FY1006/TFY Øving 4 1 ØVING 4

Transkript

1 FY1006/TFY Øving 4 1 Oppgave 13 ØVING 4 Vibrerende to-partiel-system Som disutert side 110 i boa, er det et vitig poeng både i lassis meani og i vantemeani at et to-partiel-problem essensielt an reduseres til et enpartielproblem Dette er relevant både for bundne to-partiel-systemer (som fes H-atomet) og for ubundne systemer, sli vi har i spredningsprosesser Dette an illustreres ved et endimensjonalt system, der to partiler med masser og m 2 er forbundet med en vetløs fjær med fjæronstant Ved lievet (med avspent fjær, og null refter) er relativ-oordinaten mellom de to partilene, x = x 1 x 2, li l (lievetsavstanden) Ellers er reftene på og m 2 er hele tiden motsatt rettet og proporsjonale med utsvinget fra lievetsavstanden, x 1 x 2 l = x l : F 1 = F 2 = (x 1 x 2 l) (x l) Siden disse reftene bare avhenger av relativ-oordinaten x, må det samme gjelde for den potensielle energien; det er lett å se at disse reftene an avledes av potensialet V = 1(x 2 l)2, vha F i = V x i = V x x x i, i = 1, 2 [Vi tener oss altså her at all bevegelse sjer i x-retningen, dvs vi ser bort fra at systemet an rotere om tyngdepuntet for to-partielsystemet a Først en lassis-meanis tilnærming: Om vi først tener oss at vi holder m 2 fast i origo, sli at x 2 = 0, er ifølge Newtons 2 lov F 1 = (x l) = d2 x dt 2 = d2 (x l) dt 2 (x 2 = 0, x = x 1 ) Sett inn prøveløsningen x l = A cos(ω 1 t + α) i differensialligningen som er understreet, og vis at den lassise vinelfrevensen er ω 1 = Holder vi fast, får vi tilsvarende en svingning med vinelfrevens ω 2 = /m 2 Og så ommer poenget: Lar vi både og m 2 svinge fritt (som to atomer i et toatomig moleyl), sal du vise at relativ-avstanden svinger med en vinelfrevens ω som er større

2 FY1006/TFY Øving 4 2 enn både ω 1 og ω 2 : Vis først at den andrederiverte av utsvinget x l er li (x l)/µ, der µ er den såalte reduserte massen, definert ved 1/µ = 1/ + 1/m 2 : d 2 dt (x l) = = 2 µ (x l), der 1 µ m 2 ( = µ = m ) 1m 2 + m 2 [Hint: Bru d 2 x i /dt 2 = F i /m i, (i = 1, 2) Sett deretter inn prøveløsningen x l = A cos(ωt + α) i differensialligningen ovenfor, og påvis at den resulterende vinelfrevensen ω er større enn ω 1 og ω 2, som påstått ovenfor Hvordan beveger tyngdepuntet for to-partiel-systemet seg når det ie virer noen ytre refter? [Jf Newtons 1 lov b Så til den vantemeanise behandlingen Med utgangspunt i energioperatoren Ĥ = K 1 + K 2 + V (x) for de to partilene an det vises (se nedenfor, og se avsnitt 58 side 110 i Hemmer) at relativbevegelsen for de to partilene besrives av den tidsuavhengige Schrödingerligningen [ h2 2 2µ x + 1 (x 2 l)2 ψ(x) = Eψ(x), 2 der µ er den reduserte massen og x er relativoordinaten Hva blir energinivåene? Angi energiegenfunsjonen for grunntilstanden som funsjon av relativoordinaten x [Hint: Svarene finner du uten å regne, ved å sammenligne med standardutgaven av en harmonis oscillator, som er en partiel med masse m som beveger seg i potensialet V (q) = 1 2 q2 1 2 mω2 q 2 Den tidsuavhengige Schrödingerligningen for dette systemet er [ h2 2 2m q q2 ψ(q) [ h2 2 2m q mω2 q 2 ψ(q) = Eψ(q), med energiegenverdiene E n = h m (n + 1) hω(n + 1 ), n = 0, 1, 2, 2 2 Energiegenfunsjonen for grunntilstanden er (som vi har sett før) ψ 0 (q) = C 0 e mωq2 /2 h, C 0 = (mω/π h) 1/4 c Vis at Hamilton-operatoren Ĥ = K 1 + K 2 + V (x) (der K 1 = p 2 1/2 osv) an srives som P 2 Ĥ = 2M + p2 2µ + V (x) med P = h i X og p = h i x, hvor x = x 1 x 2 og X = x 1 + m 2 x 2 + m 2 M x 1 + m 2 M x 2 er henholdsvis relativoordinaten og tyngdepuntsoordinaten [Hint: Ved hjelp av jerneregelen har vi at x 1 = X X + x 1 x x = x 1 M X + x og = m 2 x 2 M X x Fra disse an du finne p 1 og p 2 uttryt ved P og p Hvilen fysis observabel svarer operatoren P til? [Hint: Vis at p 1 + p 2 = P

3 FY1006/TFY Øving 4 3 d Da Ĥ ommuterer med operatoren P, an vi finne energiegenfunsjoner som samtidig er egenfunsjoner til P, med egenverdi P Disse egenfunsjonene vil generelt avhenge både av relativ-oordinaten x = x 1 x 2 og av tyngdepuntsoordinaten X Anta at vi velger å betrate dette systemet fra tyngdepunts-systemet, hvor den samlede impulsen P til de to partilene pr definisjon er li null Forlar (vha egenverdiligningen P ψ = P ψ) hvorfor energiegenfunsjonen da blir uavhengig av tyngepuntsoordinaten X, og sammenlign den resulterende energiegenverdiligningen med ligningen under pt b Oppgave 14 Vibrasjonsfrihetsgraden for to-atomig moleyl Når et osygenmoleyl O 2 er i grunntilstanden (dvs har lavest mulig energi), er avstanden mellom de to jernene noså nær en viss lievetsavstand (av størrelsesorden Ångstrøm) Denne lievetsavstanden svarer til et energiminimum for dette systemet Prøver vi å dytte de to jernene (og dermed eletronsyene) nærmere hverandre, eller å tree dem fra hverandre, oster det energi, og moleylet motsetter seg endringen med en raft som er tilnærmet proporsjonal med utsvinget (avviet fra lievetsavstanden) Mao: Vi har (for små utsving) en tilnærmet harmonis oscillator (Jf Tillegg 3, side 25 26) Kvantemeanis an denne oscillatoren være i grunntilstanden, men den an også esiteres a Esperimentelt viser det seg at den (tilnærmet evidistante) avstanden mellom energinivåene for denne oscillatoren er hω 020 ev Med en osygenmasse m finner vi fra forrige oppgave at fjæronstanten for dette systemet er = 1 2 mω2 Gjør et numeris overslag over denne fjæronstanten, og påvis at fjæren er ganse raftig, med en fjæronstant av størrelsesorden 10 3 N/m [Massen til et osygenatom er ca 16 ganger protonmassen, som er m p g b Et ja/nei-spørsmål ut fra det som hittil er sagt: Kan avstanden mellom de to jernene være sarpt definert? Som et mål for størrelsen av typise utsving for denne oscillatoren an vi ta lengden h/mω (som er 2 ganger usierheten x) Sett inn tallverdier for denne størrelsen, og vis at disse utsvingene for jernene er små sammenlignet med atomradier (eller med avstandene mellom jernene i et moleyl), som typis er av størrelsesorden m c Anta at vi har en marosopis oscillator med samme fjæronstant, dvs et potensial V (x) = 1 2 x2, og en marosopis partiel med masse M = 1 g Vis at forholdet mellom energibeløpet hω for denne oscillatoren og beløpet hω for oscillatoren ovenfor er ca Beregn også lengden h/mω, som gir salaen for utsvinget av den tunge massen (i grunntilstanden), og vis at denne lengden er ca en fator 10 7 mindre enn størrelsen h/mω for den lette massen d Anta at den tunge massen oscillerer med et utsving på x max = 10 cm Sammenlign energien E = 1 2 (x max) 2 for en sli svingetilstand med energibeløpet hω for denne oscillatoren, og finn ut hvor store vantetall n dette svarer til [Hint: Hus at E n = hω (n )

4 FY1006/TFY Øving 4 4 Oppgave 15 Ie-stasjonær tilstand for partiel i bos En partiel med masse m befinner seg i en uendelig dyp endimensjonal potensialbrønn (bos) med vidde L: { 0 for 0 < x < L, V (x) = ellers Ved t = 0 prepareres dette systemet i en tilstand besrevet ved bølgefunsjonen Ψ(x, 0) = 16 5L ( sin πx L ) 3 Figuren viser LΨ(x, 0) og L Ψ(x, 0) 2 som funsjoner av x/l a Angi (ut fra diagrammet ovenfor) forventningsverdien x 0 av partielens posisjon ved t = 0 Hvilen av urvene i diagrammet er direte relevant når du på øyemål sal anslå omtrent hvor stor usierheten ( x) 0 i posisjonen er ved t = 0 Hva er ditt anslag? b Da det ortonormerte energiegenfunsjonssettet for bosen, 2 ψ n (x) = L sin nx, n = nπ L, E n = h2 n 2, n = 1, 2,, 2m utgjør et fullstendig sett (dvs danner en basis), an begynnelsestilstanden utviles i dette settet Bru formelen 4 sin 3 y = 3 sin y sin 3y til å finne oeffisientene c n i utvilingsformelen Ψ(x, 0) = c n ψ n (x) n c Vis at begynnelsestilstanden Ψ(x, 0) er normert [Hint: Normeringsintegralet an srives som ( L ) ( ) c ψ c n ψ n dx = c L c n ψ ψ n dx 0 n,n 0

5 FY1006/TFY Øving 4 5 d Etter prepareringen (for t > 0) er bølgefunsjonen Ψ(x, t) = n c n ψ n (x)e ient/ h, der c n er oeffisientene som sulle finnes ovenfor [Denne er li den oppgitte tilstanden ved t = 0, og den oppfyller Schrödingerligningen Mer an ingen reve Anta at det gjøres en måling av energien E til partielen ved t = 0 (umiddelbart etter prepareringen) (i) Hva er de mulige måleresultatene, og hva er sannsynlighetene for disse? (ii) Beregn forventningsverdien E 0 av energien ved t = 0 (uttryt ved grunntilstandsenergien E 1 ) (iii) Hva blir bølgefunsjonen for systemet etter en sli måling? (iv) Hva blir svarene på (i) og (ii) dersom målingen i stedet gjøres ved tiden t (dvs en stund etter prepareringen)? e Etter overslaget av usierheten ( x) 0 i pt a an det være interessant å undersøe ( p x ) 0 Vis først at p x 0 = 0 Finn deretter p 2 x 0 (fes vha resultatet for E 0 ), og sett inn den resulterende usierheten ( p x ) 0 (og overslaget over ( x) 0 ) i usierhetsprodutet ( x) 0 ( p x ) 0