EKSAMENSOPPGAVE. Oppgavesettet er på 5 sider inklusiv forside Kontaktperson under eksamen: Stian Normann Anfinsen Telefon:

Transkript

1 EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: Fys-1001 Mekanikk Dato: Torsdag 4. desember 2014 Tid: Kl 09:00 13:00 Sted: Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpemidler: Fire A4-sider (to dobbeltsidige ark) med egne notater. Kalkulator er ikke tillatt. Oppgavesettet er på 5 sider inklusiv forside Kontaktperson under eksamen: Stian Normann Anfinsen Telefon: NB! Det er ikke tillatt å levere inn kladd sammen med besvarelsen UiT / Postboks 6050 Langnes, N 9037 Tromsø / / postmottak@uit.no / uit.no 1

2 Først: Noen generelle råd Tegn gode figurer. Skriv tydelig og presenter oppgavene oversiktlig. Ikke bare skriv opp formler, men forklar hvorfor du bruker dem og hvilken fysisk forståelse som ligger bak. Forklar overganger fra ei ligning til ei annen. Skriv opp mellomregninger. Disponér eksamenstida godt. Ved sensurering vil alle delspørsmål i utgangspunktet vektes likt, men vi forbeholder oss retten til justeringer. Oppgave 1: Atwood-maskin 2m m k y 2 y 1 Figuren viser en Atwood-maskin hvor vi antar at fjæra, snorene og trinsene er masseløse. Det virker ingen friksjon i systemet og snorene er uelastiske. Koordinatene y 1 og y 2 angir posisjonene til massene i forhold til bakkenivå, der nullnivået til den potensielle energien også er satt. Fjæra oppfyller Hookes lov med en fjærkonstant k. (a) Fjæra har en lengde l når den ikke er belastet. Når den er festet i bakken og i massen 2m, vil fjæra vekselvirke med resten av systemet. Den kan da strekkes og presses sammen og får en lengde y 2 som generelt varierer med tid. Finn lengden y 2 = l eq når systemet er i likevekt. (b) Skriv ned uttrykk for systemets kinetiske og potensielle energi. Vis deretter at Lagrange-funksjonen for systemet kan skrives som L = 1 2 m ( ẏ ẏ 2 2) mg (y1 + 2y 2 ) 1 2 k (y 2 l eq ) 2. 2

3 (c) Skriv opp ei ligning som beskriver føringa mellom posisjonene y 1 og y 2. Bruk føringsligninga til å eliminere y 1 i Lagrange-funksjonen. Bruk deretter Euler-Lagrange-ligninga til å finne differensialligninga som beskriver systemet med y 2 som eneste koordinat. (d) Finn systemets svingefrekvens for små utslag rundt likevekta. (e) I dette punktet kreves det ingen utregninger. Gi ei kort, kvalitativ forklaring på hvordan systemets bevegelse vil endre seg dersom trinsene har en endelig masse. Oppgave 2: Karusell ω v r m M R Figuren viser en karusell sett ovenfra. Karusellen kan dreie praktisk talt friksjonsfritt om en vertikal aksling gjennom karusellens sentrum. Karusellen har form som ei skive. Den har uniform massetetthet, masse M og radius R. Et barn tar tilfart, hopper tilnærmet horisontalt inn på karusellen og lander i en avstand r fra sentrum, som vist på figuren. Vi betrakter barnet som en punktmasse m, hvor m M, og antar at kollisjonen med skiva er fullstendig uelastisk. Kollisjonen fører til at karusellen, som i utgangspunktet var i ro, begynner å rotere med vinkelfarta ω. (a) Forklar kort hvorfor hverken bevaring av energi eller bevaring av bevegelsesmengde kan benyttes til å studere den beskrevne situasjonen. Forklar deretter kort hvorfor bevaring av angulært moment rundt dreieaksen relativt til karusellens sentrum kan brukes. Karusellens sentrum brukes som referansepunkt for resten av oppgaven. (b) Du kan i denne oppgaven bruke at treghetsmomentet til ei skive rundt senteraksen er I = MR 2 /2. Finn et uttrykk for systemets angulære moment rundt dreieaksen like før barnet kolliderer med karusellen. Finn også et uttrykk for det samme angulære momentet etter at barnet har truffet 3

4 karusellen. Bruk dette til å vise at barnets horisontale hastighetskomponent like før kollisjonen kan tilnærmes som v ωmr2 2mr. Oppgave 3: Kollisjon i rommet En satellitt med masse m kretser i sirkulær bane med radius R rundt sola som har masse M. (a) Bestem satellittens omløpstid. En meteor med masse m/3 beveger seg i en bane som tangerer satellittbanen. De to banene ligger i samme plan og omløpsretninga er den samme. I tangeringspunktet har meteoren ei hastighet som er den dobbelte av hastigheta til satelliten. (b) Hvilken form (eller kjeglesnittype) har meteorbanen? Gi en kort begrunnelse. I tangeringspunktet for de to banene kolliderer satellitten og meteoren uelastisk. Etter kollisjonen beveger de seg som ett legeme. Både gravitasjonskrafta mellom satellitt og meteor samt utstrekninga deres kan antas å være neglisjerbar. (c) Vis at banen til det sammensatte legemet etter kollisjonen er en ellipse. (d) Bestem ellipsens store halvakse og omløpstida. Oppgave 4: Torricellis lov H A a v a z I en stor, åpen vanntank med tverrsnitt A ligger vannspeilet en høyde H over tankens bunn (se figur). Bunnen hviler på et horisontalt underlag. Det bores et horisontalt hull med tverrsnitt a på en dybde z under vannspeilet, slik at det går et strømrør fra vannspeilet til utgangen av hullet. (a) Vis at hastigheta v a til vannet som strømmer ut av et hull i en avstand z fra overflata blir: v a = 2g z. Dette kalles Torricellis lov. Forklar hvilke antakelser du må gjøre om væska og tanken for å komme fram til svaret. 4

5 (b) Hvor høyt må du bore hullet for at vannstrålen skal treffe underlaget lengst mulig unna tanken? Hvor treffer vannstrålen da? (c) Anta nå at hullet er boret i bunnen av tanken og at Torricellis lov fortsatt gjelder for vannet som strømmer ut. La h være vannspeilets høyde over bunnen. Vis at høyden h som funksjon av tid kan utledes som ( h(t) = H 1 a ) 2 g A 2H t. [Hint: Finn et uttrykk for endringsraten dv/dt, hvor V (t) = A h(t), ved å se på volumstrømmen ut av hullet. Løs differensialligninga.] Lykke til! 5