EKSAMENSOPPGAVE. Tillatte hjelpemidler: K. Rottmann: Matematisk Formelsamling Lommekalkulator med tomt minne

Transkript

1 EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: FYS-000 Kvantemekanikk Dato: Mandag 6. september 016 Tid: Kl 09:00 1:00 Sted: Auditorium Maximum, Administrasjonsbygget Tillatte hjelpemidler: K. Rottmann: Matematisk Formelsamling Lommekalkulator med tomt minne Oppgavesettet er på 6 sider inklusiv forside og vedlagt formelark Kontaktperson under eksamen: Cesar La Hoz Telefon: NB! Det er ikke tillatt å levere inn kladd sammen med besvarelsen

2 Oppgave 1 - Kvantemekanikkens postulater Beskriv kort kvantemekanikkens postulater. Svaret ditt bør være strukturert og inneholde Diracs notasjon. Her vektlegger vi din formidling av kvantemekanikkens postulater, ikke antallet. I tillegg ønsker vi å se på din forståelse av Diracs notasjon. Oppgave - Løsning av Schrödningerligningen Et elektron med masse m beveger seg langs x-aksen i et éndimensjonalt tidsuavhengig potensial V x) beskrevet ved: for x < 0 V x) = 0 for 0 x L 1) V 0 for x > L, der V 0 og L er positive reelle størrelser. Vi skal gjennom hele oppgaven anta at energiegenverdien E til partikkelen er mindre enn potensialverdien V 0. a) Bruk seperasjon av variable, Ψx, t) = ψx)φt), til å vise at den tidsavhengige Schrödingerligningen kan reduseres til den såkalte tidsuavhengige Schrödingerligningen d ψx) + V x)ψx) = Eψx), m dx samt gi en differentsialligning for tidsevolusjonen. Finn løsningen av differentsialligning som beskriver tidsevolusjonen φt). b) Beskriv kort hva som menes med en normerbar løsning. Vis deretter at energien, E, generelt må være reell for normerbare løsninger. Det oppgis at i grensetilfellet hvor V 0 er de normerte egenfunksjonene med tilhørende egenverdier gitt ved nπx ) ψ n x) = L sin, L E n = π ml n, n = 1,,..., for området 0 x L.

3 c) Hva er den generelle løsningen av den tidsuavhengige Schrödingerligningen for de tre romlige områdene x < 0, 0 x L og x > L når potensialet er gitt ved 1)? Her kan det være nyttig å sjekke om svaret ditt er riktig ved å ta grensetilfellet der V 0. d) Vis at løsningen funnet i forrige punkt sammen med grenseverdibetingelsene i punkt x = 0 og x = L gir følgende ligning for energiegenverdien: mel E tan = V 0 E. Bruk denne ligningen til å vise at bredden L må tilfredstille følgende relasjon: L > π /8V 0 m for at det skal eksistere minst én bunden tilstand for systemet. Oppgave - Sentralsymmetrisk potensial Energiegenfunksjonen til en punktpartikkel med masse M som befinner seg i et sentralsymmetrisk potensial V r) kan generelt skrives på formen: ψr, θ, φ) = Rr)Y lm θ, φ), der Rr) representerer den radielle delen av energiegenfunksjonene og Y lm θ, φ) er sfærisk harmoniske funksjoner. Du kan i hele oppgaven anta at Rr) og Y lm θ, φ) er normerte funksjoner, dvs. π dφ θ dθ sin θ Y 0 0 lm = 1. I tabell 1 har vi skrevet ut eksplisitte uttrykk for Y lm θ, φ) når l <. Fra klassisk mekanikk har vi at det orbitale angulærmomentet er gitt ved L = r p, der r og p er henholdsvis avstandsvektor og lineært momentum. a) Finn et uttrykk for den orbitale angulærmoment-operatoren L, og vis deretter at Hamiltonoperatoren kan skrives som Ĥ = M r + ) L + r r Mr + V r). b) Vis at operatorene L x, L y og L z ikke kommuterer med hverandre. Hva betyr dette for eventuelle målinger av L-komponentene? I resten av oppgaven skal vi anta at systemet prepareres i energiegentilstanden [ ] i ψr, θ, φ) = Rr)Y θ, φ), der Y θ, φ) = Y 11 θ, φ) + Y 1 1 θ, φ)).

4 Tabell 1: De enkleste kulefunksjonene l m Y lm θ, φ) π 1 1 sin θeiφ 1 0 cos θ 4π 1-1 sin θe iφ π sin θe iφ 1 sin θ cos θeiφ π cos θ 1) -1 sin θ cos θe iφ - π sin θe iφ c) Vis at Y θ, φ) er en egenfunksjon til operatorene L og Ly tilhørende egenverdier. og bestem de d) Vis at radialfunksjonen Rr) må oppfylle differentsialligningen ]} { d [V m dr + r) + rrr)) = E rrr)), Mr for at ψr, θ, φ) skal være en energiegentilstand med energi E. Hva kan du si om usikkerhetene til energien og observablene L og L y når systemet er preparert i den aktuelle tilstanden? e) Angi hvilke betingelser systemets Hamiltonoperator Ĥ og operatorene L og L y må oppfylle for at det skal eksistere et simultant egenfunksjonssett til disse tre operatorene? Kan observabelen L z ha en skarp verdi når systemet er preparert i tilstanden ψr, θ, φ) angitt ovenfor? Anta at observabelen L z måles når systemet er preparert i tilstanden ψr, θ, φ). Hva er forventningsverdien av L z i denne tilstanden? f) Hva er de mulige måleresultatene for observabelen L z og hva er sannsynlighetene for disse? Hva blir etter dette usikkerhet til L z i den preparerte tilstanden? 4

5 Nyttige formler Formler fra kvantemekanikken Ψ r, t) i = t Ĥ p, r, t)ψ r, t), der p = i og r = r d F = i ] [Ĥ, dt F + F, der F = Ψ F Ψdτ t F G 1 ] [ F, Ĝ, der F = F F ) Kulekoordinater x = r sin θ cos φ r = x + y + z y = r sin θ sin φ cos θ = z/ x + y + z z = r cos θ tan φ = y/x x = sin θ cos φ cos θ cos φ + r r θ sin φ r sin θ φ y = sin θ sin φ cos θ sin φ + r r θ + cos φ r sin θ φ z = cos θ r sin θ r θ x = sin θ cos φ r + cos θ cos φ r θ + sin φ r sin θ φ + cos θ cos φ + sin φ r r sin θ cos θ ) cos φ sin φ φ cos φ + sin r r tan θ θ r sin θ φ + sin θ cos θ cos φ r rθ sin φ cos φ φ cos φ sin r rφ r tan θ θφ y = sin θ sin φ r + cos θ sin φ r θ + cos φ r sin θ φ + cos θ sin φ + cos φ r r + sin θ cos θ ) sin φ + cos φ φ cos φ sin r r tan θ θ r sin θ φ + sin θ cos θ sin φ r rθ sin φ cos φ φ cos φ + + sin r rφ r tan θ θφ z = cos θ r + sin θ r θ + sin θ θ cos θ θ cos θ + sin sin r r r θ r rθ 5

6 xy xz yz = sin φ cos φ [sin θ r + cos θ r θ 1 r sin θ φ sin θ r r ) ] sin θ cos θ 1 θ cos θ + + sin r r tan θ θ r rθ + cos φ sin φ r rφ + 1 r tan θ θφ 1 ) r sin θ φ = sin θ cos θ cos φ r 1 r r 1 ) + cos φ cos θ sin θ ) r θ r rθ 1 r + sin φ 1 r r θφ 1 ) tan θ rφ = sin θ cos θ sin φ r 1 r r 1 ) + sin φ cos θ sin θ ) r θ r rθ 1 r cos φ 1 r r θφ 1 ) tan θ rφ ) θ ) θ Diverse { ) ) d fx) Λ < 0; A exp Λx + B exp + Λ f = 0 Λx Λx ) Λx ) dx Λ > 0; A sin + B cos [ ] [Â B, Ĉ] = Â B, Ĉ + [Â, Ĉ] B 6