EKSAMENSOPPGÅVE. Kalkulator, Rottmanns tabellar og 2 A4 ark med eigne notater (4 sider).

Transkript

1 Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGÅVE Eksamen i: Mat-2, Kalkulus 2 Dato: 2. mai 28 Klokkeslett: 9.-. Stad: Asgårdvegen 9 Lovlege hjelpemiddel: Kalkulator, Rottmanns tabellar og 2 A4 ark med eigne notater (4 sider). Type innføringsark (rute/linje): Antall sider inkl. forside: Kontaktperson under eksamen: Ragnar Soleng / Telefon/mobil: Skal det gåast trøysterunde i eksamenslokalet? Svar: JA Hvis JA: ca. kl.. og 2. NB! Det er ikkje lov å levere inn kladd saman med svaret. Om det likevel leverast inn, vil kladden bli heldt tilbake og ikkje sendt til sensur. Postboks 65 Langnes, N-97 Tromsø / / postmottak@uit.no / uit.no

2 Oppgåve Eit plan er gitt ved x 2y + 2z = 4: a) Finn avstanden (kortaste) mellom planet og punktet P med koordinatar (4; 2; ): b) Eit anna plan 2 er gitt ved x 2y + 2z = 2: Finn avstanden mellom og 2 : Oppgåve 2 La f(x; y; z) = x 2 + y 2 + z 4 2z 2 a) Finn gradienten til f(x; y; z): b) Finn den retningsderiverte til f(x; y; z) i punktet a = (; ; 2) i retning v = ( ; 2; 2): c) Finn alle kritiske punkt for f(x; y; z) (Det er tre av dei.) og klassi ser dei som maksimums-, minimums-, eller sadelpunkt. d) Finn Taylorpolynom til f(x; y; z) av grad éin i punktet (; ; 2): Oppgåve Bruk metoda til Lagrange til å nne maksimum til f(x; y) = 4xy når 4x 2 + y 2 = 8. (Det vert re punkt å undersøkje.) Oppgåve 4 a) Vis at integralet Z konvergerer. cos(x) + x 2 dx b) Finn konvergensintervalet for potensrekka x n n 2 n 2

3 c) La f(x) = P cos(x) n= : Forklar kvifor f(x) er ein kontinuerleg funksjon, +n 2 og nn eit uttrykk for som ein uendeleg sum. Z =2 f(x)dx Oppgåve 5 Avgjer om rekkene er absolutt konvergente, på vilkår konvergente (Conditional convergence) eller divergente: a) b) ( ) n e n2 n= ( ) n log( + n ) c) Rekka P ( )n a n, kor a n = ( n n 2 når n er eit like tal når n er eit odde tal Oppgåve 6 La f(t) = h(t 2 ; t) kor h(x; y) er ein funksjon slik at h(4; 2) =, h x (4; 2) = og h y (4; 2) = 2: Bruk kjerneregelen for funksjonar i 2 variablar til å nne f (2):

4 Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: Mat-2, Kalkulus 2 Dato: 2. mai 28 Klokkeslett: 9.-. Sted: Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator, Rottmanns tabellar og 2 A4 ark med eigne notater (4 sider). Type innføringsark (rute/linje): Antall sider inkl. forside: Kontaktperson under eksamen: Telefon/mobil: Ragnar Soleng / Vil det bli gått oppklaringsrunde i eksamenslokalet? Svar: JA Hvis JA: ca. kl.. og 2. NB! Det er ikke tillatt å levere inn kladdepapir som del av eksamensbesvarelsen. Hvis det likevel leveres inn, vil kladdepapiret bli holdt tilbake og ikke bli sendt til sensur. Postboks 65 Langnes, N-97 Tromsø / / postmottak@uit.no / uit.no

5 Oppgave Et plan er gitt ved x 2y + 2z = 4: a) Finn avstanden (korteste) mellom planet og punktet P med koordinater (4; 2; ): b) Et annet plan 2 er gitt ved x 2y + 2z = 2: Finn avstanden mellom og 2 : Oppgave 2 La f(x; y; z) = x 2 + y 2 + z 4 2z 2 a) Finn gradienten til f(x; y; z): b) Finn den retningsderiverte til f(x; y; z) i punktet a = (; ; 2) i retning v = ( ; 2; 2): c) Finn alle kritiske punkt for f(x; y; z) (Det er tre av dem.) og klassi ser dem som maksimums-, minimums-, eller sadelpunkt. d) Finn Taylorpolynom til f(x; y; z) av grad én i punktet (; ; 2): Oppgave Bruk Lagranges metode til å nne maksimum til f(x; y) = 4xy når 4x 2 + y 2 = 8. (Det blir re punkter å undersøke.) Oppgave 4 a) Vis at integralet Z konvergerer. cos(x) + x 2 dx b) Finn konvergensintervallet for potensrekka x n n 2 n 2

6 c) La f(x) = P cos(x) n= : Forklar hvorfor f(x) er en kontinuerlig funksjon, +n 2 og nn et uttrykk for som en uendeleg sum. Z =2 f(x)dx Oppgave 5 Avgjør om rekkene er absolutt konvergente, betinget konvergente eller divergente: a) b) ( ) n e n2 n= ( ) n log( + n ) c) Rekka P ( )n a n, hvor a n = ( n n 2 når n er et like tall når n er et odde tall Oppgave 6 La f(t) = h(t 2 ; t) hvor h(x; y) er en funksjon slik at h(4; 2) =, h x (4; 2) = og h y (4; 2) = 2: Bruk kjerneregelen for funksjoner i 2 variabler til å nne f (2):