EKSAMENSOPPGÅVE. Tilletne hjelpemiddel: Godkjend kalkulator og formelsamling og 2 eigne A4-ark (4 sider totalt)

Transkript

1 EKSAMENSOPPGÅVE/EKSAMENSOPPGAVE EKSAMENSOPPGÅVE Eksamen i: MAT-1003 Kalkulus 3 Dato: Tirsdag Tid: Kl 09:00 13:00 Stad: Åsgårdveien 9 Tilletne hjelpemiddel: Godkjend kalkulator og formelsamling og eigne A4-ark (4 sider totalt) Oppgåvesettet er på 5 sider inklusiv forside. Kvar oppgåve er gjeven både på bokmål og nynorsk. Hver oppgave er gitt både på bokmål og nynorsk. Kontaktperson under eksamen: Kristoffer Rypdal Telefon: Eksamen i: XXXX-Xxxxxx Dato: Xxxdag XX. xxxx 013 Tid: Kl xx:xx xx:xx Sted: Xxx

2 Oppgave I (bokmål) (a) Formulér teoremet for variabelbytte i dobbeltintegraler. (b) La D være parallellogrammet med hjørner i {(π, 0), (0, π), ( π, 0), (0, π)}. Skissér området D og regn ut dobbeltintegralet cos (x + y) sin (x y) dx dy. D Oppgåve I (nynorsk) (a) Formulér teoremet for variabelbytte i dobbeltintegraler. (b) D er parallellogrammet med hjørner i {(π, 0), (0, π), ( π, 0), (0, π)}. Skissér området D og rekn ut dobbeltintegralet cos (x + y) sin (x y) dx dy. D (a) S er ei flate parametrisert ved Oppgave (bokmål) x = (t + 1) cos s, y = (t + 1) sin s, z = t, der (s, t) D = [0, π) [0, ]. Finn en funksjon f(x, y, z) slik at flata kan skrives på formen f(x, y, z) = 0. Beskriv flata og tegn en figur av den. (b) Finn arealet av S ved å bruke parametriseringa og utføre et flateintegral. (c) La D være et område i R 3 med rand D og F(x, y, z) et vektorfelt. Hvilke krav må F og D oppfylle for at Gauss teorem skal gjelde? La F være vektorfeltet F = 1 (xi + yj) og vis at volumet av D kan regnes ut fra flateintegralet V = F ds. D Bruk flateintegralet til å beregne volumet V avgrensa av flaten S og planene z = 0 og z =. 1

3 (a) S er ei flate parametrisert ved Oppgåve (nynorsk) x = (t + 1) cos s, y = (t + 1) sin s, z = t, der (s, t) D = [0, π) [0, ]. Finn ein funksjon f(x, y, z) slik at flata kan skrivast på forma f(x, y, z) = 0. Skildre flata og teikn ein figur av den. (b) Finn flateinnhaldet av S ved å bruke parametriseringa og utføre eit flateintegral. (c) D er eit område i R 3 med rand D og F(x, y, z) eit vektorfelt. Kva krav må F og D oppfylle for at Gauss teorem skal gjelde? F er vektorfeltet F = 1 (xi + yj). Syn at volumet av D kan reknast ut fra flateintegralet V = F ds. D Bruk flateintegralet til å rekne ut volumet V avgrensa av flata S og plana z = 0 og z =. Oppgave 3 (bokmål) (a) La oss modellere hastigheten v(x, y, z) R 3 i vindfeltet rundt en tropisk syklon på formen; yi + xj for r 1 v(x, y, z) = r ( yi + xj) for r > 1. der r = x + y. Beregn v og v i området r < 1 og i området r > 1. Er feltet v(x, y, z) konservativt i noen av disse områdene? Grunngi svaret. (b) Regn ut linjeintegralet C i v ds for følgende enkle, lukkete kurver: (i) C 1 som ligger i området r > 1 og som ikke omslutter origo. (ii) C som ligger i området r > 1 og som omslutter origo. (iii) C 3 som ligger i området r < 1 og som er randen til et område D 3 med areal A. (c) Et kraftfelt G(x, y, z) har formen: (xi + yj + zk) for r 1 G(x, y, z) = r 3 (xi + yj + zk) for r > 1. der r = x + y + z. Regn ut G og G i området r < 1 og i området r > 1. (d) Er feltet G(x, y, z) konservativt i noen av disse områdene? Er feltet konservativt på hele R 3? Grunngi svarene.

4 Oppgåve 3 (nynorsk) (a) Lat oss modellera hastigheten v(x, y, z) R 3 i vindfeltet rundt ein tropisk syklon på forma; yi + xj for r 1 v(x, y, z) = r ( yi + xj) for r > 1. der r = x + y. Rekn ut v og v i området r < 1 og i området r > 1. Er feltet v(x, y, z) konservativt i nokon av desse områda? Grunngjev svaret. (b) Rekn ut linjeintegralet C i v ds for følgjande enkle, lukka kurver: (i) C 1 som ligg i området r > 1 og som ikkje omslutter origo. (ii) C som ligg i området r > 1 og som omslutter origo. (iii) C 3 som ligg i området r < 1 og som er randen til eit område D 3 med flateinnhald A. (c) Eit kraftfelt G(x, y, z) har forma: (xi + yj + zk) for r 1 G(x, y, z) =, r 3 (xi + yj + zk) for r > 1. der r = x + y + z. Rekn ut G og G i området r < 1 og i området r > 1. (d) Er feltet G(x, y, z) konservativt i nokre av desse områda? Er feltet konservativt på heile R 3? Grunngjev svara. Oppgave 4 (bokmål) (a) Finn en ortonormal basis for underrommet W C 3 utspent av vektorene v 1 = (1, i, 0), v = (1,, 1 i). (b) La V være indreproduktrommet av glatte, periodiske, komplekse funksjoner med indreprodukt f, g = π f(t) g(t) dt. Glatt betyr uendelig mange ganger deriverbar og 0 periodisk betyr f(t) = f(t + π) t R. Vis at S N V definert ved S N = { 1 π e int }, n { N, N + 1,..., N 1, N} er et ortonormalt sett. Her betyr i den imaginære enheten (i = 1). 3

5 (c) Vi ser fortsatt på indreproduktrommet definert i punkt (b). Vis at operatoren T = d dt + Φ(t), der Φ(t) er en reell funksjon, er selvadjungert. Hint: Bruk delvis (partiell) integrasjon. Oppgåve 4 (nynorsk) (a) Finn ein ortonormal basis for underrommet W C 3 utspent av vektorane v 1 = (1, i, 0), v = (1,, 1 i). (b) V er indreproduktrommet av glatte, periodiske, komplekse funksjonar med indreprodukt f, g = π f(t) g(t) dt. Glatt tyder uendeleg mange gonger deriverbar og periodisk 0 tyder f(t) = f(t + π) t R. Syn at S N V definert ved S N = { 1 π e int }, n { N, N + 1,..., N 1, N} er eit ortonormalt sett. Her tyder i den imaginære eininga (i = 1). (c) Vi ser fortsett på indreproduktrommet definert i punkt (b). Syn at operatoren T = d dt + Φ(t), der Φ(t) er ein reell funksjon, er selvadjungert. Hint: Bruk delvis (partiell) integrasjon. 4