FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, øving 5 1 ØVING 5

Transkript

1 FY045/TFY450 Kvantemekanikk I, 0 - øving 5 ØVING 5 Oppgave 0 α-desintegrasjon α-sdesintegrasjon er en prosess hvor en radioaktiv opphavs -kjerne (parent nucleus) desintegrerer (henfaller) til en datter -kjerne (daughter nucleus) og en α-partikkel (dvs en helium-kjerne, 4 He ++, med ladning e). Figuren viser potensialet mellom α-partikkelen og datter-kjernen ( A ZX, med ladning Ze og nukleontall (massetall) A; merk at A og Z referer til datter-kjernen). Coulomb-delen av dette potensialleddet er V (r) = Ze 4πɛ 0 r. For en α-partikkel med energi E ser vi at dette potensialet utgjør en Coulomb-barriere som strekker seg fra kjerneradien r = (.07 fm)a /3 ut til den ytre venderadien r, som er gitt ved betingelsen E = V (r ) = Ze. 4πɛ 0 r Som nevnt i forelesningene (se også kapittel 8 i Griffiths), kan det vises at transmisjonskoeffisienten for denne barrieren er tilnærmet gitt ved ( T = exp h r ) m[v (r) E] dr. r a. Bruk definisjonen av r til å vise at potensialet V (r) kan skrives som V (r) = Er /r og bruk dette til å uttrykke ln T som ln T = h me r r /r x dx. Fra forelesningene vet vi at det er viktig å finne ut hvordan ln T øker med avtagende E. En kjapp måte å bestemme verdien av integralet på (tilnærmet) er å merke seg at I r /r x dx = 0 x dx r/r 0 x dx.

2 FY045/TFY450 Kvantemekanikk I, 0 - øving 5 Det første integralet på høyresiden er π. (Det kan du lett sjekke ved et enkelt variabelbytte; x = cos y). I det andre integralet kan vi tilnærmet erstatte med /x, siden x < r x /r <<. Tilnærmet finner vi altså for integralet I I = π r /r x / dx = r π /r. 0 (Med det samme variabelbyttet kan en vise at den eksakte verdien av integralet er arccos r /r r /r ( r /r ); se avsnitt 8. i Griffiths.) b. Bruk det tilnærmede resultatet for integralet ovenfor til å vise at logaritmen av transmisjonskoeffisienten kan skrives som hvor ln T = [ K Z ] E K Zr, e K π mc =.979(MeV) /, 4πɛ 0 hc e mc K 4 4πɛ 0 hc hc =.485 fm /. [I kjernefysikk bruker en atommasse-enheten u= MeV/c, som er en brøkdel av massen til karbonisotopen C. Massen til et helium-4-atom er u. Massen til α- partikkelen er dermed ( ) MeV/c = MeV/c. Du får også bruk for hc = ev fm. ] c. Bruk tilnærmingsformelen i pkt b (og hintet nedenfor) til å beregne den teoretiske levetiden (τ) for (opphavs-)kjernene 84 Po (med E 8.9 MeV for α-partikkelen) og 3 90 Th (med E 4. MeV for α-partikkelen). [NB! Husk at datterkjernen har to protoner mindre enn opphavskjernen.] Sammenlign forholdet mellom disse beregnede levetidene med forholdet mellom de målte halveringstidene, som er τ / ( 3 Th) = y(ears). τ / ( Po) s [Hint: Som vist i Oppgave 4 kan vi finne den beregnede levetiden vha formelen τ = t T, hvor T er transmisjonskoeffisienten og t er tiden det tar mellom hver kollisjon mellom α- partikkelen og overflaten av kjernen. Anta at t = r /v, hvor du kan bruke v = E/m. Det kan være lurt å regne ut t separat, for å ha bedre styr på numerikken.]

3 FY045/TFY450 Kvantemekanikk I, 0 - øving 5 3 Oppgave Fermi-impulser og -energier a. Anta at en ideell gass av (ikke-vekselvirkende) spinn- -fermioner befinner seg i grunntilstanden i et volum V, slik at alle tilstander innenfor en kuleflate i impulsrommet er opptatt, mens alle utenfor er ledige. Bruk formelen dn rom = V d3 p h 3 (# romlige tilstander) til å vise at radien av Fermi-kula er ( p F = h 3π N ) /3 (Fermi-impulsen), V der N/V er antall fermioner pr volumenhet. [Merk at Pauli-prinsippet tillater to spinn- - fermioner pr romlig tilstand.] b. Den ideelle Fermi-gass-modellen gir en (forenklet) beskrivelse av ledningselektronene i metaller. Vis at Fermi-impulsene for disse elektronene er ikke-relativistiske (p F << m e c), når det oppgis at antallstetthetene N/V av ledningselektroner varierer fra cm 3 = m 3 for cesium til cm 3 for beryllium. Oppgitt: h/(m e c) = m. c. Finn Fermi-energien for beryllium i elektronvolt, når det oppgis at h /(m e a 0)(= Ry) =3.6 ev, og a 0 = m. d. Elektrontettheten i en hvit dvergstjerne er (i likheten med massetettheten) omlag en faktor 0 6 større enn i ordinær materie. Anta for enkelhets skyld at den i sentrum av stjerna er en faktor 0 6 større enn den vi brukte ovenfor for beryllium. Beregn p F /(m e c) i dette tilfellet, og avgjør om Fermi-impulsen her kan sies å være ikke-relativistisk. Oppgave Operatorer litt repetisjon a. Vis at operatorene x og p y kommuterer, dvs at rekkefølgen på de to operatorene kan byttes, slik at kommutatoren [x, p y ] er lik null. [Hint: Vis at x p y ψ(r) = p y x ψ(r) for en vilkårlig funksjon ψ(r).] Vis på tilsvarende måte at kommutatoren mellom operatorene x og p x er lik i h. Vis også at operatorene x = h i p x og p x = p x (i impulsrepresentasjonen av kvantemekanikk) oppfyller operator-identiteten [ x, p x ] = i h. [Hint: Operer på en vilkårlig funksjon f(r, p, t).] b. For endimensjonale problemstillinger kan vi definere en paritetsoperator P som erstatter en funksjon med dens speilbilde, Pψ(x) = ψ( x). Denne operasjonen, x x, kan også kalles rominversjon. [I tre dimensjoner definerer vi rominversjon som refleksjon med hensyn på origo, r r; se Tillegg 4, eller Hemmer p 7, eller B&J pp 59 6 og 49 5.] Vis at operatoren P er hermitesk. [Hint: Se på integralet [ Pψ (x)] ψ (x)dx = [ψ ( x)] ψ (x)dx,

4 FY045/TFY450 Kvantemekanikk I, 0 - øving 5 4 og innfør en ny integrasjonsvariabel, x = x, for å flytte operatoren P slik at den virker på funksjonen ψ (x). Pass på integrasjonsgrensene under variabelskiftet.] c. Den første overgangen nedenfor følger fra definisjonen av den adjungerte til en operator. Sjekk at du skjønner hver av de følgende overgangene: (Âψ ) ψ dτ = = ψ [ ( ψ )dτ = ( ψ ) ] ψ dτ [ ψ ] [( ) ψ ]dτ = [( ) ψ ] ψ dτ. Hva kan du ut fra dette slutte når det gjelder den adjungerte til den adungerte til operatoren Â, dvs ( )? d. Vis at operatorene  + Â, i(â  ), ÂÂ,   er hermiteske, også om operatoren  er ikke-hermitesk. [Hint: Finn den adjungerte til hvert av de fire uttrykkene, ved hjelp av reglene ( F + Ĝ) = F + Ĝ, ( F Ĝ) = Ĝ F.] La videre B og Ĉ være to hermitske operatorer. Er da operatorproduktet BĈ hermitesk? (Dette er ikke et ja/nei-spørsmål.) Et tilleggsspørsmål: Til observabelen xp x skal det ifølge postulat A svare en lineær hermitesk operator. Hvordan ser denne operatoren ut? [Hint: Prøv med en symmetrisert utgave av operatorproduktet x p x.] e. Finn spektret (de mulige egenverdiene) til paritetsoperatoren P i pkt. b. [Hint: Egenverdiligningen for denne operatoren er Pψ = pψ, hvor p er egenverdien. Operer én gang til på denne ligningen med P. Svaret er p = ±; se Tillegg 4, eller Hemmer, side 7.] Hvilken symmetriegenskap har en like-paritets egenfunksjon (med p = )? Hvilken symmetriegenskap har en odde-paritets egenfunksjon (med p = )? Oppgave 3 Kvadratiske operatorer Kvadratiske observable E, L z, p x osv, representeres av kvadratiske operatorer, (Ĥ, L z, p x etc). La  =  være en slik operator (med hermitesk Â). a. Er  hermitesk? Vis at forventningsverdien av  er ikke-negativ ( 0) for en vilkårlig bølgefunksjon Ψ. [Hint: Bruk hermitesiteten til  til å vise at A Ψ = (ÂΨ) (ÂΨ)dτ.] b. Kan operatoren  ha negative energiegenverdier? [Hint: Anta at  har en egenfunksjon ψ med egenverdi e, regn ut forventningsverdien av  for denne tilstanden ψ, og undersøk om e kan være negativ.]

5 FY045/TFY450 Kvantemekanikk I, 0 - øving 5 5 c. I Øving fant vi at forventningsverdien av den kinetiske energien K = p x/m for en partikkel som beveger seg i én dimensjon er K ψ = h m ψ/ x dx, hvor ψ er partikkelens bølgefunksjon. Ifølge pkt. a ovenfor kan ikke K være negativ. Forklar hvorfor forventningsverdien K av partikkelens kinetiske energi faktisk må være ekte positiv (større enn null) dersom tilstanden ψ er lokalisert (med en kvadratisk integrerbar ψ(x) som er normerbar og som må gå mot null for store x ). Merk: Bundne tilstander MÅ være lokaliserte. Ubundne tilstander (som f.eks en bølgepakke for en fri partikkel) KAN være lokaliserte. d. Andre eksempler på kvadratiske operatorer er Ŝ x, Ŝ y, Ŝ z og Ŝ, der observabelen S er den indre dreieimpulsen (spinnet) til en partikkel. Disse operatorene skal vi komme tilbake til senere. Men allerede ut fra erfaringene ovenfor bør du kunne svare på følgende spørsmål: Kan Ŝ x, Ŝ y og Ŝ z ha negative egenverdier? Og kan Ŝ ha negative egenverdier?