FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk 26. mai 2016 Side 1 av 3

Transkript

1 FY16/TFY4215 Innføring i kvantefysikk 26. mai 216 Side 1 av 3 FLERVALGSOPPGAVER TRENING TIL EKSAMEN En partikkel med masse m beskrives av den stasjonære tilstanden Ψ(x,t) = ψ(x)e iωt, med e ikx + 1 3i e ikx x < ψ(x) = f(x)+g(x) x 2 2i 2 3 eikx x > 2 Oppgavene 1 2 omhandler denne partikkelen. 1) Hva er partikkelens energi E? A) E = 8k B) E = hk C) E = k/m D) E = hω E) E = 2) Hva er sannsynlighetsstrømmen j for denne tilstanden? A) j = k 2 B) j = 3 hk C) j = 8 hk/9m D) j = k/3m E) j = 3) En partikkel med masse m befinner seg i bokspotensialet V(x) = for < x < L; V(x) = ellers. Energiegenfunksjoner ψ n (x) og tilhørende energiegenverdier E n er oppgitt i formelarket. Anta at partikkelen befinner seg i (den normerte men ikke stasjonære) tilstanden 5 Ψ(x,t) = c n ψ n (x)exp( ie n t/ h), n=1 med c 1 = c 2 = c 3 = c 4 = c 5 = 1/ 5. Hva er forventningsverdien E av partikkelens energi? A) E = 11h 2 /4mL 2 B) E = 33h 2 /4mL 2 C) E = 55h 2 /4mL 2 D) E = 77h 2 /4mL 2 E) E = 99h 2 /4mL 2 4) Hva er kommutatoren [ p z,z]? A) B) i h C) h/i D) i h p z /m E) i hz 5) Hva er kommutatoren [z, K]? A) B) i h C) h/i D) i h p z /m E) i hz

2 FY16/TFY4215 Innføring i kvantefysikk 26. mai 216 Side 2 av 3 6) Til hvilke operatorer er ψ(x, y, z) = sin(kx) cos(ky) tan(kz) en egenfunksjon? A) p x og p z B) p y C) p y og Ĥ D) Ĥ E) Ingen av disse V(x) (ev).5. ψ(x) x (nm) x (nm) 7) Figuren til venstre viser et endimensjonalt potensial V(x). Hva kan du si om energiegenverdien E assosiert med bølgefunksjonen til høyre? A) E.8 ev B) E.4 ev C) E D) E.4 ev E) E.8 ev 8) Hvor mange negative energiegenverdier har potensialet i forrige oppgave? A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9 9) Den isotrope tredimensjonale harmoniske oscillatoren, V(x,y,z) = 1 2 mω2 (x 2 +y 2 +z 2 ) = 1 2 mω2 r 2 = V(r), har energiegentilstander på produktform, ψ nxn y n z (n x n y n z ) = ψ nx (x)ψ ny (y)ψ nz (z), der ψ nx (x) osv er energiegentilstander til den tilsvarende endimensjonale harmoniske oscillatoren (se formelark). Hva er det klassisk tillatte området for en partikkel i den stasjonære tilstanden (222)? A) r D) r 5 h/mω 35 h/mω B) r E) r 15 h/mω 45 h/mω C) r 25 h/mω

3 FY16/TFY4215 Innføring i kvantefysikk 26. mai 216 Side 3 av E (ev) R 1) En kjemisk reaksjon kan beskrives med en energifunksjon E(R) som i figuren over. Her er R en dimensjonsløs reaksjonskoordinat. Anta at reaksjonen starter i et lokalt energiminimum og går via en transisjonstilstand til et globalt energiminimum. Hva er denne reaksjonens aktiveringsenergi? A) E a = 3.3 ev B) E a = 4.3 ev C) E a = 5.3 ev D) E a = 6.3 ev E) E a = 7.3 ev

4 FY16/TFY4215 Innføring i kvantefysikk 26. mai 216 Vedlegg 1 av 4 FORMLER ETC Partikkel i boks V(x) = for < x < L, V(x) = ellers ψ n (x) = 2 nπx sin L L, E n = n2 π 2 h 2 2mL 2, n = 1,2,3,... Endimensjonal harmonisk oscillator ( h2 2 ) 2m x mω2 x 2 ψ n (x) = hω(n+ 1 )ψ 2 n(x); ψ n,ψ k = δ nk ; ψ n (x) = ( ) mω 1/4 1 /2 H π h 2n n! e y2 n (y), y = x h/mω ; H (y) = 1, H 1 (y) = 2y, H 2 (y) = 4y 2 2, H 3 (y) = 8y 3 12y, ; Pψ n (x) ψ n ( x) = ( 1) n ψ n (x). Laplace-operatoren og dreieimpulsoperatorer i kulekoordinater ˆL x = h i ( 2 = 2 r r r ˆL h 2 r 2; ( ˆL 2 = h 2 2 θ +cotθ 2 θ ) sin 2, θ φ 2 ˆLz = h i ) cotθ cosφ, ˆLy = h ( cosφ φ i θ sinφ θ [ L 2, L z ] =, [ L x, L y ] = i h L z, osv. 2 φ ; cotθ sinφ φ ) ; Vinkelfunksjoner { } { ˆL2 h 2 l(l+1) Y lm = ˆL z hm } Y lm, l =,1,2,...; 2π 1 dφ d(cosθ)y l 1 m Y lm = δ l lδ m m; Y 2 = Y = 1 3, Y 1 = 4π 4π cosθ = 3 4π z r Y p z, 3 x Y px = 4π r = 1 (Y 1, 1 Y 11 ), Y py = π (3cos2 θ 1); Y 2,±1 = 3 4π 3 Y 1±1 = 8π sinθe±iφ ; y r = i (Y 11 +Y 1, 1 ); 2 8π sinθcosθe±iφ ; Y 2,±2 = PY lm = ( 1) l Y lm π sin2 θe ±2iφ.

5 FY16/TFY4215 Innføring i kvantefysikk 26. mai 216 Vedlegg 2 av 4 Energiegenfunksjoner og radialligning, kulesymmetrisk potensial V(r) [ h2 d 2 ] 2mdr 2 +Vl eff (r) u(r) = Eu(r), ψ(r,θ,φ) = u(r) r Y lm (θ,φ); V l eff (r) V(r)+ h2 l(l +1) 2mr 2, u() =. Energiegenverdier og -egenfunksjoner, hydrogenatomet, V(r) = e 2 /(4πǫ r) R 1 = 2 e r/a ; R a 3/2 2 = E n = E 1 n 2 E 1 (l+1+n r ) 2, E 1 = 1 2 α2 m e c 2 ; ψ nlm = R nl (r)y lm (θ,φ); ( 1 r 2a 1 2a 3/2 ) e r/2a ; R 21 = 1 2 6a 3/2 r a e r/2a. Noen konstanter a = 4πǫ h 2 m e e m (Bohr-radien); α = e2 4πǫ hc (finstrukturkonstanten); 1 2 α2 m e c 2 = h2 2m e a ev (Rydberg-energien). m e kg h = h/2π Js e C u kg Noen formler sina = (e ia e ia )/2i, cosa = (e ia +e ia )/2; tany = 1 coty = tan(y +nπ), n =,±1, ; sinhy = 1 2 (ey e y ); coshy = 1 2 (ey +e y ); tanhy = 1 cothy = sinhy coshy ; cosh 2 y sinh 2 y = 1; d d sinhy = coshy; dy y 1 exp(y) 1+y z 1 +z 2 2 = z z Re(z 1z 2 ) coshy = sinhy. dy

6 FY16/TFY4215 Innføring i kvantefysikk 26. mai 216 Vedlegg 3 av 4 de Broglie: Schrödingerligningen: Tidsuavhengig Schrödingerligning: λ = h/p, ν = E/h i h Ψ t = ĤΨ Ĥψ = Eψ Impulsoperator: Kinetisk energi: Dreieimpuls: p x = h i x, p = h, f(p) f( p) i K = p2 2m L = r p Heisenbergs uskarphetsprinsipp: Kommutator: Stasjonær tilstand: x p h/2 A B 1 [Â, B] 2 [Â, B] = Â B BÂ Ψ(x,t) = ψ(x)e iet/ h Forventningsverdier: x = p = F = Ψ xψdx Ψ h i x Ψdx Ψ FΨdτ Bølgepakke: Ψ(x,t) = j c j ψ j (x)e ie jt/ h Grensebetingelser: ψ(x) kontinuerlig overalt, dψ/dx diskontinuerlig ved sprang i V(x)

7 FY16/TFY4215 Innføring i kvantefysikk 26. mai 216 Vedlegg 4 av 4 Sannsynlighetsstrøm: [ ( ) ] h j = Re Ψ Ψ mix Usikkerhet (standardavvik): x = x 2 x 2, p = p 2 p 2 Ehrenfests teorem: d dt r = p m, d p = V dt

8 FY16/TFY4215 Innføring i kvantefysikk 26. mai 216 Svartabell Emnekode: Kandidatnummer: Oppg A B C D E Oppg A B C D E NB: Kontroller at du har satt nøyaktig ETT kryss for HVER oppgave!