Forelesning nr.13 INF 1410

Transkript

1 Forelesning nr.3 INF 4 Komplekse frekvenser og Laplace-transform

2 Oversikt dagens temaer Me Mer om sinusformede signaler om komplekse frekvenser Introduksjon til Laplace-transform Løsning av kretsligninger vha Laplace

3 Sinussignaler Hittil har vi sett på periodiske sinussignaler på formen v(t) Vm sin( t) Dette Avhengig signalet kan generaliseres til et eksponentielt dempet sinussignal: v(t) V av σ vil signalet være σ <: Overdempet, vil dø ut med tiden sin( t ) σ =: Kritisk dempet, redusert til vanlig sinussignal σ >: Underdempet, vil øke i amplitude med tiden m e t 3

4 Generelle komplekse signaler Det generelle sinussignalet kan representeres i det komplekse domenet som Avhengig v(t) st Ke der K og s er komplekse og tidsuavhengige av verdien til K og s kan man representere alle signaler: DC-signal, s=: Eksponentielt: Rent sinus: Generelt sinus: v(t) V e v(t) V e (t) K (t) K t V t st st v e Ke st st v e Ke 4

5 Generelle komplekse signaler Den Den Hvis Hvis komplekse frekvensen skrives ofte som s reelle frekvensen er her den imaginære delen (jω ) j den reelle delen σ er positiv, er signalet eksponenitelt underdempet og vil øke i amplitude med tiden den reelle delen σ er negativ, er signalet eksponenitelt overdempet og vil øke i amplitude med tiden 5

6 Laplacetransform Laplacetransform Den Laplacetransform Denne er metode for å konvertere et signal i tidsdomenet til et signal i frekvensdomenet største fordelen er at en integro-differensielligning i tidsdomenet blir en ren algebraisk ligning i frekvensdomenet er definert ved Laplaceintegralet: F( e st f(t)dt formen kalles ensidig Laplacetransform, fordi grensen er fra til 6

7 Laplacetransform (fort For å konvertere fra s-domenet tilbake til tidsdomenet brukes den inverse Laplace-transformasjonen: f(t) j st e j F(ds Mer kompakt skrives Laplace og invers Laplace som F( L{ f(t)} f(t) f(t) F( L {F(} 7

8 Laplacetransform av tidsfunksjoner Laplacetransform For er et verktøy hvor man bruker ferdige formler for både transform og inverstransform. Man beregner nesten aldri integralene direkte! de fleste relevante tidsfunksjoner for kretsanalyse finnes ferdig utledede formler Transform for Unit-step funksjonen u(t) L(u(t)) e st u(t)dt e s st s e st dt u(t) s 8

9 Laplacetransform av tidsfunksjoner (fort Transform for Unit-impulse funksjonen δ(t-t ) (t t t t (t ), t )dt t (t t ) e st I det tilfelle for t =, blir F(= 9

10 Laplacetransform av tidsfunksjoner (fort Transform for eksponentialfunksjonen e -αt L{e t u(t)} e t e st e s s dt ( s )t e t u(t) s

11 Laplacetransform av tidsfunksjoner (fort Transform for rampefunksjonen t*u(t) L{tu(t)} s te st dt tu(t) s Videre kan det vises at L{sin( t)} s L{cos( t)} s s

12 Inverstransformer Beregning Linearitetsteorem av de inverse transformene skjer også stort sett med ferdige formler og generelle egenskaper ved transform: Linearitet L{ f(t)} L{ (t) F ( F ( (t)} kan også anvendes ved inverstransform: f f(t) L L f f {F(} L {F (} L (t) f (t) e st [ {F(} f {F ( F (t) (} f (t)]dt

13 Inverstransformer (fort Laplacetransformen til en funksjon multiplisert med en konstant er lik konstanten multiplisert med Laplacetransformen til funksjonen: L{ kv( t)} kl{ v( t)} kv( t) kv( 3

14 Inverstransformer (fort Gitt en Laplacetransform på formen Hvis N( V( D( denne skal inverstransformeres kan man bruke definisjonen, dvs v( t) π ρ j st e ρ j V( ds Imidlertid kan det lønne seg å skrive om V( slik at man får lett identifiserbare deler og bruke formlene på de forrige sidene 4

15 Inverstransformer (fort Hvis De De Hvis telleren har lavere orden enn nevneren, kan man direkte identifisere deler som kan transformeres verdier av s som gjør telleren lik, kalles for nullpunktene til funksjonen V( verdier av s som gjør nevneren lik, kalles for polene til funksjonen V( V( er en overføringsfunksjon, f.eks V ( I out out( V( I( V ( Iin( in vil polene og nullpunktene beskrive viktige egenskaper ved overføringsfunksjonen (mer om dette senere) 5

16 Inverstransformer (fort Hvis De De Hvis telleren har lavere orden enn nevneren, kan man direkte identifisere deler som kan transformeres verdier av s som gjør telleren lik, kalles for nullpunktene til funksjonen V( verdier av s som gjør nevneren lik, kalles for polene til funksjonen V( V( er en overføringsfunksjon, f.eks V ( I out out( V( I( V ( Iin( in vil polene og nullpunktene beskrive viktige egenskaper ved overføringsfunksjonen (mer om dette senere) 6

17 Bruk av Laplace - derivasjon Har Skal Laplacetransformen hittil gjennomgått grunnleggende egenskaper ved (inver Laplacetransform nå se på bruken med intergrasjons- og derivasjonsteoremer til den deriverte av en funksjon er dv dt st { } ( e ) dt ved å bruke delvis integrasjon L L dv dv dt U e st st { } v( t) e e v( t) dt dt st dv dv dt dt 7

18 Bruk av Laplace - derivasjon Dette Uttrykket Med at Laplacetransformen til den deriverte av en funksjon er dv L{ } sv( v() dt der v(-) er verdien av v(t) for t=- over kan generaliseres til høyereordens deriverte: d v L{ } s dt V( sv() v'() der v (-) er verdien av den førsteordens deriverte ved t=- andre ord er derivasjon i tidsdomenet lik multiplikasjon i tidsdomenet! 8

19 Eksempel Skal finne strømmen gjennom 4-ohms motstanden Input er en unit-step funksjon som er for t<, og 3V for t, og ved t=-, er i(t)=5a I tidsdomenet gir KVL følgende kretsligning: dv 4i 3u( t) dt 9

20 Eksempel (fort Ved Kan Med å Laplacetransformere KVL-ligningen i tidsdomenet [ si( i()] 4 I( nå sette inn verdien for i(-) og løse denne ligningen mhp I( i frekvensdomenet: 3 ( s 4) I( s litt regning kan man vise at dette er lik I( s s 3 s

21 Eksempel (fort Ved å inverstransformere får vi at i( t).75u( t) 4.5e t u( t) Denne Etterhvert responsen betsår dermed av en naturlig del (eksponensiell), og den påtrykte (unit-step funksjonen) som tiden går, vil den naturlige responsen dø ut, og strømmen vil da bli tilnærmet lik 3V i( t). 75A 4

22 Bruk av Laplace - Integrasjon Laplacetransformen av et integral er gitt av Etter en del mellomregning kan det vises at dette gir t st t dx dt x v e dx x v L ] ) ( [ } ) ( { s s V dx x v L t ) ( } ) ( {

23 Eksempel Skal finne i(t) for t> for kretsen under KCL i tidsdomenet gir følgende ligning: u( t) 4 i( t) v()6 t i( t' ) dt' 3

24 Eksempel (fort Ved Ved Som å ta Laplacetransformen av denne får vi s 4 I( og løsningen av denne mhp I( gir 9 6 I( s s I( s 4 å inverstransformere får man at i( t) e 4t u( t) betyr at strømmen har motsatt retning av vist på figuren, og vil dø ut med tiden 4

25 Oppsummering 5