1 m, r 1 m, KP 0, 0 og v 0, 005. Legg gjerne ytemet inn i SIMULINK, og imuler nivået x(t) for ulike verdier på K. Har vi fått en tilfreillende regulering av vækenivået i tanken? p 3 PI-regulering av vækenivået i tanken En av ulempene med P-regulering er at tajonærverdien av tanken vækenivå avhenger av volumtrømmen v i pumpa I praki kan pumpa lå eg av og på, og kontanten v kan variere over tid Stajonærverdien vil da ogå variere og kan av og til avvike mye fra ønket nivå, r En åkalt PI-regulator fjerner denne ulempen Benytte en PI-regulator, vil volumtrømmen ut av reguleringventilen være gitt ved t 1 z( t) K p ( r x( t)) [ r x( t)] i 0 r = ønket vækenivå i tanken [m] x(t) = virkelig vækenivå i tanken ved tiden t [m] K p = proporjonalitetkontant [m /] i = kontant, kalt integrajontiden []. Navnet PI-regulator kylde formen på z(t) Det førte leddet i z(t) er det amme om ved P- regulering, men det andre leddet er proporjonalt med en integralfunkjon (I-regulering). Siden begge ledd forekommer, er regulatoren en (Proporjonal + Integral)-regulator

4 ALM005M-A Matematikk 1, Cae høt Utledning av differeniallikning med tartbetingeler Anta at tanken er fylt opp til det ønkede vækenivået r Ved t = 0 tarte pumpa og det går en kontant volumtrøm v ut av tanken Sett opp likningen om betemmer x(t) når en PIregulator benytte For å få en ren differeniallikning må du derivere likningen mhp t lik at integralfunkjonen forvinner Du får da en differeniallikning av orden Betem tartbetingelene x(0) og x (0) om du trenger for å løe differeniallikningen Betem tajonærverdien til vækenivået uten å løe differeniallikningen Kommenter varet I punktene 3. og 3.3 ette A = 1, r = 1, v = 0,005 og K p = 0,0 3. Beregning av vækenivået x(t) Beregn og kier x(t) for følgende verdier av integrajontiden i : 1) i = 360 ) i = 00 3) i = 40 I hvilket av de tre tilfellene er det makimale avviket mellom virkelig og ønket vækenivå tørt? Skier volumtrømmen z(t) for de amme verdier av i Hvorfor bør z(t) bli tørre enn null for alle verdier av t? Legg gjerne ytemet inn i SIMULINK, og imuler nivået x(t) og volumtrømmen z(t) for ulike verdier på i. 3.3 Dimenjonering av PI-regulatoren Når en kal dimenjonere PI-regulatoren, er det guntig å velge en verdi for integrajontiden i om fører til et dempet vingeforløp for x(t) Betem i lik at perioden til x(t) blir 00 ekunder Skier forløpet til x(t) for denne verdien av i Ved hvilket tidpunkt avviker vækenivået met fra det ønkede nivået? Hvor tort er det makimale avviket? Legg gjerne ytemet inn i SIMULINK, og imuler nivået x(t) og volumtrømmen z(t) for denne verdien på i. 4 PID-regulering av vækenivået i tanken Derom en ønker at regulatoren kal kompenere hurtig for vækenivåfallet en får når pumpa tarter kan en benytte en derivajonvirkning i regulatoren i tillegg til proporjonal- og integralvirkningen. Vi har da en åkalt PID-regulator. Benytte en PID-regulator, vil volumtrømmen ut av reguleringventilen være gitt ved t 1 d z( t) K p( r x( t)) [ r x( t)] d ( r x( t)) i 0

5 ALM005M-A Matematikk 1, Cae høt r = ønket vækenivå i tanken [m] x(t) = virkelig vækenivå i tanken ved tiden t [m] K p = proporjonalitetkontant [m /] i = kontant, kalt integrajontiden []. d = kontant, kalt derivajontiden []. Navnet PID-regulator kylde formen på z(t) De to førte leddene i z(t) er det amme om ved PI-regulering, men det tredje leddet er proporjonalt med en derivatfunkjon (Dregulering) Siden alle tre ledd forekommer, er regulatoren en (Proporjonal + Integral+ Derivat)-regulator 4.1 Utledning av differeniallikning med tartbetingeler Anta at tanken er fylt opp til det ønkede vækenivået r Ved t = 0 tarte pumpa og det går en kontant volumtrøm v ut av tanken Sett opp likningen om betemmer x(t) når en PIDregulator benytte For å få en ren differeniallikning må du derivere likningen mhp t lik at integralfunkjonen forvinner Du får da en differeniallikning av orden Betem tartbetingelene x(0) og x (0) om du trenger for å løe differeniallikningen Betem tajonærverdien til vækenivået uten å løe differeniallikningen Kommenter varet I reten av oppgaven ette A = 1, r = 1, v = 0,005 og K p = Beregning av integrajontiden i og derivajontiden d og løning av differeniallikningen. Karakteritik likning til differeniallikningen er av andre orden. Betem integrajontiden og derivajontiden til regulatoren lik at karakteritik likning får to like røtter på -0,05 (det tilvarer to tidkontanter på 0 ekunder for det regulerte ytemet). Lø differeniallikningen for dette tilfelle og kier x(t). Skier ogå x(t) fra punkt 3.3 i amme diagram. Skier ogå volumtrømmen z(t) for tilfelle 4. og 3.3 i eget diagram. Hvor tort er det makimale avviket med PID-regulering? Hva kjer med det makimale avviket derom en øker Kp? Legg gjerne ytemet inn i SIMULINK, og imuler nivået x(t) og volumtrømmen z(t) for ulike verdier på i og d. I SIMULINK kan du da ogå få tetet ut hva om kjer derom K p øke.

6 ALM005M-A Matematikk 1, Cae høt Hjelp til caen Volumtrøm Ordet volumtrøm bruke om væker eller gaer om trømmer i rør eller kanaler En kontant volumtrøm på fek m 3 / væke gjennom et rør, betyr at det gjennom et vilkårlig tverrnitt av røret paerer m 3 (= 5 liter) væke pr ekund En volumtrøm behøver ikke være kontant; den kan variere fra tidpunkt til tidpunkt og dermed være en funkjon av tiden I caen betegne volumtrømmene med ymbolene q, z og v Derom en tank får tilført væke, amtidig om væke forlater tanken, vil endringen pr tidenhet av vækevolumet, V(t), i tanken være gitt av volumtrømmene q inn (t) og q ut (t) dv Vi har: qinn(t) qut(t) V(t) q inn (t) q ut (t) Stajonær verdi og tidkontant Anta at en tidavhengig tørrele, x(t), nærmer eg aymptotik mot en betemt verdi, x, etter lang tid Da kalle x den tajonære verdien til x(t) Vi har: x lim x(t) t Hvi x(t) er løning av en 1 orden differeniallikning, kan vi betemme x direkte av differeniallikningen ved dx å ette 0 (hvorfor?) Derom x(t) hadde hatt et lineært forløp, med amme vekthatighet om i tarten, ville x(t) ha nådd den tajonære verdien ved tidpunktet (e figur), om kalle tidkontanten, er en karakteritik parameter for det ytemet om x(t) bekriver Periodetid En tidavhengig tørrele, x(t), er gitt ved x(t) = a be t in(t), der a, b, og er poitive kontanter Funkjonen bekriver et dempet vingeforløp omkring x = a, lik figuren antyder a Med perioden mene tidforkjellen mellom de lokale toppunktene på grafen er kontant og betemt av =, dv. = kalle vinkelfrekvenen 0 x x(t) t