FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Løysing øving 2 1 LØYSING ØVING 2. a) For grunntilstanden for den harmoniske oscillatoren har vi

Transkript

1 FY6/TFY45 Innføring i kvantefysikk - Løysing øving Løysing oppgåve LØYSING ØVING Krumningseigenskapar for eindimensjonale energiegenfunksjonar a) For grunntilstanden for den harmoniske oscillatoren har vi ( ψ = C e mωx / h, ψ = ψ mω ) ( m h x, ψ ω = ψ h x mω ), h slik at den relative krumninga er Her ser vi at ψ = m ω ( ψ h x h ). mω (i) ψ /ψ er negativ for h/mω < x < h/mω, dvs mellom dei klassiske vendepunkta, altså i det klassisk tillatne området der E > V (x). I dette området krummer altså ψ mot aksen. (ii) Utafor dette området ser vi på tilsvarende måte at ψ krummer bort frå aksen. (iii) For x = ± h/mω er ψ =, og vi konkludere at den relative krumninga skiftar forteikn i dei klassiske vendepunkta. b) I områda a < x < b er V = og ψ =. Den tidsuavhengige Schrödingerlikninga gjev då E = Ĥψ ψ = ( h /m)ψ + V ψ ψ =. Energien til denne tilstanden er altså lik null. For x < a kan vi da skrive h m ψ + V ψ =, = V = h ψ m ψ. Diagrammet viser at den relative krumninga er negativ i dette området (krumning mot aksen). Potensialverdien V i dette området må difor vere negativ, slik at området er klassisk tillate.

2 FY6/TFY45 Innføring i kvantefysikk - Løysing øving Løysing oppgåve a) Ymse For grunntilstanden i boksen med breidde L kan ein finne bølgjetalet k frå kravet k L = π, slik at energien er E = h k m = π h ml. Når breidda reduserast til ein tredel, blir bølgjetalet tre ganger så stort Dette tyder større krumning av bølgefunksjonen sin(k x), og dermed blir energien ni gangar så stor. Jo mindre plass vi gjev partikkelen, desto høgare blir grunntilstandsenergien (og dei andre energinivåa). Med andre ord, jo mindre plass vi gjev partikkelen, desto høgare (kinetisk) energi er den nøydd til å ha. Dette kallar vi gjerne for kvantevillskap. b) Middelverdien til p x i grunntilstanden ψ er L p x = i h i h π L ψ (x) d dx ψ (x) dx L sin( πx πx ) cos( ) dx L L =. (.) Dette resultatet kan ein og finne ved å bruke at integranden er ein odde funksjon om midtpunktet L. Middelverdien til p x i grunntilstanden ψ kan ein rekne ut på same måte: L p x = (i h) ψ (x) d dx ψ (x) dx h π L sin ( πx L L ) dx L = h π L, (.) Vi noterer oss at dette integralet er lik normeringsintegralet for ψ (x). Dette gjev p x = hπ L. Frå oppgåveteksen kan ein lett finne x = L 6 π og dermed får vi x p x = h π h. (.3) Vi ser at x p > h, altså er Heisbergs uskarpheitsrelasjon tilfredsstilt. c) V og K for grunntilstanden i hydrogen

3 FY6/TFY45 Innføring i kvantefysikk - Løysing øving 3 Her treng vi forventningsverdien av /r i den oppgjevne tilstanden. Kulesymmetrien gjer at vinkelintegralet blir 4π. Ein får /r = = 4 a 3 r ψ d 3 r = r πa 3 r e r/a dr = 4 a 3 e r/a 4πr dr! (/a ) = a. Dermed er forventningsverdien av den potensielle energien i tilstanden ψ ( ) V = e e = m e c = α m e c = E 4πɛ a 4πɛ hc og for den kinetiske energien har vi da K = E V = α m e c = E. d) Estimat av K. Vi har at ψ (r) e r/a der a har dimensjon lengde. Det implisererer at middelverdien til x er proporsjonal med a og middelverdien til x er proporsjonal med a. Usikkerheiten i x er då proporsjonal med a og vha uskarpheitsrelasjonen kan vi lage estimatet p x h x for usikkerheiten i x-komponenten av impulsen. Da p x = p x + ( p x ) = ( p x ), blir det tilsvarande estimatet for den kinetiske energien i grunntilstanden h a K p m x + p y + p z = 3 h e m e 4a altså 75 % av den eksakte verdien. Løysing oppgåve 3 = 3 h 8m e a = 3 4 α m e c, a) Vi merkar oss at sannsynleghetstettheiten Ψ(x, ) = (πσ ) / e x /σ er ei normalfordeling (Gauss-fordeling), symmetrisk mhp origo. Forventningsverdien til x er difor lik null: x = Ψ (x, ) x Ψ(x, )dx = x Ψ(x, ) dx =. Dette følgjer og av at integranden er antisymmetrisk med omsyn på origo, eller er ein odde funksjon. Fordi Ψ(x, ) er uavhengig av p, vil også x og dermed x = x x vere uavhengige av p.

4 FY6/TFY45 Innføring i kvantefysikk - Løysing øving 4 b) La oss først kontrollere normeringa. Med notasjonen α /σ er Ψ(x, ) = α/π e αx, slik at α Ψ(x, ) dx = π e αx dx = α π π α Vidare finn vi ved hjelp av eit av dei oppgjevne Gauss-integrala x = α = π Dette gjev usikkerheiten Ψ (x, )x Ψ(x, )dx = =, q.e.d. x Ψ(x, ) dx x e αx dx = α π π α 3/ = α = σ. x = (x x ) = σ. Moralen er difor at ein sannsynleghetstettheit på Gauss-forma Ψ e x /σ er usikkerheiten (standardavviket) x gitt ved σ. At x σ, skjønar vi utan å rekne. Fysisk tolkning av x og x: Dersom vi preparerer systemet (N ganger) slik at det er i tilstanden Ψ(x, ) ved t =, og kvar gang måler posisjonen x ved dette tidspunktet, eventuelt måler på N identisk preparerte system, vil middelverdien av dei målte posisjonane, x = N x n, N n= nærme seg den teoretiske forventningsverdien x = for store N. Tilsvarende vil standardavviket N (x n x) N, n= nærme seg den teoretiske usikkerheiten x = σ. c) Ei rein harmonisk planbølgje exp(ip x/ h) exp(ikx) svarer til ein skarpt definert impuls p (dvs eit skarpt definert bølgjetal k = p / h). Fordi Ψ(x, ) liknar meir og meir på ei slik rein harmonisk bølgje jo større σ er, må ein da vente at p x p og p x når σ. d) Vi reknar først ut og p x Ψ = h i d dx (π/α) /4 e ip x/ h αx / = (p + i hαx)ψ p xψ = [(p + i hαx) + h α]ψ. Det er nå lett å rekne ut at forventningsverdien av p x faktisk er uavhengige av α (dvs av σ): p x = Ψ p x Ψdx = Ψ (p + i hαx)ψdx = p + i hα x = p. Hvorfor må vi preparere systemet på nytt foran hver måling? Svar: Se målepostulatet (D).

5 FY6/TFY45 Innføring i kvantefysikk - Løysing øving 5 Her har vi brukt at leddet med p gjev normeringsintegralet, medan leddet med x gjev integralet for x. Dette er eit døme på at det løner seg å ha oversikt. Vidare har vi p x = Ψ (p +p i hαx h α x + h α)ψdx = (p + h α) + h α x = p + h 4σ. Usikkerheiten i impulsen for tilstanden Ψ(x, ) er dermed p x = p x p x = h σ. Vi ser at p x går mot null når utstrekninga σ av bølgepakka går mot uendeleg, slik vi var inne på i c). At forventningsverdien p x er lik p ikkje berre for store σ, men for alle, kunne vi kanskje ikke gjette. Vi merkar oss at produktet av usikkerhetene i x og p x er x p x = h, som er den minste verdien vi kan ha ifølge Heisenberg. Moralen er: Dersom ein ønskjer ein veldig skarpt definert impuls (liten p x ), så må ein betale prisen gjennom ei stor utstrekning x = σ. Omvendt kan ein ønskje seg ei veldig skarpt lokalisert bølgepakke (liten x = σ), men da blir både p x = h/σ og p x = p + h /4σ veldig store. Altså, jo mindre plass vi gjev partikkelen, desto meir uskarp blir impulsen, og desto større kinetisk energi er partikkelen nødt til å ha. Jo trangere bur, desto villare tiger ; denne kvante-villskapen er éin av konsekvensane av partiklers bølgjenatur, og spelar ofte ei sentral rolle i kvantemekaniske problemstillingar. Desse eigenskapane gjeld ikkje berre for den spesielle bølgepakkea Ψ(x, ). Relasjonen ovanfor er nemleg eit spesialtilfelle av Heisenbergs uskarphetsrelasjon, som seier at x p x h (for alle tilstandar Ψ(r, t)). I avsnitt 4.5 i boka er det vist at ein kan utleie uskarpheitsrelasjonen frå kommutatorrelasjonen [x, p x ] = i h. Der er det og vist likheit ovanfor gjeld berre for ei klasse av Gaussiske funksjonar. Bølgjepakka Ψ(x, ) ovanfor er eit spesialtilfelle av desse funksjonene. Merk elles at grunntilstanden ψ (x) for den harmoniske oscillatoren er eit spesialtilfelle av Ψ(x, ) (for p = ), slik at denne bølgjefunksjonen har minimalt usikkerheitsprodukt. Den fysiske tolkninga av p x og p x er nøyaktig den same som for x og x, når vi byttar ut x med p x i tolkninga i b). Ifølge tilstandspostulatet (B) inneheld Ψ(x, ) og informasjon om sannsynlegheitsfordelinga av impulsar p x i den aktuelle tilstanden. Kommentar: Stikkordet her er Fourier-analyse: Som vi var inne på i innleiinga til oppgaveteksten, kan Ψ(x, ) skrivast som eit Fourier-integral over planbølgjer, Ψ(x, ) = φ(p)e ipx/ h dp φ(p)ψ (π h) / p (x)dp. Her er koeffisient-funksjonen φ(p) essensielt Fourier-transformen av Ψ(x, ). Som vi skal sjå, kan ein finne den ved å projisere Ψ(x, ) på planbølgja ψ p (x): φ(p) = ψ p, Ψ() ψ p (x)ψ(x, )dx.

6 FY6/TFY45 Innføring i kvantefysikk - Løysing øving 6 Integralet er av typen I(a, b) = +by e ay dy = e b /4a π/a, og det viser seg at resultatet blir ( ) σ /4 φ(p) = π h e σ (p p ) / h, altså ei Gaussfordeling omkring p. Denne funksjonen gjev oss direkte informasjon om impulsinnhaldet i den aktuelle tilstanden; i kapittel.4. i boka lærer vi at φ(p) dp er sannsynlegheiten for å finne impulsen p x i intervallet (p, p+dp). φ(p) er såleis sannsynleghetstettheiten i impulsrommet. Denne fortel at forventningsverdien av impulsen er p, og vi kan også bruke den til å lese ut usikkerheiten i impulsen. Denne er sjølsagt den same som vi fann i d). e) Sidan gruppehastigheiten til ei de Broglie-bølge er v g = dω dk k = de = p x dp x m, px der p x = h k er den dominerande impulsen i bølgepakka, må ein vente at v g (= d x t dt ) = p m, der p er impuls-parameteren som inngår i Ψ(x, ). Dette kan ein vise på fleire måtar t.d ved å løyse Schrödingerligningen for den frie partikkelen, Ψ(x, t) i h t = h Ψ(x, t), m x med den oppgjevne intialtilstanden Ψ(x, ). Det følgjer og frå Ehrenfests teorem, se avsnitt 4.4 i boka. Dette kjem vi tilbake til.