@x

Transkript

1 FY006/TFY425 - Øving 4 Frit for innlevering: tirdag 8. februar, kl 7.00 Oppgåve ØVING 4 Vibrerande to-partikkel-ytem Som dikutert på ide 0 i boka til Hemmer, er det eit viktig poeng både i klaik mekanikk og i kvantemekanikk at eit to-partikkel problem eenielt kan reduerat til eit ein-partikkel problem. Dette er relevant både for bundne to-partikkel ytem (om t.d. H-atomet) og for ubundne ytem, lik vi har i preiingproear. Dette kan vi illutrere ved eit eindimenjonalt ytem, der to partiklar med maar m og m 2 er forbundne med ei malau fjær med fjærkontant k. Ved likevekt (med avpent fjær, og null krefter) er relativ-koordinaten mellom dei to partiklene, x = x x 2, lik l. Elle er kreftene på m og m 2 heile tida motett retta og proporjonale med utlaget frå likevektavtanden, x x 2 l = x l : F = F 2 = k(x x 2 l) k(x l). Sidan dee kreftene berre avheng av relativ-koordinaten x, må dette og gjelde for den potenielle energien. Dee kreftene kan ein finne frå potenialet V = 2 k(x l)2, vha F i = V x i = V x x x i, i =, 2. [Vi tenker o altå at all bevegele kjer i x-retninga, dv vi er bort frå at ytemet kan rotere om tyngdepunktet for to-partikkelytemet.] a) Klaik tilnærming: Omvifyrttenkeroatviheldm 2 fat i origo, lik at x 2 =0, er ifølgje Newton 2. lov F m = k(x l) m = d2 x dt 2 = d2 (x l) dt 2, (x 2 =0,x= x ). Sett inn prøveløyinga x l = A co(! t + ) i di ereniallikninga med trek under, og vi at den klaike vinkelfrekvenen er k! =. m q k/m 2. Derom vi held m fat, får vi tilvarande vingningar med vinkelfrekven! 2 = Og nå kjem poenget: Let vi både m og m 2 vinge fritt (om to atom i eit toatomig molekyl), kal du vie at relativ-avtanden vingar med vinkelfrekven! om er tørre enn

2 FY006/TFY425 - Øving 4 2 både! og! 2 : Vi fyrt at den andrederiverte av utvinget x l er lik (x l)k/µ, derµ er den åkalla reduerte maen, definertved /µ =/m +/m 2 : d 2 dt (x l) = = k 2 µ (x l), der µ + m m 2 =) µ = m m 2. m + m 2 Hint: Bruk d 2 x i /dt 2 = F i /m i, (i =, 2). Sett deretter inn funkjonen x l = A co(!t + ) i di ereniallikninga ovanfor, og vi at vinkelfrekvenen! er tørre enn! og! 2. Korlei bevegar tyngdepunktet for to-partikkel ytemet eg når det ikkje verkar ytre krefter? [Jf Newton. lov.] b) Kvantemekanik tilnærming. Medutgangpunktienergioperatoren Ĥ = ˆK + ˆK 2 + V (x) for dei to partiklane kan ein vie at relativbevegelen for dei to partiklane er gjeven ved den tiduavhengige Schrödingerlikninga " h 2 2 # 2µ x + k(x 2 l)2 (x) =E (x), 2 der µ er den reduerte maen og x er relativkoordinaten. Kva blir energinivåa? Kva er energieigenfunkjonen for grunntiltanden om funkjon av relativkoordinaten x? [Hint: Svara finn du utan å rekne, ved å amanlikne med tandardutgåva av ein harmonik ocillator, om er ein partikkel med mae m om bevegar eg i potenialet V (q) = 2 kq2 2 m!2 q 2. Den tiduavhengige Schrödingerlikninga for dette ytemet er " h 2 2 # " 2m q + h 2 2 # 2 2 kq2 (q) 2m q m!2 q 2 (q) =E (q), med energieigenverdiane k E n = h m (n + ) h!(n + ), n =0,, 2,. 2 2 Energieigenfunkjonen for grunntiltanden er 0(q) =C 0 e m!q2 /2 h, C 0 =(m!/ h) /4. c) Vi at Hamilton-operatoren Ĥ = ˆK + ˆK 2 + V (x) (der ˆK =ˆp 2 /2m ob) kan krivat om Ĥ = ˆP 2 2M + ˆp2 2µ + V (x) med h ˆP = i X og bp = h i x, der x = x x 2 og X = m x + m 2 x 2 m + m 2 m M x + m 2 M x 2 er relativkoordinaten og tyngdepunktkoordinaten. [Hint: Ved hjelp av kjerneregelen har vi x = X X + x x x = m x M X + x og i = m 2 x 2 M Frå dee uttrykka kan du finne ˆp og ˆp 2 uttrykt ved ˆP og ˆp.] Kva fyik obervabel varer operatoren ˆP til? [Hint: Vi at ˆp +ˆp 2 = ˆP ]. X x.

3 FY006/TFY425 - Øving 4 3 d) Då Ĥ kommuterer med operatoren ˆP,kanvifinneenergieigenfunkjonaromogereigenfunkjonar til ˆP, med eigenverdi P. Dee eigenfunkjonane vil generelt avhenge både av relativ-koordinaten x = x x 2 og av tyngdepunktkoordinaten X. Vi kal nå bekrive dette ytemet frå tyngdepunkt-ytemet, der den totale impulen P til dei to partiklane pr definijon er lik null. Forklar (vha eigenverdilikninga ˆP = P )kviforenergieigenfunkjonen blir uavhengig av tyngepunktkoordinaten X, ogammenliknenergieigenverdilikninga med likninga i b). Oppgåve 2 Vibrajonfriheitgraden for toatomig molekyl Når eit okygenmolekyl O 2 er i grunntiltanden, er avtanden mellom dei to kjernene nokå nær ein vi likevektavtand (omlag ein Ångtrøm). Denne likevektavtanden varer til eit energiminimum for dette ytemet. Prøver vi å dytte dei to kjernene (og dermed elektronkyene) nærmere kvarandre, eller å trekkje dei frå kvarandre, kotar dette energi, og molekylet motett eg endringa med ei kraft om er tilnærma proporjonal med utlaget frå likevektavtanden. M.a.o: Vi har (for må utving) ein tilnærma harmonik ocillator. (Jf Tillegg 3, ide ) a) Ekperimentelt vier det eg at den (tilnærmet ekviditante) avtanden mellom energinivåa for denne ocillatoren er h! 0.20 ev. Med okygenmaen m finn vi frå førre oppgåva at fjærkontanten for dette ytemet er k = 2 m!2. Gjer eit numerik overlag over denne fjærkontanten, og vi at fjæra er ganke kraftig. Fjærkontant er omlag 0 3 N/m. [Maen til et okygenatom er ca 6 ganger protonmaen, om er m p kg.] b) Eit ja/nei-pørmål: Kan avtanden mellom dei to kjernene vere karpt definert? q Som mål for kor tore typike utlag for denne ocillatoren er, kan vi ta lengda h/m! (om er p 2gangeruikkerheiten x). Sett inn talverdiar og vi at utlaaga for kjernene er må amanlikna med atomradier (eller med avtandane mellom kjernene i eit molekyl), om typik er 0 0 m. c) Tenk deg at vi har ein makrokopik ocillator med ame fjærkontant, dv eit potenial V (x) = 2 kx2, og en makrokopik partikkel med mae M = kg. Vi at forholdet mellom energibeløpet h! 0 for q denne ocillatoren og beløpet h! for ocillatoren ovanfor er ca 0 3. Rekn ut lengda h/m! 0,omgjevkalaenforutlagetavdentungemaen(i q grunntiltanden), og vi at denne lengda er ca ein faktor 0 7 mindre enn h/m! for den lette maen. d) Den tunge maen ocillerer nå med eit utlag på x max =0cm. Samanliknenergien E = 2 k(x max) 2 for ein lik vingetiltand med energibeløpet h! 0 for denne ocillatoren, og finn ut kor tore kvantetal n 0 dette varer til. [Hint: Hug at E 0 n = h! 0 (n ).]

4 FY006/TFY425 - Øving 4 4 Oppgåve 3 Ikkje-tajonær tiltand for partikkel i bok Ein partikkel med mae m er i ein uendeleg djup eindimenjonal potenialbrønn (bok) med vidde L: ( 0 for 0 <x<l, V (x) = elle. Ved t =0 preparerervidetteytemetieintiltandlkatbølgefunkjonener (x, 0) = 6 5L in x L 3. Figuren vier p L (x, 0) og L (x, 0) 2 om funkjonar av x/l. a) Rekn ut frå diagrammet ovanfor forventningverdien h x i 0 til partikkelen poijon ved t =0. Kva kurve i diagrammet er relevant når du på øyemål kal etimere kor tor uikkerheiten ( x) 0 ipoijonenerved t =0. Kva er ditt etimat? b) Då det ortonormerte energiegenfunkjonettet for boken, 2 n(x) = L in k nx, k n = n L, E n = h2 kn 2, n =, 2,, 2m utgjer eit fulltendig ett (dv dannar ein bai), kan ein utvikle initialtiltanden i dette ettet. Bruk formelen 4 in 3 y =3iny in 3y til å finne koe ientane c n iutviklingformelen X (x, 0) = c n n (x). n= c) Vi at initialtiltanden (x, 0) er normert. [Hint: Normeringintegralet kan krivat om Z L X!! 3 X c k k c n n dx = X c Z L k c n k n dx. 5 0 k n k,n 0 d) Etter prepareringa (for t>0) er bølgjefunkjonen X (x, t) = c n n (x)e ient/ h, n= der c n er koe ientane om ein kulle finne ovanfor. Ein gjer ei måling av energien E til partikkelen ved t =0 (umiddelbartetterprepareringa). (i)kvaerdeimoglegemålereultata,

5 FY006/TFY425 - Øving 4 5 og kva er dei tilhøyrande annynlegheitene? (ii) Rekn ut forventningverdien h E i 0 av energien ved t =0 (uttryktvedgrunntiltandenergien E ). (iii) Kva blir bølgjefunkjonen for ytemet etter ei lik måling? (iv) Kva blir vara på (i) og (ii) derom ein gjer målinga ved tida t (dv ei tund etter prepareringa)? Etter overlaget av uikkerheiten ( x) 0 ia),kandetvereintereantåunderøke( p x ) 0. Vi fyrt at h p x i 0 =0. Finn deretter h p 2 x i 0 (t.d vha reultatet for h E i 0 ), og ett inn uikkerheiten ( p x ) 0 (og overlaget over ( x) 0 ) i uikkerheitproduktet ( x) 0 ( p x ) 0. Oppgåve 4 Dirac -funkjon a) I uttrykka nedanfor er (x) Dirac -funkjon. Rekn ut: Z Z 4 Z Z Z (x)f(x)dx = ; (x c)g(x)dx = ; (x)(ax + B)dx = ; [ (x a)+ (x b)]f(x)dx = ; [ (x ) + (x +3)]g(x)dx = ; Z Z Z (2x)f(x)dx = ; (3x 6)f(x)dx = ; Z Z Z Z e ixa dx = ; e ixa dx = ; e ixa da = ; (NB! Integrajon over a) e if f 2 df = ; (x x 0 ) (x x 00 )dx =. (Le f og f 2 om faktor og faktor 2.) b) Ved å teikne eit diagram vil du jå at funkjonen ( cont for x<0, f(x) = cont + x for x>0

6 FY006/TFY425 - Øving 4 6 har ein knekk for x =0. Den deriverte av denne funkjonen er åpenbart prangfunkjonen, ( df 0 for x<0, dx = (x) = for x>0. Overtyd deg om at den 2.-deriverte av funkjonen f(x), dv den.-deriverte av prangfunkjonen, er -funkjonen: d 2 f dx = d 2 dx = (x). Hint: Bruk relajonen eller jå på relajonen Z d (x) dx dx = ( ) ( ) (for > 0), igrena! 0.