Løsningsforslag LO346E Dynamiske Systemer H 06 eksamen 21. november 2006

Transkript

1 øningforlag O346E Dynamike Syemer H 6 ekamen. november 6 Oppgave Gi e yem med ranferfnkjonen H 58 + a Tidkonanen for yeme er T 8 4. Den aike forerkningen er H 5 Saik forerkning for en varmvannank kan handle om flere like forhold. eg velger her å e på ammenhengen mellom ilfør effek P og vannemperar T. Den kan måle ved å holde alle inn-variable nna P konan, og å gjøre en endring P i ilfør effek, vene il ny vannemperar har il eg inn og obervere emperarendringen T. Den aike forerkningen K i dee ilfelle er da: K T P b Dee beyr a y arer med ved, og går aympoik opp mo,5 med idkonanen. Sprange fra il,5 er,5, og y blir dermed: y +,5 - e -4,5 -,5 e -4 b Båndbredden il dee yeme er ω b T,5rad Bode-diagram: Se ark med vedlegg! Horional aympoe: K db log,5 8 db Knekkpnke er: ω k ω b,5 - Oppgave Gi e yem: y z - v z' 3[ - y] v a Dealjer blokkkjema il høyre, der pilene og de iplede linjene vier hvilke deler av blokkkjemae om ammer fra hvilken av de o oppgie likningene. - 3 z' ½ z - y b Vi finner ranferfnkjonene H y fra il y og H yv fra v il yved å erae inegraoren med og la H blokkene i ignalveien del på + løyferanferfnkjonen: HIOIUDSH6EY Side av 8

2 H y og H yv Oppgave 3 E yem har ranferfnkjonen H + a + 8 a% Vi normalierer h og får H + a + 4 Her er ω 4, og ζω a lik a ζ a8. Kriik demping: ζ a 8 Berworh-filer: ζ a 8 4 b Gi in. Frekvenen ω, ampliyden lik, og vi finner Hj: 5 H j j + 8 j + 8 j4 Her er vi a ampliydeforerkningen A,5 og ArgHj -π Dermed: y 54in - π c% Vi har a K,5, ζ,5, pranghøyden,8. Da er y,5,8, For å lage kie av reponen, er de grei å regne ida T mak fram il reponen når in øre verdi, am relaiv overving. Formlene er hene fra formelarke: π π T mak, 8 ω ς,5 HIOIUDSH6EY Side av 8

3 og overvingfakoren: δ e ςπ,5π ς e,5 6%.5. y Sprangrepon 6% Deen er vingeperioden lik. Tmak, og da får vi da krven il høyre: id [] d5% a, parameeren a kan velge lik a yeme blir abil! De er fordi a derom a <, å havner begge polene il yeme i høyre halvplan, og da er yeme abil. Oppgave 4 For en penningyr, ankeryr elekromoor beraker vi ankerpenningen v og lamomene T om inngangvariabler, men roajonfaren ω er gangvariabel. Når vi er bor fra ørrfrikjonen, kan vi ee opp rykkene. og. nder:. i v - K e ω - i v: Ankerpenningen i : Ankerrømmen : Ankerindkanen K e : Spenningkonanen : Ankerreianen ω : oajonfaren rad. ω K T i - B ω - T T : amomene : Ankere reghemomen K T : Momenkonanen B : Dempekonanen a På mooren akling feer jeg e drivhjl med radi, påvikle ei ynn nor. Mooren fee il bordkanen med drivhjle an for, og nora belae med e lodd, med mae m or nok il å dra nor fra drivhjle med i yngdekraf-momen, T mg. Så ender jeg røm i mooren, hel il lodde bare beveger eg være ake og med konan far nedover i de de lippe. ikning. foran i aik gave gir da: K T i - B - T + T f der nå T mg, og vi ogå har a med ørrfrikjonmomene T f om virker mo bevegelen. Da har vi: HIOIUDSH6EY Side 3 av 8

4 HIOIUDSH6EY Side 4 av 8 K T i mg - T f Så øke rømmen il lodde beveger eg vær ake og med konan far oppover. Nå er: K T i mg + T f Vi kan regne med a frikjonmomenene er like ore, adderer og får : K T i + i mg b Vi lar i og ω, v og T om ee inn i. og. over og gir: - - K e + ω K T - B - Og de er en enee ignal y ω Som gir: + ' ' B K K T e og : + y Dermed: D B B K K A T e øningforlag O346E Dynamike Syemer H 6 a ekamen. febrar 7 Oppgave Gi e yem der inngangignale og gangignale y er knye ammen lik: y' + v - k y, k er en konan a% Når vi kal finne ranferfnkjonen fra il y, er v og y irrelevan, og ee lik. aplaceranform gir: y - k y H y +k

5 b8% Vi løer mhp. y' og får: y' - v - k y om vi brker il å egne blokkkjemae il høyre: c Av ranferfnkjonen i pnk a er vi a idkonan blir k, om nå kal bli lik, dv. k ½ Syeme pol er gi ved den karakeriike likninga: p + k p -k -½ I e føreorden lavpafiler er båndbredden den frekven der reponen har fal med 3 db i forhold il reponen ved lave frekvener idenik med modl av polen, dv. her er båndbredden lik ½.. v - y' - k y d Sajonær pådrag: in, og vi renger derfor å regne A Hj : H j,89,5 j +, +,5 og iden ampliyden inn er får vi ampliyden Y : Y,89,89 Faevinkelen Hjω Arcan,5, rad Dermed har vi: y,89in -, Oppgave % E yem av. orden har relaiv demping lik,5, og aik forerkning lik. Knekkfrekvenen er,5 rad. De har ingen nllpnker. a5% Andreorden-yeme enheprangrepon:,5π Med ζ,5 får vi e relaiv overving på : ς,5 δ e e 44% ςπ Saik forerkning på beyr a y med enheprang. Videre er knekkfrekvenen,5 rad ω, og ida il. makimm er da : HIOIUDSH6EY Side 5 av 8

6 T π ma ω ς,5,5 eponen blir dermed om i figren nder: y 4 y y π 6, Tid [] b Vi har K, ω,5 og ζ,5, og yeme ranferfnkjon blir da: Kω,5 H + ςω + ω +,5,5 +, c For berworhfiler er ζ -½,7. Al de andre kal være endre og vi får: H BW Kω + ς ω + ω +,5,5 +, Oppgave 3 % a Figren il høyre vier anken, der vannemperaren er y, innløpemperaren er v. og vannforbrke er w. Alle variabler av ida er yr med. Vi kaller varmenergien i yeme ank+vann for E, om ogå vil være en fnkjon av ida og har da: ded + Q inn - Q der E c v m v + c k m k y, når vi anar a emperaren i elve åle ogå er y. Energirømmen inn med kaldvanne er Q inn c v w v, men energirømmen med varmvanne er Q c v w y. Vi eer inn rykkene for E, Q inn og Q inn i diff.likninga foran, og får: c v m v + c m y' + c v w v - y [W] m [kg] Vannank m v [kg] y [K] w HIOIUDSH6EY Side 6 av 8

7 b6%vi brker relae foran med w : c v m v + c m y' y' der c v m v + c m kg 4, kk kg + 6 kg 5K kg 5 kk Inegrajon av y' gir: y - y [] [y - y]u 5 kk [75-4]K,5kW h 3 min Oppgave 4 4% a Gi 3 -kreer og die 3 likningene: y i' ' i 3 y + i Vi er a i likning er de e penningfall i erie mellom gangen y og inngangen. De paer for kreene 4. og 4.3. igning paer for alle kreer med kondenaor, men i ligning 3 er der de o penningfall i erie mellom gangen y og V, - e over kondenaoren, og i over moanden. Denne eriekoplingen av og koplingen finne bare i kre 3. Konkljon: ikningnene gjelder for kre 4. b Tilandrommodell for de akelle yeme: Vi eer inn og y brke for hhv. inngang og gang, og og i. Da får vi: y ' ' 3 y + omforme il: 4 ' men og 3 gir: ' y + 5 ' og 5 gir: ' ' + og av 3: y + Dermed: A B D HIOIUDSH6EY Side 7 av 8

8 HIOIUDSH6EY Side 8 av 8 c Saik repon finner vi ved å ee den derivere : +