Eksamensoppgave i TALM1004 Matematikk 2

Transkript

1 Fakultet for teknologi Ekamenoppgave i TLM Matematikk Faglig kontakt under ekamen: Kåre jørvik Tlf.: Ekamendato: 7. ugut 6 Ekamentid (fra-til): 9.-. Hjelpemiddelkode/Tillatte hjelpemidler: lt kriftlig materiale og kalkulatortype. nnen informajon: ette er en flervalgekamen og vararket om du kal fylle ut finner du på ide. Rett var gir 3 poeng, galt var gir poeng og ubevart (blankt) gir poeng. Målform/pråk: okmål ntall ider (uten foride): ntall ider vedlegg:

2 TLM Matematikk -Ekamen 7.augut 6 Oppgave ae: Lavpafilter Lavpafilteret har følgende komponentverdier: R Ω, L mh, mf Relativ dempningkoeffiient er da lik Oppgave ae: Lavpafilter Lavpafilteret har følgende komponentverdier: R Ω, L mh, mf Forterkningen til filteret i frekvenen ω ω er d d d 3d Oppgave 3 ae: Lavpafilter Enhetprangreponen til et ferdig dimenjonert lavpafilter er vit i figuren under en relative dempningkoeffiienten til filteret er t 8 Oppgave ae: Høypafilter Høypafilteret, med en høyttaler med en mottandverdi på Ω kal dimenjonere lik at knekkfrekvenen blir ω og at relativ dempningkoeffiientς. Induktanen L er da gitt ved 8 L ω L ω L ω L ω

3 TLM Matematikk -Ekamen 7.augut 6 Oppgave 5 ae: Høypafilter Høypafilteret har følgende komponentverdier: R Ω, L mh, mf ω Forterkningen til filteret i frekvenen ω er d d d 3d Oppgave 6 ae: Høypafilter En elektroingeniør ønker å betemme relativ dempningkoeffiient til et høypafilter ved å påtrykke filteret et enhetprang ved t. Utgangignalet til filteret er vit i figuren under. Step Repone.8.6. mplitude Time (econd) Knekkfrekvenen til høypafilteret er 3 Oppgave 7 ae: åndpafilter Et båndpafilter, med knekkfrekvenene og 3 ved t. Utgangignalet y(t) er da gitt ved uttrykket t 3 t t 3 t ( e e ) ( e e ) t 3 t t 3 t ( e e ) ( e e ) 3 3, påtrykke et enhetprang

4 TLM Matematikk -Ekamen 7.augut 6 Oppgave 8 ae: åndpafilter Et båndpafilter, med knekkfrekvenene og 3 x( t) + in( t) Stajonært utgangignal er, påtrykke ignalet: y ( t) in( t + ϕ) y ( t) + in( t + ϕ) 8 y( t) + in( t + ϕ) 65 8 y( t) in( t + ϕ) 65 Oppgave 9 ae: åndpafilter En fornybaringeniør har dimenjonert et.orden båndpafilter der knekkfrekvenene ligger to dekader fra hverandre. Filteret påtrykke et enhetprang ved t, og utgangignalet er vit i figuren under en tørte knekkfrekvenen er (econd) Oppgave ae: åndtoppfilter åndtoppfilteret kal dimenjonere lik at knekkfrekvenene blirωk og ω k. L/R er da gitt ved uttrykket ω + ω k k ω ω ω + ω k k k k + ω ω k k ω ω k k 3

5 TLM Matematikk -Ekamen 7.augut 6 Oppgave ae: åndtoppfilter Et båndtoppfilter, med knekkfrekvenene og 3 x( t) + in( t) Stajonært utgangignal er, påtrykke ignalet: y ( t) in( t + ϕ) y ( t) + in( t + ϕ) y( t) + in( t + ϕ) 65 y( t) in( t + ϕ) 65 Oppgave ae: åndtoppfilter Et båndtoppfilter, med knekkfrekvenene og 3 med vinkelfrekven vinkelfrekvenen, påtrykke en inufunkjon. Faen til overføringfunkjonen for båndtoppfilteret for er tilnærmet 97, 5 8,9 Oppgave 3 ae: Etterarbeid - åndtoppfilter åndtoppfilteret er dimenjonert lik at knekkfrekvenene er og. Filteret blir påtrykt et periodik firkantignal med en vinkelfrekven om er lik. ndelen av den tredjeharmonike komponenten i firkantignalet om lipper igjennom filteret er tilnærmet lik 63% 5 % 3 % %

6 TLM Matematikk -Ekamen 7.augut 6 Oppgave ae: Etterarbeid - Høypafilter Høypafilteret dimenjonere lik at knekkfrekvenen er. Filteret blir påtrykt en periodik firkantpenning med amplitude. Utgangpenningen til filteret er vit i figuren under. Vinkelfrekvenen til den påtrykte firkantpenningen er Oppgave 5 ae: Etterarbeid - åndpafilter åndpafilteret med knekkfrekvenene på og påtrykke en periodik firkantpenning med amplitude på V. Utgangignalet er vit i figuren under. Vinkelfrekvenen til den påtrykte firkantpenningen er 5 5

7 TLM Matematikk -Ekamen 7.augut 6 Oppgave 6 hapter Ordinary differential equation II Ligningene til en invertert pendel er gitt ved: xɺ x mg xɺ x3 + u M M xɺ x 3 g xɺ x 3 u L LM y x ; y x 3 Ligningene kan krive på matrieformen xɺ x + u y x + u Pådragmatria er gitt om M LM M LM M LM M LM 6

8 TLM Matematikk -Ekamen 7.augut 6 Oppgave 7 hapter Ordinary differential equation II Samme dynamike ytem om i oppgave 6. Egenverdiene til -matria er λ g g,,, L L λ mg mg,,, M M λ mg, mg, j g, j g M M L L λ g, g, j mg, j mg L L M M Oppgave 8 hapter Ordinary differential equation II Samme dynamike ytem om i oppgave 6. nta at vi har følgende ituajon: g ; L ; M ; m, [ ] u ; x(),5 T iffereniallikningytemet kal løe numerik vha. Euler metode. erom en bruker teglengden h, vil vinkelutlaget til pendelen ved tidpunktet t, være lik, 65,5, 35, Oppgave 9 hapter The Laplace tranform t, t < Gitt tidignalet f ( t), t < 3, t 3 Laplacetranformajonen til f(t) kan uttrykke om F ( ) ( e e ) F( ) + e + e F ( ) ( e + e ) ( e ) ( ) ( F + e ) ( e ) Oppgave hapter The Laplace tranform Gitt F ( ) e f(t) er gitt ved følgende uttrykk f ( t) ( t ) 3 heaviide( t ) ( ) 3 6 f ( t) ( t ) heaviide( t ) ( ) f ( t) t heaviide( t ) 6 f ( t) t heaviide( t ) 7

9 TLM Matematikk -Ekamen 7.augut 6 Oppgave hapter The Laplace tranform d y dy t Gitt differeniallikningen + + y e, y() og y'() dt dt erom en tar Laplacetranformajonen av differeniallikningen med de gitte tartbetingelene, å får man følgende uttrykk for Y(): Y ( ) ( + ) 3 Y ( ) ( + ) Y ( ) ( + ) Y ( ) ( )( + ) Oppgave hapter The Laplace tranform Enhetprangreponen til et dynamik ytem er vit i figuren under (econd) Hvilken overføringfunkjon paer til en lik enhetprangrepon? H ( ) H ( ) H ( ) H ( )

10 TLM Matematikk -Ekamen 7.augut 6 Oppgave 3 Notat: Frekvenanalye odediagrammet til et dynamik ytem er vit i figuren under. (d ) - d (deg) - -5 Fae Hvilken overføringfunkjon paer til dette odediagrammet? H ( ) H ( ) H ( ) + + H ( ) Oppgave hapter 3 Fourier erie En periodik funkjon f(t) er gitt ved følgende funkjonuttrykk t, t < f ( t), t < Periodik med periode T Gjennomnittverdien til ignalet er,5,5 Oppgave 5 hapter 3 Fourier erie Samme periodike ignal om i oppgave. en periodike funkjonen f(t) kal fourierrekkeutvikle. mplituden til den.harmonike komponenten i fourierrekka er π π π 9

11 TLM Matematikk -Ekamen 7.augut 6 Oppgave 6 hapter 6 Sequence and erie Et annuitetlån på millioner kroner kal nedbetale over år med kvartalvie nedbetalinger. erom den årlige renten er på, %, blir det kvartalvie beløpet om må innbetale tilnærmet lik 6 57 kr 6 9 kr kr 6 8 kr Oppgave 7 hapter 8 Taylor polynomial, Taylor erie and MacLaurin erie Sannynligheten for at en normalfordelt variabel ligger innenfor et tandardavvik er gitt av x integralet N e dx. π Utvikl integranden i ei Maclaurinrekke. erom du tar med de tre førte leddene i Maclaurinrekka blir det betemte integralet tilnærmet lik,6775,685,687,689 Oppgave 8 hapter 8 Taylor polynomial, Taylor erie and MacLaurin erie En matematik modell for et fartøy om beveger eg i jøen er gitt ved: mx ɺɺ u + v Kxɺɺ x, m maen til fartøyet [ kg] u propellpådrag [ N], v vind og trøm [ N] kg m K vikø dempekontant [ ], xɺ hatigheten til fartøyet [ ] m nta følgende verdier: v N u N K 6 6 kg [ ], [ ], [ m] Stajonær hatighet til fartøyet er da lik 5 km t 36 km t 5 km t km t

12 TLM Matematikk -Ekamen 7.augut 6 Oppgave 9 hapter 5 Function of everal variable Gitt den tovariable funkjonen f ( x, y) x + xy + y ntall tajonære punkter om funkjonen f (x, y) har, er 3 Oppgave 3 hapter 5 Function of everal variable Gitt den tovariable funkjonen f ( x, y) x + xy + y Punktet ( -, -, ) kal klaifiere. Følgende påtand er riktig: punktet er et lokalt makimum punktet er et lokalt minimum punktet er et adelpunkt ingen av forlagene, eller er riktig

13 TLM Matematikk -Ekamen 7.augut 6 Kandidatnummer: SVRRK Riktig var gir 3 poeng, galt var gir - poeng og ubevart (blankt) gir poeng. Inpektør: