EKSAMEN I FY2045/TFY4250 KVANTEMEKANIKK I Mandag 8. august 2011 kl

Transkript

1 NORSK TEKST Side av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf , eller EKSAMEN I FY045/TFY450 KVANTEMEKANIKK I Mandag 8. august 0 kl Tillatte hjelpemidler: Godkjent kalkulator Rottmann: Matematisk formelsamling Øgrim & Lian: Størrelser og enheter i fysikk og teknikk, eller Lian og Angell: Fysiske størrelser og enheter Et ark med uttrykk og formler er vedlagt. Sensuren faller i uke 35. Oppgave En partikkel med masse m beveger seg i et endimensjonalt potensial som er en overlagring av en deltafunksjonsbrønn og et potensialsprang: Her er V x = β δx + V 0 Θx ; β > 0, V 0 > 0. Θx = { 0 for x < 0 for x 0 sprangfunksjonen. I denne oppgaven skal vi studere energiegenfunksjoner for dette systemet. a. Innledningsvis får du tre små oppdrag: Finn hvilken form en egenfunksjon med energi E < V 0 må ha i området x > 0. Vis deretter at en egenfunksjon med energi E > 0 beskriver en ubunden tilstand. Angi hvor stor sannsynligheten er for at partikler som kommer inn fra venstre med 0 < E < V 0 blir reflektert.

2 Side av 4 b. Skriv ned skjøtebetingelsene for x = 0 som alle energiegenfunksjoner for dette systemet må oppfylle, ved hjelp av diskontinuitetsbetingelsen oppgitt på formelarket. Som anført i pkt. a er egentilstander med E > 0 ubundne. Hvorfor må eventuelle bundne egentilstander i dette potensialet ha E < 0? [Hint: Finn ut hvilken form en egentilstand med E = 0 må ha for x < 0, om den eksisterer.] Hva blir formen for x < 0 for en eventuell egentilstand med E < 0? c. Vi setter nå V 0 = v 0 Ry = v 0 h m e a 0 og β a 0 = b Ry = b h, m e a 0 der tallfaktorene v 0 0 og b > 0 er dimensjonsløse. I tillegg innfører vi en dimensjonsløs energivariabel ɛ ved å sette h E = ɛ Ry = ɛ. m e a 0 Vi antar dessuten at partikkelen med masse m er et elektron m = m e. For en bunden tilstand ɛ < 0 må ɛ da oppfylle betingelsen v0 ɛ + ɛ = v 0 + ɛ + ɛ = b v 0 0, b > 0. Utled denne betingelsen. Hvor mange bundne tilstander eksisterer det ifølge denne betingelsen for en gitt b > 0 i grensen v 0 0 dvs når potensialet forenkler seg til en enkel δ-brønn, og hva er eventuelt ɛ-verdiene energiene i Rydberg-enheter til disse bundne tilstandene? Hvor stor må b minst være for at det skal eksistere en bunden tilstand når v 0 > 0, og hvor mange bundne tilstander har vi når b oppfyller dette kravet? [Hint: Ligningen ovenfor kan løses grafisk.] d. Anta nå at E > V 0, dvs ɛ > v 0. Spredningsprosessen der elektroner som kommer inn fra venstre med energien E = ɛ h /m e a 0 og enten blir reflektert eller transmittert, kan beskrives ved hjelp av en egenfunksjon på formen { e ψ = ikx + re ikx for x < 0, te ik x for x > 0, der r og t er komplekse koeffisienter. Det kan vises at ɛ ɛ v0 + ib r = ɛ + ɛ v0 ib ; ɛ v 0 0, b vilkårlig, og at sannsynligheten for at elektronet blir reflektert er R = r. Finn R i grensen der E nærmer seg V 0 ovenfra. Finn også ut hvilke krav ɛ må oppfylle for at refleksjonssannsynligheten R skal være mye mindre enn for spesialtilfellene i v 0 = 0 og b 0, enkelt delta-potensial, ii b 0 og v 0 > 0; enkelt potensialsprang.

3 Side 3 av 4 Oppgave En spinn- -partikkel befinner seg i utgangspunktet i et konstant og homogent magnetfelt B = B 0ˆn, der ˆn = ˆx sin θ + ẑ cos θ, med 0 < θ < π. Når vi ser bort fra andre frihetsgrader, kan Hamilton-operatoren for dette systemet skrives på formen der vi antar at ω er positiv. Ĥ = ω S ˆn = hω σ ˆn, a. Angi de mulige egenverdiene til S ˆn. Ved t = 0 foretas det en energimåling som etterlater spinnet i tilstanden cos χ0 = θ sin θ. Finn den målte energiverdien. Hva er spinnretningen σ 0 umiddelbart etter målingen? Hva er χt og spinnretningen σ t i tiden etter denne målingen og fram til systemet eventuelt forstyrres på nytt? b. Ved tiden t = 4π/ω er χt = χ0. Ved dette tidspunktet endres B-feltets retning plutselig, slik at feltet ved t = t + er B = B 0 ẑ, og slik at den nye Hamiltonoperatoren blir Ĥ = hω σ z. Endringen skjer så raskt at vi kan sette χt + = χ0. Finn forventningsverdiene E og E og usikkerheten E for t = t +. Hvorfor er disse størrelsene tidsuavhengige helt til systemet eventuelt forstyrres på nytt? c. Finn forventningsverdien S t som funksjon av tiden for t > t. Oppgave 3 Figuren viser et kubisk bokspotensial som inneholder et elektron i grunntilstanden. Ved t = 0 utsettes dette systemet for et elektrisk felt i form av en deltafunksjonspuls. Denne svarer til et perturberende ledd V t = zp 0 δt, en perturberende kraft Ft = ẑ p 0 δt og en impulsoverføring p 0 i z-retningen. Denne problemstillingen skal angripes ved hjelp av første-ordens tidsavhengig perturbasjonsteori. Som normerte energiegentilstander for det uperturberte systemet kan vi bruke ψ nxnyn z = ψ nx xψ ny yψ nz z, med ψ nx x = L sinn xπx/l, n x =,,, osv.

4 Side 4 av 4 For t > 0 etter at perturbasjonen er overstått kan bølgefunksjonen i prinsippet skrives på formen Ψ = a nxnyn z ψ nxnyn z exp ie nxnyn z t/ h, n xn yn z der amplitudene a nxnyn z er tidsuavhengige. Det oppgis at 0 for k n = 0, ±, ±4, L I k,n ψ k z z ψ n zdz = 0 8knL for k n = ±, ±3,. π k n a. Finn først matrise-elementene V fi t [av perturbasjonen V t] som inngår i amplitudene for overganger fra grunntilstanden ψ i = ψ til tilstandene ψ f = ψ nz, med n z, uttrykt ved integralene I nz, se ovenfor. Beregn så disse overgangsamplitudene a nz og de tilsvarende sannsynlighetene, uttrykt ved p 0 og L. b. Hvorfor er alle amplitudene a nxn yn z med n x og/eller n y lik null? Hva er betingelsen for at første-ordens-resultatene funnet hittil skal være en god tilnærmelse? c. Anta nå at elektronet i boksen er eksitert til tilstanden ψ ved hjelp av en passende perturbasjon, og at de-eksitasjonen skjer via spontan emisjon av fotoner. Vi antar at denne prosessen ikke påvirkes av veggene i boksen. Den spontane overgangsraten sannsynligheten pr tidsenhet kan da i dipoltilnærmelsen beregnes ved hjelp av formelen w i f = α 4ω3 if 3c d fi, der d fi ψ f r ψ i d 3 r ê x d x + ê y d y + ê z d z og ω if = E i E f. h Beregn x-komponenten d x av dipolmomentet d fi for overgangen fra ψ i = ψ til ψ f = ψ nxnyn z, uttrykt ved integralet I nx,. Finn ut hvilke spontane overganger som bidrar til den samlede overgangsraten w for tilstanden ψ. Finn et uttrykk for w og avgjør hvordan denne skalerer som funksjon av L. d. Anta at L = 4 a 0, og finn tallverdier for i dipolmomentet d x, ii energien til det emitterte fotonet, iii Bohr-frekvensen ω if og iv overgangsraten w. Avgjør om dipoltilnærmelsen er en god tilnærmelse for dette tilfellet. Oppgitt: a 0 = 4πɛ 0 h m e e = m ; α = h m e a 0 = 3.6 ev ; h = evs ; e 4πɛ 0 hc = ; c = m/s.

5 Vedlegg: Formler og uttrykk Noe av dette kan du få bruk for. Diskontinuitetsbetingelse, med potensial V x = αδx a ψ a + ψ a = mα h ψa. Endimensjonal boks, V x = 0 for 0 < x < L, uendelig utenfor ψ n x = L sin k nx; E n = h k n m ; k n = nπ/l; ψ k, ψ n = δ kn. Sannsynlighets-strømtetthet Binomialutviklingen Målepostulatet [ jr, t = Re Ψ r, t h ] Ψr, t. im + δ a = + a δ + aa δ + ; δ <. i De eneste mulige verdiene som en måling av observabelen F kan gi er en av egenverdiene f n. ii Umiddelbart etter målingen av F er systemet i en egentilstand til den tilhørende operatoren F, nemlig en egentilstand som svarer til den målte egenverdien f n. Spinn For en partikkel med spinn kan en bruke spinnoperatoren S = hσ = hê xσ x + ê y σ y + ê z σ z, der σ x = 0, σ y = 0 i i 0 er de såkalte Pauli-matrisene. Pauli-spinorene χ + =, σ z = 0 0 og χ = 0 er da a egentilstander til S z = hσ z med egenverdiene ± h. En normert spinntilstand χ = b kan karakteriseres ved spinnretningen, σ = χ σχ = ê x Rea b + ê y Ima b + ê z a b.

6 Matrisene S x = hσ x osv oppfyller dreieimpulsalgebraen, Videre er Noen formler [S x, S y ] = i hs z, [S y, S z ] = i hs x, [S z, S x ] = i hs y. S x = S y = S z = S ˆn = h 4 0 og S = 3 h 4 0 sina + b = sin a cos b + cos a sin b; sin a = sin a cos a; cosa+b = cos a cos b sin a sin b; cosa = cos a sin a = cos a = sin a. sin a = e ia e ia /i, cos a = e ia + e ia /; tan y = = tany + nπ, n = 0, ±, ; cot y Tidsutvikling av forventningsverdier δ-funksjonen og sprangfunksjonen d dt F = ī [Ĥ, F ] + F. h t. d Θx = δx; dx fxδx adx = fa. Utgangspunktet for tidsavhengig perturbasjonsteori Med en Hamilton-operator Ĥ = Ĥ0 + V t kan den eksakte løsningen utvikles i de uperturberte stasjonære løsningene: Ψr, t = n a n tψ 0 n r, t, der Ψ 0 n r, t = ψ n re ient/ h, Ĥ0ψ n r = E n ψ n r. Det eksakte ligningssettet for utviklingskoeffisientene er i h da k dt = e iωknt V kn ta n t; ω kn = E k E n / h; n V kn t = ψ k V t ψ n = ψ V k tψ n dτ. Med a n t 0 = δ ni oppfyller den eksakte amplituden ligningen a f t = δ fi + t iωfnt e V fn t a n t dt. i h n t 0 Til første orden i perturbasjonen er da amplituden a f a i f gitt ved a i f = δ fi + i h t iωfit e t 0 V fi t dt.