EKSAMENSOPPGAVE. FYS 2000, Kvantemekanikk Dato: 7. Juni 2017 Klokkeslett: 9:00-13:00 Sted: Tillatte hjelpemidler: rute.

Transkript

1 EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: FYS 2000, Kvantemekanikk Dato: 7. Juni 2017 Klokkeslett: 9:00-13:00 Sted: Tillatte hjelpemidler: ett handskrevet A4-ark(2 sider med egne notater, samt K. Rottmann: Matematisk formelsamling". Type innføringsark (rute/linje: Antall sider rute 7 inkl. forside: Kontaktperson under eksamen: Marius Kadek Telefon/mobil: NB! Det er ikke tillatt å levere inn kladdepapir som del av eksamensbesvarelsen. Hvis det likevel leveres inn, vil kladdepapiret bli holdt tilbake og ikke bli sendt til sensur. 1

2 Total 100 poeng: Oppgave 1 (9 poeng Oppgave 2 (6 poeng Oppgave 3 (15 poeng Oppgave 4 (8 poeng Oppgave 5 (32 poeng Oppgave 6 (30 poeng (Oppgave 7 (30 bonus poeng valgfri Oppgave 1 Kommutatoren av to operatorer A og B er bestemt av relasjonen [A, B] = AB BA. Vis følgende regler: [A, B] = - [B, A] [A, B + C] = [A, B] + [A, C] [A, B C] = [A, B] C + B [A, C] Oppgave 2 a Hva er de fysiske fenomenene som startet kvante mekanikk, gi to. b Angi to mulige anvendelser av kvante mekanikk til hverdags. Oppgave 3 Vi betrakter Hermitesk-konjugat eller adjoint operatoren A + av A som er definert som følger: $% &% Ψ " A Ψ dx = $% &% A $ Ψ " Ψ dx (Hermiteskhet relasjonen som gjelder for alle vel-oppførte funksjoner Ψ " og Ψ som går til 0 anår x ±. A er en Hermitesk operator hvis den er selv-adjoint, dvs hvs A = A $. a La α og β være to kompleksetall og A og B operatorer; operatoren C er definert som C = α A + β B. Vis at den Hermetesk-konjugaten av C er C $ = α A $ + β B $. b Med bruk av Hermiteskhet relasjonen beregn x $ og p $, adjoint operatorer av x og p. (Husk: delvis intgrasjon. Er disse operatorene Hermitesk? c Vis den relasjon A B $ = A $ B $ og bruk den for å bevise at operatoren ħ 89 er 8: 9 Hermitesk. 2

3 Oppgave 4 a Hvilken er hydrogensgrunntilstand og for hvilken fysiske prosesser er energi grunntilstanden relevant? b Hva har de atomiske spektrene av Li, C 3+ og Mg + felles? Oppgave 5 I den oppgave skal vi studere spredning mot en rektangular pontensialbariere og tunneling gjennom samme bariere. Bevegelsen er langs x aksen. Barieren har form og dimensjoner som vist på figuren og er gitt ved (1: V(x Potensialet er gitt ved: V x = 0, for x < 0 (område I V 0 I II III 0 a x V x = V?, for 0 x a (område II (1 V x = 0, for x > a (område III hvor a > 0. Vi betrakter nå en strøm av partikler med masse m og energi E (E > V 0 eller E < V 0 som kommer inn mot barrieren fra venstre, der E kan være større eller mindre enn V 0. a Vis at løsningen ave den tidsuavhengige Schrödinger likningen et gitt ved: Område I: Område II: Ψ C x = A e EF: + B e &EF: (2 Ψ CC x = C e EG: + D e &EG: (3 Område III Ψ CCC x = F e EF: (4 Hvordan er størrelsene k og α definert? Gi en tolkning av de to leddene i (2 og (3 og det ene leddet i (4. 3

4 b Vis at kontinuitetsbetraktninger gir følgende sammenheng mellom koeffisientene A, B, C, D, og F: A + B = C + D (5 k (A B = α(c D (6 C e EGM + D e &EGM = F e EFM (7 α C e EGM D e &EGM = k F e EFM. (8 Koffisientene B og F kan uttrykkes ved A. ----noe regning gir: N = F9 & G 9 ("& P Q9RST (9 O (F$G 9 (F&G 9 PRTS og V O = W F G P Q TQX S (F$G 9 (F&G 9 P RTS. (10 c Vis at når E V 0, så er transmisjonskoeffisienten T = F A og refleksjonskoeffisienten R = B A gitt ved: T = W F 9 G 9 (F 9 &G 9 9 \]^9(GM$W F 9 G 9 (11 = W _ (_& `a `a9 \]^9(GM$ W _ (_& `a (12 og R = `a9 \]^9(GM `a9 \]^9(GM$W _ (_& `a (12 c Under hvilke forutsetninger er R = 0 and T = 1? Oppgave 6 a Begynn med angulærmoment definisjonen i klassisk mekanikk for å få de tilsvarende kvantemekaniske operatorene L :, L c, L d, og L. b Finn den felles kommutatoren av en av operatorene L :, L c, L d, og L. c Hvilken angulærmoment observabler er ukompatible og hva dette betyr med hensyn til måling av disse observablene. 4

5 *Oppgave 7 (optional V 0 I II III -! " 0 +! " x En partikkel med masse m beveger seg langs x-aksen under følgende potensialer: V(x = V? e > 0 if x < M Område I V(x = 0 if x M Område II V(x = V? e if x > M Område III Problemets mål er å bestemme systemets bundne tilstander, det vil si tilstandene med energi < V 0. a Vis at systemets Schrödingersligning på de tre intervallene langs x-aksen blir: 8 9 h 8: 9 = ε V? ψ, x < M (1 8 9 h 8: 9 = ε ψ, x M 8 9 h 8: 9 = ε V? ψ, x > M (2 (3 Der: V? = `a k l ħ 9 and ε = l _ ħ 9 (4 b Vis at de gyldige løsningene til ligningene (1, (2 og (3 kan skrives som: ψ " = A exp V? ε x, x < M ψ = B cos ε x α, x M (eller alternativt ψ = B sin ε x + B cos ε x ψ v = C exp V? ε x, x > M 5

6 De tillatte energiene kan bestemmes med bruk av bølgefunksjonens kontinuitetsbetingelser og dets deriverter ( ψ and dψ dx ved grensene mellom områdene I og II og II og III. c Vis at kontinuitetsbetingelsen gir de to ligningene: V? ε " = ε tan ε M + α (5 V? ε " = ε tan ε M α (6 d Vis at for ligningene (5 og (6 konstanten α kan ta verdiene: α 0, ± }, ±π.. ± },. (7 For disse verdiene av konstanten, ligningene (5 og (6 bestemmer energinivåene. Ta eksempelvis: V? ε " = ε tan ε M + α (8 e Og vis at ligningen er ekvivalent med ligningene: V? ε " = ε tan ε M if α = n π, n = 0, ±1, (9 V? ε " = ε cot ε M if α = n π + }, n = 0, ±1, (10 f Bruk den nye variabelen: ξ = ε M og skriv ligninger (9 og (10 som funksjon av denne variabelen og beskriv en grafisk måte for å finne løsningene. g Under denne forutsetningen, kan du begrunne hvorfor minst en løsning kan alltid finnes uavhengig av hvor lite V 0 er? h Finn energinivåene ved grense V 0 à 6

7 (From D.J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, 2 nd edition 7