1.1.1 Rekke med konstante ledd. En rekke med konstante ledd er gitt som. a n (1) n=m

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "1.1.1 Rekke med konstante ledd. En rekke med konstante ledd er gitt som. a n (1) n=m"

Transkript

1 Formelsamling og tabeller FO020E Matte 2000 for elektroprogrammet 1 Matematikk 1.1 Denisjoner av ulike typer polynomer og rekker Rekke med konstante ledd En rekke med konstante ledd er gitt som a n (1) n=m hvor a m, a m+1, a m+2,... er konstanter ulik 0 og m et heltall med endelig verdi. En rekke med positive ledd er gitt som i (1), men hvor a m, a m+1, a m+2,... er konstanter med verdier større enn p-rekker En p-rekke er gitt som n=m hvor m er et heltall med endelig verdi. 1 1 n p (2)

2 1.1.3 Geometriske rekker En geometrisk rekke er en rekke på formen a 0 r n, (3) hvor a 0 0. n= Alternerende rekker En alternerende rekke er en rekke på formen ( 1) n+l a n (4) n=m hvor a m, a m+1,... er positive konstanter som tilfredstiller a n a n+1 for alle n. Videre er m og l heltall med endelige verdier Potensrekker En potensrekke er en rekke på formen a n x n (5) hvor a 1, a 2,... er konstanter. n= Taylorpolynomer La f være n ganger deriverbar i punktet a. Da er Taylor-polynomet av grad n om x = a for f gitt ved P n (x) = n k=0 f (k) (a) (x a) k. k! 2

3 1.1.7 Taylors formel La f være n+1 ganger deriverbar på et åpent intervall I som innholder både a og x, og la f (n+1) være kontinuerlig i I. Da er f(x) = P n (x) + R n (x) der P n er Taylor-polynomet til f av grad n om punktet a og R n (x) = f (n+1) (c) (x a)n+1 (n + 1)! for en c mellom a og x. R n (x) kaller restleddet Taylorrekker Går restleddet i Taylors formel for voksende n mot 0 i x, får vi en konvergent Taylor-rekke i x f (k) (a) f(x) = (x a) k. k! k=0 1.2 Rekker med konstante ledd; konvergenstester og restleddsformler Divergenstesten En rekke med konstante ledd, som gitt i ligning (1), divergerer dersom lim a n 0. n Integraltesten La f være en positiv, kontinuerlig og avtakende funksjon for x m, og la a n = f(n) for n m. Da gjelder: 3

4 A. Rekken a n = a m + a m+1 + a m+2 + n=m konvergerer hvis og bare hvis det uegentlige integralet m f(x) dx konvergerer. B. Dersom rekken konvergerer med sum S og N > m, gjelder f(x) dx < S S N < a N+1 + f(x) dx < N+1 N+1 N der S N = a m + a m+1 + a m a N. f(x)dx p-rekker p-rekker, som gitt i ligning (2), konvergerer hvis og bare hvis p > Sum av geometriske rekker En geometrisk rekke gitt som i ligning (3) konvergerer hvis og bare hvis r < 1. Hvis rekka konvergerer har den sum S = a 0 1 r Test for alternerende rekker En alternerende rekke, som gitt i ligning (4), konvergerer hvis lim n a n = 0. La S være summen til en konvergent alternerende rekke. Da gjelder det at S S N a N+1 der S N = N n=m ( 1)n+l a n. Videre har S S N samme fortegn som ( 1) N+1+l a N+1. 4

5 1.2.6 Sammenligningstesten La n=m a n og n=m b n være to rekker med positive ledd. A. Dersom n=m b n konvergerer og det nnes et tall c slik at a n cb n for alle n, så konvergerer n=m a n også. B. Dersom n=m b n divergerer og det nnes et tall d slik at a n cb n for alle n, så divergerer n=m a n også Grensesammenligningstesten La n=m a n og n=m b n være to rekker med positive ledd slik at grenseverdien a n L = lim n b n eksisterer eller er lik. A. Hvis n=m b n konvergerer og L <, så konvergerer n=m a n også. B. Dersom n=m b n divergerer og L > 0 (L = tillatt), så divergerer n=m a n også Forholdstesten For en rekke med konstante ledd, som gitt i ligning (1), anta at grensen a = lim a n+1 n a n eksisterer eller er uendelig. Rekka A. konvergerer absolutt hvis a < 1 B. divergerer hvis a > 1. Hvis a = 1, gir testen ingen konklusjon. 5

6 1.3 Potensrekker; egenskaper og konvergenstester Konvergens av potensrekker For en potensrekke, som gitt i ligning (5), gjelder én av følgende tre muligheter: A. Rekka konvergerer absolutt for alle x R. B. Rekka konvergerer bare for x = 0. C. Det nnes et tall R > 0 slik at rekka konvergerer absolutt for x < R og divergerer for x > R Egenskaper ved potensrekker i konvergensområdet Anta vi har en potensrekke, som gitt i ligning (5), som konvergerer for x < R med sum f(x). Da gjelder følgende innenfor konvergensområdet x < R: A. Summen f(x) er en kontinuerlig funksjon av x. B. f er uendelig mange ganger deriverbar. C. Potensrekka er da Taylor-rekka til f(x) om x = 0 (Maclaurinrekka) slik at a n = f (n) (0). n! D. f er deriverbar og E. f har en antiderivert F, og F (x) = f (x) = a n nx n 1. n=1 f(x) dx = C + n=0 a n n + 1 xn+1. 6

7 1.3.3 Forholdstesten for konvergens av potensrekker La a(x) = lim n a n+1 x n+1 a n x n for en potensrekke som gitt i ligning (5). Potensrekka A. konvergerer absolutt for alle x som gir a(x) < 1. B. divergerer for alle x som for a(x) > 1. for de x som gir a(x) = 1, gir testen ingen konklusjon Noen Taylor-rekker om a = 0 e x x n = n! = 1 + x + x2 2! + x3 + for alle x 3! n=0 n+1 xn ln(1 + x) = ( 1) n for 1 < x 1 n=1 1 1 x = x n for x < 1 n=0 x m 1 x = n=m x n x (1 x) = nx n 2 for x < 1 n=1 1 + x = n=0 for x < 1 og m et positivt heltall med endelig verdi ( 1) n (2n)! (1 2n)(n!) 2 (4 n ) xn = x 1 8 x x x for x < 1 7

8 ( 1) n sin x = (2n + 1)! x2n+1 = x x3 3! + x5 for alle x 5! n=0 ( 1) n cos x = (2n)! x2n = 1 x2 2! + x4 for alle x 4! n=0 (2n)! arcsin x = 4 n (n!) 2 (2n + 1) x2n+1 = x + x x x7 + for x n=0 ( 1) n arctan x = 2n + 1 x2n+1 = x x3 3 + x5 5 x7 + for x 1 7 n=0 1.4 Funksjoner av ere variable Retningsderivert La f være en funksjon av n variable som er kontinuerlig deriverbar i punktet a R n. La u være en enhetsvektor i R n. Da er den retningsderiverte til f i punktet a og retning u gitt ved D u f(a) = lim h 0 f(a + hu) f(a) h = f(a) u Annenderiverttesten for funksjoner av to variable La f(x, y) ha kontinuerlige partielle deriverte av annen orden i en omegn om et kritisk punkt (a, b). La Da gjelder: (a, b) = f xx (a, b)f yy (a, b) [f xy (a, b)] 2. A. Dersom (a, b) > 0 og f xx (a, b) > 0, så er (a, b) et lokalt minimumspunkt for f. B. Dersom (a, b) > 0 og f xx (a, b) < 0, så er (a, b) et lokalt maksimumspunkt for f. C. Dersom (a, b) < 0, så er (a, b) et sadelpunkt for f. 8

9 1.4.3 Lagranges metode; Én bibetingelse La f være en funksjon med n 2 variable som har et maksimum eller minimum i et indre punkt a D f R n under bibetingelsen g(x) = 0. Dersom f og g er kontinuerlig deriverbare i x = a og g(a) 0, så nnes det et tall λ R slik at f(a) = λ g(a) Lagranges metode; To bibetingelser La f være en funksjon med n 3 variable som har et maksimum eller minimum i et indre punkt a D f R n under bibetingelsene g(x) = 0 og h(x) = 0. Dersom f, g og h er kontinuerlig deriverbare i x = a og g(a) h(a), så nnes det to reelle tall λ 1 og λ 2 slik at slik at f(a) = λ 1 g(a) + λ 2 h(a). 2 Statistikk 2.1 Noen sannsynlighetsfordelinger Binomisk fordeling P (X = x) = ( ) n p x (1 p) n x, x = 0, 1,..., n. x E(X) = np, Var(X) = np(1 p). 9

10 2.1.2 Poissonfordeling P (X = x) = (λt)x e λt, x = 0, 1, 2, 3,... x! E(X) = λt, Var(X) = λt Normalfordeling f(x) = 1 2πσ e (x µ)2 2σ 2, < x <. E(X) = µ, Var(X) = σ 2. Hvis X N(µ, σ), er Z = X µ σ N(0, 1) Eksponensialfordeling f(x) = λe λx, x 0. E(X) = 1 λ, Var(X) = 1 λ Noen resultater og denisjoner for hendelser Komplimentregelen P ( A ) = 1 P (A). 10

11 2.2.2 Addisjonsregelen P (A B) = P (A) + P (B) P (A B). P (A B C) = P (A) + P (B) + P (C) P (A B) P (A C) P (B C) + P (A B C) Multiplikasjonsregelen P (A B) = P (A B)P (B) = P (B A)P (A). P (A B C) = P (A B C)P (B C)P (C). 2.3 Noen resultater og denisjoner for stokastiske variable Komplimentregelen La X være en diskret eller kontinuerlig stokastisk variabel. Da gjelder P (X > x) = 1 P (X x) Forventningsverdi Denisjon alle x g(x)p (X = x), X µ g(x) = E[g(X)] = g(x) f(x) dx, diskret X kontinuerlig med fordeling f(x). La X 1, X 2,..., X n være stokastiske variabler, mens a-ene og b er vilkårlige konstanter. Da gjelder [ ] n n E b + a i X i = b + a i E[X i ]. i=1 i=1 Dersom X 1, X 2,..., X n er uavhengige stokastiske variable, gjelder E[X 1 X 2... X n ] = E[X 1 ] E[X 2 ]... E[X n ]. 11

12 2.3.3 Varians Denisjon σ 2 = Var(X) = E [ (X µ) 2] = E [ X 2] E[X] 2. La X og Y være to stokastiske variabler og a, b og c vilkårlige konstanter. Da gjelder Var[aX + by + c] = a 2 Var[X] + b 2 Var[Y ] + 2ab Cov[X, Y ]. La X 1, X 2,..., X n være uavhengige stokastiske variabler, mens a-ene og b er vilkårlige konstanter. Da gjelder [ ] n n Var b + a i X i = a 2 i Var[X i]. i=1 i= Simultanfordeling La P (X = x, Y = y) være simultanfordelingen til de diskrete stokastiske variablene X og Y. Da gjelder Marginalfordeling: P (X = x) = alle y P (X = x, Y = y) Addisjonsregelen: P (X = x Y = y) = P (X = x) + P (Y = y) P (X = x, Y = y) Multiplikasjonsregelen: P (X = x, Y = y) = P (X = x Y = y)p (Y = y) Forventning: E[g(X, Y )] = alle x alle y g(x, y)p (X = x, Y = y) Kovariansen mellom X og Y Cov[X, Y ] = E[XY ] E[X]E[Y ] Korrelasjonskoeesienten mellom X og Y ρ[x, Y ] = Cov[X, Y ] Var[X]Var[Y ]. 12

13 2.3.7 Sentralgrenseteoremet La X 1, X 2,..., X n være uavhengige stokastiske variabler fra samme sannsynlighetsfordeling med forventning µ og standardavvik σ. Da gjelder X = 1 n n X i tilnærmet N i=1 ( µ, ) σ. n Skrevet på en annen måte kan Sentralgrenseteoremet presenteres slik Z = X [ E X ] [ Sd X ] = X µ σ/ tilnærmet N(0, 1), n der Sd [ X ] er standardavviket til X. 2.4 Dataanalyse Kondensintervaller Z-intervall: [x z α/2 σ n, x + z α/2 σ n ]. Forutsetter at målingene er normalfordelte eller at n 20. T-intervall: [ ] s s x t {α/2,n 1}, x + t {α/2,n 1}, n n der s 2 = 1 n 1 n (x i x) 2. Forutsetter at målingene er normalfordelte eller at n 30. i=1 13

14 P-intervall: [ ] ˆp(1 ˆp) ˆp(1 ˆp) ˆp z α/2, ˆp + z α/2, n n der ˆp = x/n. Forutsetter at nˆp(1 ˆp) 5. Uparet T-intervall: [x y t {α/2,n1+n2 2}s P 1n1 + 1n2, x y + t {α/2,n1+n2 2}s P 1n1 + 1n2 ], der s 2 P = (n 1 1)s (n 2 1)s 2 2. n 1 + n 2 2 Paret T-intervall: [ ] s D s D t {α/2,n 1} D, D + t {α/2,n 1}, n n der s 2 D = 1 n 1 n (D i D) 2. i= Testobservatorer i hypotesetestingen Z-test: z obs = x µ 0 σ/ n. Forutsetter at målingene er normalfordelte eller at n

15 T-test: der s 2 = 1 n 1 t obs = x µ 0 s/ n n (x i x) 2. Forutsetter at målingene er normalfordelte eller at n 30. P-test: Forutsetter at np 0 (1 p 0 ) 5. Uparet T-test: der i=1 z obs = ˆp p 0 t obs = p 0 (1 p 0 ) n x y, 1 s P n n 2 s 2 P = (n 1 1)s (n 2 1)s 2 2. n 1 + n 2 2. Paret T-test: der t obs = D s D / n, s 2 D = 1 n 1 n (D i D) 2. i=1 Vi forkaster H 0 for ekstreme verdier av testobservatoren i forhold til det vi tror under antagelsen at H 0 er sann. Et par eksempler: Z-test: H 0 H 1 Forkast H 0 hvis µ µ 0 µ > µ 0 z obs > z α µ µ 0 µ < µ 0 z obs < z α µ = µ 0 µ µ 0 z obs > z α/2 15

16 Uparet T-test: H 0 H 1 Forkast H 0 hvis µ 1 µ 2 µ 1 > µ 2 t obs > t α,n1 +n 2 2 µ 1 µ 2 µ 1 < µ 2 t obs < t α,n1 +n 2 2 µ 1 = µ 2 µ 1 µ 2 t obs > t α/2,n1 +n Hypotesetesting basert på p-verdi Denisjon (p-verdi): p-verdi er sannsynligheten for å observere det vi har observert eller noe mer ekstremt under antagelsen at H 0 er sann. Forkastningsregel basert på p-verdi: Forkast H 0 hvis p-verdi α. 16

17 3 Statistiske tabeller 17

18 18

19 19

20 20

21 21

FORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110

FORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110 FORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110 (Versjon av 16. november 2009) 1. Sannsynlighet La A, B, A 1, A 2,...,B 1, B 2,... være begivenheter, dvs. delmengder av et utfallsrom Ω. a) Aksiomene: Et sannsynlighetsmål

Detaljer

= x lim n n 2 + 2n + 4

= x lim n n 2 + 2n + 4 NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 20 Løsningsforslag - Øving Avsnitt 8.7 6 Potensrekken konvergerer opplagt for x = 0, så i drøftingen nedenfor antar vi x 0. Vi vil bruke forholdstesten

Detaljer

Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. november 2011 Kapittel 8.8. Taylorrekker og Maclaurinrekker 3 Taylor-polynomer Definisjon (Taylorpolynomet

Detaljer

Kapittel 2: Hendelser

Kapittel 2: Hendelser Kapittel 2: Hendelser FENOMEN Eksperiment Utfall Utfallsrom Eksperiment. Utfall. Eksperiment Utfall Hendelse Sannsynlighet: egenskaper, gunstige vs. mulige, relativ frekvens Sannsynlighet for mer enn en

Detaljer

Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker

Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker Andreas Leopold Knutsen 14. februar 2012 Funksjonsrekker En rekke på formen fn(x) der fn er en funksjon, kalles en n=1 funksjonsrekke. For alle

Detaljer

Tyngdepunkt. Togforsinkelsen (Eksamen Des2003.1a) I denne oppgaven kan du bruke uten å vise det at. Kapittel 4

Tyngdepunkt. Togforsinkelsen (Eksamen Des2003.1a) I denne oppgaven kan du bruke uten å vise det at. Kapittel 4 3 Tyngdepunkt Kapittel 4 Forventningsverdi, varians, kovarians for én stokastisk variabel og funksjoner av stokastiske variabler TMA4240 H2006: Eirik Mo 2 4.1 Forventing til en stokastisk variabel DEF

Detaljer

Rekker, Konvergenstester og Feilestimat

Rekker, Konvergenstester og Feilestimat NTNU December 8, 2012 Oversikt 1 2 3 4 5 6 For å forstå, må vi først forstå potensrekker For å forstå potensrekker, må vi først forstå rekker. For å forstå rekker, må vi først forstå følger. Definisjon

Detaljer

Oversikt over Matematikk 1

Oversikt over Matematikk 1 1 Oversikt over Matematikk 1 Induksjon Grenser og kontinuitet Skjæringssetningen Eksistens av ekstrempunkt Elementære funksjoner Derivasjon Sekantsetningen Integrasjon Differensialligninger Kurver i planet

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2008

TMA4240 Statistikk Høst 2008 TMA4240 Statistikk Høst 2008 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 7 Oppgave 1 Tippekonkurranse Denne oppgaven er ment som en kjapp test på hva du har

Detaljer

Oppfriskning av blokk 1 i TMA4240

Oppfriskning av blokk 1 i TMA4240 Oppfriskning av blokk 1 i TMA4240 Geir-Arne Fuglstad November 21, 2016 2 Hva har vi gjort i dette kurset? Vi har studert to sterkt relaterte grener av matematikk Sannsynlighetsteori: matematisk teori for

Detaljer

Løsningsforslag til Mat112 Obligatorisk Oppgave, våren Oppgave 1

Løsningsforslag til Mat112 Obligatorisk Oppgave, våren Oppgave 1 Løsningsforslag til Mat2 Obligatorisk Oppgave, våren 206 Oppgave Avgjør om følgende rekker er konvergente: (a) n + n n + n + Løsning: rekken lim : n n + n n + n + Vi bruker grensesammenligningstesten mhp.

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010

TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010 TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010 Toke Meier Carlsen Institutt for matematiske fag 28. oktober 2010 2 Fremdriftplan I går 7.7 Uegentlige integraler 8.1 Følger I dag

Detaljer

Løsningsforslag. Avgjør om følgende rekker konvergerer. Finn summen til de rekkene som konvergerer. a) 2 2n /3 n

Løsningsforslag. Avgjør om følgende rekker konvergerer. Finn summen til de rekkene som konvergerer. a) 2 2n /3 n Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Tirsdag. februar 203 kl. 0:30 Antall oppgaver: 9 Løsningsforslag Avgjør om følgende rekker konvergerer. Finn summen

Detaljer

Observatorer. STK Observatorer - Kap 6. Utgangspunkt. Eksempel høyde Oxford studenter

Observatorer. STK Observatorer - Kap 6. Utgangspunkt. Eksempel høyde Oxford studenter Observatorer STK00 - Observatorer - Kap 6 Geir Storvik 4. april 206 Så langt: Sannsynlighetsteori Stokastiske modeller Nå: Data Knytte data til stokastiske modeller Utgangspunkt Eksempel høyde Oxford studenter

Detaljer

To-dimensjonale kontinuerlige fordelinger

To-dimensjonale kontinuerlige fordelinger To-dimensjonale kontinuerlige fordelinger Noen resultater for diskrete fordelinger Vi har tidligere definert punktsannsynligheten p(x, y) for en todimensjonal variabel (X, Y ) som p(x, y) = P ({X = x}

Detaljer

Togforsinkelsen (Eksamen Des2003.1a) I denne oppgaven kan du bruke uten å vise det at

Togforsinkelsen (Eksamen Des2003.1a) I denne oppgaven kan du bruke uten å vise det at Kapittel 4 Forventningsverdi, varians, kovarians for én stokastisk variabel og funksjoner av stokastiske variabler TMA4245 V2007: Eirik Mo 2 4.1 Forventing til en stokastisk variabel DEF 4.1: La X være

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen i Statistikk SIF5060 Aug 2002

Løsningsforslag Eksamen i Statistikk SIF5060 Aug 2002 Løsningsforslag Eksamen i Statistikk SIF5060 Aug 2002 Oppgave 1 a) En god estimator er forventningsrett og har liten varians. Vi tester forventningsretthet: E[ˆµ] E[Y ] µ E[ µ] E[ 1 2 X + 1 2 Y ] 1 2 E[X]

Detaljer

Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 1. november 2011 Kapittel 8.6. Alternerende rekker Absolutt og betinget konvergens 3 Alternerende rekker

Detaljer

TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016

TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Oppgave 1 En bedrift produserer elektriske komponenter. Komponentene kan ha to typer

Detaljer

Følger og rekker. Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway. November 10, 2014

Følger og rekker. Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway. November 10, 2014 Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway November 10, 2014 Forelesning (03.01.2014): kap 9.1 og 9.2 Beskrivelse av følger eksempler og definisjon Egenskaper med følger Grenseverdi for følger (og

Detaljer

Forventning og varians.

Forventning og varians. Forventning og varians. Dekkes av kapittel 4 i læreboka. Forventning (4.1) Forventningsverdi = gjennomsnitt i det lange løp. Defininsjon: Forventningsverdien til en stokastisk variabel X er: x xf(x),x

Detaljer

A) B) 400 C) 120 D) 60 E) 10. Rett svar: C. Fasit: ( 5 6 = 60. Hvis A, B, C er en partisjon av utfallsrommet S, så er P (A B) lik.

A) B) 400 C) 120 D) 60 E) 10. Rett svar: C. Fasit: ( 5 6 = 60. Hvis A, B, C er en partisjon av utfallsrommet S, så er P (A B) lik. Oppgave 1 Det skal velges en komité bestående av 2 menn og 1 kvinne. Komitéen skal velges fra totalt 5 menn og 6 kvinner. Hvor mange ulike komitéer kan dannes? A) 86400 B) 400 C) 120 D) 60 E) 10 Rett svar:

Detaljer

Forventning og varians.

Forventning og varians. Forventning og varians. Dekkes av kapittel 4 i læreboka. Forventning (4.) Forventningsverdi gjennomsnitt i det lange løp. Defininsjon: Forventningsverdien til en stokastisk variabel X er: E(X) f(),x diskret

Detaljer

f =< 2x + z/x, 2y, 4z + ln(x) >.

f =< 2x + z/x, 2y, 4z + ln(x) >. MA 40: Analyse Uke 48, 00 http://home.hia.no/ aasvaldl/ma40 H0 Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave.5: 5. Vi har gitt funksjon f(x, y) = x + y z + z ln(x) og punkt

Detaljer

Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger.

Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger. Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger. Dekkes av kap. 6 og deler av kap. 8.5 i boka. Husk: f(x) er sannsynlighetstettheten til en kontinuerlig X dersom: 1. f(x) 0 for alle x R 2. f(x)dx =1 3. P (a

Detaljer

n=0 n=1 n + 1 Vi får derfor at summen er lik 1/2. c)

n=0 n=1 n + 1 Vi får derfor at summen er lik 1/2. c) Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 204 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene

Detaljer

Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker

Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker Andreas Leopold Knutsen 15. februar 2010 Funksjonsrekker En rekke på formen f n (x) der f n er en funksjon, kalles en funksjonsrekke. For alle x

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 4

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 4 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 4 Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 27. mars Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting

Detaljer

Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 1. november 2011 Kapittel 8.3. Integrasjonstesten 3 Ikke-avtagende delsummer Husker at n-te delsum av

Detaljer

Løsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1

Løsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1 Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 6. juni 2014 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene

Detaljer

Taylorpolynom (4.8) f en funksjon a et punkt i definisjonsmengden til f f (minst) n ganger deriverbar i a Da er Taylorpolynomet til f om a

Taylorpolynom (4.8) f en funksjon a et punkt i definisjonsmengden til f f (minst) n ganger deriverbar i a Da er Taylorpolynomet til f om a Taylorpolynom (4.8) f en funksjon a et punkt i definisjonsmengden til f f (minst) n ganger deriverbar i a Da er Taylorpolynomet til f om a P n (x) = f (a) + f (a)(x a) + f (a) 2 (x a)2 + + f (n) (a) (x

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2007

TMA4240 Statistikk Høst 2007 TMA4240 Statistikk Høst 2007 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer b4 Løsningsskisse Oppgave 1 Eksamen juni 1999, oppgave 3 av 3 a) µ populasjonsgjennomsnitt,

Detaljer

Løsningsforslag ECON 2130 Obligatorisk semesteroppgave 2017 vår

Løsningsforslag ECON 2130 Obligatorisk semesteroppgave 2017 vår Løsningsforslag ECON 130 Obligatorisk semesteroppgave 017 vår Andreas Myhre Oppgave 1 1. (i) Siden X og Z er uavhengige, vil den simultane fordelingen mellom X og Z kunne skrives som: f(x, z) = P(X = x

Detaljer

Matematikk 1. Oversiktsforelesning. Lars Sydnes November 25, Institutt for matematiske fag

Matematikk 1. Oversiktsforelesning. Lars Sydnes November 25, Institutt for matematiske fag Matematikk 1 Oversiktsforelesning Lars Sydnes sydnes@math.ntnu.no Institutt for matematiske fag November 25, 2009 LS (IMF) tma4100rep November 25, 2009 1 / 21 Matematikk 1 Hovedperson Relle funksjoner

Detaljer

La U og V være uavhengige standard normalfordelte variable og definer

La U og V være uavhengige standard normalfordelte variable og definer Binormalfordelingen Definisjon Noe av hensikten med å innføre begrepet betinget sannsynlighet er at kompliserte modeller ofte kan bygges ut fra enkle betingede modeller. Når man spesifiserer betingelser

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen S2, våren 2017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 2017

Løsningsforslag Eksamen S2, våren 2017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 2017 Løsningsforslag Eksamen S, våren 17 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 5. mai 17 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = x /x = x x 1. Den eneste regelen vi trenger her er (kx n )

Detaljer

MAT jan jan feb MAT Våren 2010

MAT jan jan feb MAT Våren 2010 MAT 1012 Våren 2010 Mandag 25. januar 2010 Forelesning Vi fortsetter med å se på det bestemte integralet, bl.a. på hvordan vi kan bruke numeriske beregninger til å bestemme verdien når vi ikke nødvendigvis

Detaljer

FORMELSAMLING STATISTIKK, HiG

FORMELSAMLING STATISTIKK, HiG Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Versjon fra mai 2007 FORMELSAMLING STATISTIKK, HiG Hans Petter Hornæs hans.hornaes@hig.no ISSN:??????? Innledning. Denne formelsamlingen er skrevet for bruk

Detaljer

1 Mandag 1. februar 2010

1 Mandag 1. februar 2010 Mandag. februar 200 I dag skal vi fortsette med rekkeutviklinger som vi begynte med forrige uke. Vi skal se på litt mer generell rekker og vurdere når de konvergerer, bl.a. gi et enkelt kriterium. Dette

Detaljer

Gammafordelingen og χ 2 -fordelingen

Gammafordelingen og χ 2 -fordelingen Gammafordelingen og χ 2 -fordelingen Gammafunksjonen Gammafunksjonen er en funksjon som brukes ofte i sannsynlighetsregning. I mange fordelinger dukker den opp i konstantleddet. Hvis man plotter n-fakultet

Detaljer

Eksamen i emnet MAT111/M100 - Grunnkurs i matematikk I Mandag 15. desember 2003, kl. 09-13(15) LØYSINGSFORSLAG OPPGÅVE 2:

Eksamen i emnet MAT111/M100 - Grunnkurs i matematikk I Mandag 15. desember 2003, kl. 09-13(15) LØYSINGSFORSLAG OPPGÅVE 2: Eksamen i emnet MAT/M00 - Grunnkurs i matematikk I Mandag 5. desember 2003, kl. 09-3(5) LØYSINGSFORSLAG Finn dei deriverte til i) f(x) = x 2 ln x OPPGÅVE : exp(u 2 )du, x, ii) f(x) = x cos(x). i) d x 2

Detaljer

2 3 2 t der parameteren t kan være et vilkårlig reelt tall. i) Finn determinanten til M. M =

2 3 2 t der parameteren t kan være et vilkårlig reelt tall. i) Finn determinanten til M. M = Oppgave a) Løs likningssystemet x + 3x + x 3 = x + x 3 = 0 3x + x + 3x 3 = 8 Svar: Rekkereduksjon av totalmatrisen gir 0 0 0 0 7 0 0 0 0 Det betyr at løsningen er gitt ved x +x 3 = 0, x = 7 og x 3 en fri

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2016

TMA4240 Statistikk Høst 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalt øving 9 Løsningsskisse Oppgave 1 a) Vi lar her Y være antall fugler som kolliderer med vindmølla i løpet av den gitte

Detaljer

Foreleses onsdag 8. september 2010

Foreleses onsdag 8. september 2010 TMA4240 Statistikk H200 4.2: Varians (univariat del) 4.4: Chebyshevs teorem 3.4: Simultanfordelinger Mette Langaas Foreleses onsdag 8. september 200 Mette.Langaas@math.ntnu.no, TMA4240H200 2 4.2 Varians

Detaljer

Hypotesetesting av λ og p. p verdi.

Hypotesetesting av λ og p. p verdi. Forelesning 7, kapittel 6 Hypotesetesting av λ og p. p verdi. Det som gjøres i denne forelesningen er nær opptil det vi gjorde da vi konstruerte z test for µ, og styrkefunksjon for denne. I tillegg til

Detaljer

ÅMA110 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen høst 2010, s. 1. Oppgave 1. Histogram over frekvenser.

ÅMA110 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen høst 2010, s. 1. Oppgave 1. Histogram over frekvenser. ÅMA1 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen høst 0, s. 1 (Det tas forbehold om feil i løsningsforslaget.) a) Gjennomsnitt: x = 1 Emp. standardavvik: Median: 1 (1.33 + 1.) = 1.35

Detaljer

FORMELSAMLING STATISTIKK, HiG

FORMELSAMLING STATISTIKK, HiG FORMELSAMLING STATISTIKK, HiG Hans Petter Hornæs hans.hornaes@hig.no Versjon per 18. februar 2004 Innhold 1 EMPIRISKE STATISTISKE MÅL 1 1.1 Forventningsverdi, varians og standardavvik.....................

Detaljer

ÅMA 110 (TE 199) Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen vår 2005, s. 1. Oppgave 1

ÅMA 110 (TE 199) Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen vår 2005, s. 1. Oppgave 1 ÅMA 0 (TE 99) Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen vår 005, s. Oppgave a) P (X 0) 0.04 + 0.04 + 0.06 + 0.06 + 0. + 0. + 0. 0.6 P (0 X 40) 0.0 + 0.0 + 0.04 + 0.04 + 0.06 0.0 P

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen S2, våren 2016 Laget av Tommy Odland Dato: 29. januar 2017

Løsningsforslag Eksamen S2, våren 2016 Laget av Tommy Odland Dato: 29. januar 2017 Løsningsforslag Eksamen S, våren 016 Laget av Tommy Odland Dato: 9. januar 017 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = e x. Den generelle regelen er at (e ax ) = ae ax, i vårt tilfelle

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen M100 Høsten 1998

Løsningsforslag Eksamen M100 Høsten 1998 Løsningsforslag Eksamen M00 Høsten 998 Oppgave { x y = f(x) = + x + a hvis x ln( + x ) x hvis < x lim f(x) = f( ) = + a = a x lim f(x) = ln( + x ( ) ) ( ) = ln + For at f(x) skal være kont. i x = må lim

Detaljer

Hypotesetesting. Formulere en hypotesetest: Når vi skal test om en parameter θ kan påstås å være større enn en verdi θ 0 skriver vi dette som:

Hypotesetesting. Formulere en hypotesetest: Når vi skal test om en parameter θ kan påstås å være større enn en verdi θ 0 skriver vi dette som: Hypotesetesting. 10 og fore- Dekkes av pensumsidene i kap. lesingsnotatene. Hypotesetesting er en systematisk fremgangsmåte for å undersøke hypoteser (påstander) knyttet til parametre i sannsynlighetsfordelinger.

Detaljer

Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 15. november 2011 Kapittel 8.9. Konvergens av Taylorrekker 3 i 3 i Løs likningen x 2 + 1 = 0 3 i Løs likningen

Detaljer

Siden vi her har brukt første momentet i fordelingen (EX = EX 1 ) til å konstruere estimatoren kalles denne metoden for momentmetoden.

Siden vi her har brukt første momentet i fordelingen (EX = EX 1 ) til å konstruere estimatoren kalles denne metoden for momentmetoden. Estimeringsmetoder Momentmetoden La X, X 2,..., X n være uavhengige variable som er rektangulært fordelte på intervallet [0, θ]. Vi vet da at forventningsverdiene til hver observasjon og forventningen

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Oppsummering

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Oppsummering ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Oppsummering Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 21. april Bjørn H. Auestad Oppsummering våren

Detaljer

Arne B. Sletsjøe. Oppgaver, MAT 1012

Arne B. Sletsjøe. Oppgaver, MAT 1012 Arne B. Sletsjøe Oppgaver, MAT 101 1 En-variabel kalkulus 1.1 I de følgende oppgavene, i) finn alle kritiske punkter til f(x), ii) beskriv monotoniegenskapene til funksjonene ved å se på fortegnet til

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 26. november 2017

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 26. november 2017 Løsningsforslag Eksamen S, høsten 017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 6. november 017 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = x 4x 3. Vi bruker regelen samt regelen (x n ) = nx

Detaljer

Løsningsforslag eksamen 18/ MA1102

Løsningsforslag eksamen 18/ MA1102 Løsningsforslag eksamen 8/5 009 MA0. Dette er en alternerende rekke, der leddene i størrelse går monotont mot null, så alternerenderekketesten gir oss konvergens. (Vi kan også vise konvergens ved å vise

Detaljer

Potensrekker. Binomialrekker

Potensrekker. Binomialrekker Potensrekker Potensrekker er rekker på formen: Potensrekker kan brukes på en rekke områder for å finne tilnærmede eller eksakte løsninger på problemer som ellers kanskje må løses numerisk eller krever

Detaljer

Generelle teoremer og definisjoner MA1102 Grunnkurs i analyse II - NTNU

Generelle teoremer og definisjoner MA1102 Grunnkurs i analyse II - NTNU Generelle teoremer og definisjoner MA110 Grunnkurs i analyse II - NTNU Lærebok: Kalkulus, Universitetsforlaget, 006, 3. utgave av Tom Lindstrøm Jonas Tjemsland 9. april 015 3 Komplekse tall 3.1 Regneregler

Detaljer

Løsningsforslag til Eksamen i MAT111

Løsningsforslag til Eksamen i MAT111 Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bergen, 9. desember 25. Bokmål Løsningsforslag til Eksamen i MAT Mandag 9. desember 25, kl. 9-. Dette er kun et løsningsforslag. Oppgave a) Betrakt de to komplekse

Detaljer

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator. Hornæs: Formelsamling statistikk HiG. John Haugan: Formler og tabeller.

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator. Hornæs: Formelsamling statistikk HiG. John Haugan: Formler og tabeller. KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: FAGNUMMER: Statistikk. REA1081 EKSAMENSDATO: 11. juni 2007. KLASSE: Ingeniørklasser. TID: kl. 9.00 13.00. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 4 (innkl.

Detaljer

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator. Hornæs: Formelsamling statistikk HiG. John Haugan: Formler og tabeller.

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator. Hornæs: Formelsamling statistikk HiG. John Haugan: Formler og tabeller. KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: FAGNUMMER: Statistikk. BtG207 EKSAMENSDATO: 11. juni 2007. KLASSE: HIS 05 08. TID: kl. 8.00 13.00. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside)

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2016 Laget av Tommy Odland Dato: 27. januar 2017

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2016 Laget av Tommy Odland Dato: 27. januar 2017 Løsningsforslag Eksamen S, høsten 016 Laget av Tommy Odland Dato: 7. januar 017 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = x 3 5x, og vi kommer til å få bruk for reglene (ax n ) = anx

Detaljer

Talsnes ONE - 995850168 Enhver form for mangfoldiggjørelse av hele eller deler av innholdet av dette materiale er i henhold til norsk lov om

Talsnes ONE - 995850168 Enhver form for mangfoldiggjørelse av hele eller deler av innholdet av dette materiale er i henhold til norsk lov om 1 Eksponentielt vekst: En størrelse vokser eller avtar med en fast prosent per tidsenhet. Eulers tall e: En matematisk konstant, e=2,7 1828.. ln a gir det tallet du må opphøye Eulers tall e i for å få

Detaljer

1 OPPGAVE 2 OPPGAVE. a) Hva blir kontobeløpet den 2. januar 2040? b) Hvor mye penger blir det i pengeskapet den 2. januar 2040?

1 OPPGAVE 2 OPPGAVE. a) Hva blir kontobeløpet den 2. januar 2040? b) Hvor mye penger blir det i pengeskapet den 2. januar 2040? OPPGAVE Den. januar 0 satte Ola Normann 00 tusen kroner på en bankkonto med faste renter 3% per år. Han planlegger å ta ut halvparten av rentebeløpet den. januar hvert år, og å legge kontantene til et

Detaljer

Oppgave 1. e rt = 120e. = 240 e

Oppgave 1. e rt = 120e. = 240 e Løsning MET 803 Matematikk Dato 5. desember 05 kl 0900-00 Oppgave. (a) Dersom vi selger eiendommen etter t år, med t > 0, så er nåverdien av salgssummen med r = 0,0. Da får vi N(t) = V (t)e rt = 0 e e

Detaljer

Løsningsforslag eksamen i TMA4100 Matematikk desember Side 1 av 7

Løsningsforslag eksamen i TMA4100 Matematikk desember Side 1 av 7 Løsningsforslag eksamen i TMA4 Matematikk 2. desember 23. Side av 7 Oppgave Løs initialverdiproblemet y (2/x)y, y() 2. Løsning: y (2/x)y er en førsteordens lineær differensialligning. Vi finner en løsning

Detaljer

Funksjoner av stokastiske variable.

Funksjoner av stokastiske variable. Funksjoner av stokastiske variable. Dekkes av pensumsidene i kap. 7 I ulike sammenhenger, blant annet for å finne fordelingen til estimatorer, er vi interesserte i fordelingen til funksjoner av stokastiske

Detaljer

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 11/5-15/5

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 11/5-15/5 Fasit til utvalgte oppgaver MAT0, uka /5-5/5 Øyvind Ryan (oyvindry@i.uio.no May, 009 Oppgave 5.0.a Ser at f(x, y = (, 3, og g(x, y = (x, y. g(x, y = 0 hvis og bare hvis x = y = 0, og dette er ikke kompatibelt

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN

UNIVERSITETET I BERGEN UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT - Grunnkurs i Matematikk II Torsdag 4. juni 05, kl. 09:00-4:00 Bokmål Tillatte hjelpemiddel: Enkel kalkulator i samsvar

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN

UNIVERSITETET I BERGEN Bokmål UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Løsningsforslag til Eksamen i emnet MAT - Grunnkurs i matematikk I Torsdag 22. mai 28, kl. 9-4. Dette er kun et løsningsforslag.

Detaljer

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 26./28. november 2013

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 26./28. november 2013 Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 26./28. november 2013 Forelesningene 26./28. november Disse forelesningene er et forsøk på å se de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 delvis

Detaljer

TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016

TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Oppgave 1 Ei bedrift produserer elektriske komponentar. Komponentane kan ha to typar

Detaljer

6 x P (X = x) = x=1 = P (X 2 = 6)P (X 2 = 6)P (X 3 = 6) =

6 x P (X = x) = x=1 = P (X 2 = 6)P (X 2 = 6)P (X 3 = 6) = Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalte oppgaver 4, blokk I Løsningsskisse Oppgave 1 a) Utfallsrommet til X 1 er {1, 2,, 4, 5, }. Sannsynlighetsfordelingen

Detaljer

Funksjoner av stokastiske variable.

Funksjoner av stokastiske variable. Funksjoner av stokastiske variable. Dekkes av pensumsidene i kap. 7 I ulike sammenhenger, blant annet for å finne fordelingen til estimatorer, er vi interesserte i fordelingen til funksjoner av stokastiske

Detaljer

Høgskolen i Agder Avdeling for realfag EKSAMEN

Høgskolen i Agder Avdeling for realfag EKSAMEN Høgskolen i Agder Avdeling for realfag EKSAMEN Emnekode: MA 40 Emnenavn: Analyse Dato: 9. desember 999 Varighet: 09.00-5.00 Antall sider inklusivt forside: Tillatte hjelpemidler: Merknader: 2 Alle, også

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2009

TMA4240 Statistikk Høst 2009 TMA44 Statistikk Høst 9 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer b Løsningsskisse Oppgave X er en stokastisk variabel med sannsynlighetstetthet { f(x),

Detaljer

Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk

Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Mette Langaas a, Ingelin Steinsland b, Geir-Arne Fuglstad c Tlf: a 988 47 649, b 926 63 096, c 452 70 806

Detaljer

Denne veka. Kap 7: Funksjonar av stokastiske variable Transformasjon av variable Moment Momentgenererande funksjon

Denne veka. Kap 7: Funksjonar av stokastiske variable Transformasjon av variable Moment Momentgenererande funksjon Denne veka Kap 7: Funksjonar av stokastiske variable Transformasjon av variable Moment Momentgenererande funksjon Notat: Ordningsvariable og ekstremvariable Ordnings variable Maksimum Minumum Transformasjon

Detaljer

Poissonprosesser og levetidsfordelinger

Poissonprosesser og levetidsfordelinger Poissonprosesser og levetidsfordelinger Poissonfordeling som grensetilfelle for binomisk fordeling La X være binomisk fordelt med fordeling P (X = x) = ( ) n p x (1 p) n x, for x = 0, 1,... n. (1) x Forventningsverdien

Detaljer

Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2

Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2 Prøve i FO929A - Matematikk Dato: 1. juni 2012 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 2 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

TMA4240/TMA4245 Statistikk Oppsummering diskrete sannsynlighetsfordelinger

TMA4240/TMA4245 Statistikk Oppsummering diskrete sannsynlighetsfordelinger TMA4240/TMA4245 Statistikk Oppsummering diskrete sannsynlighetsfordelinger Binomisk fordeling* ( ) n b(x; n, p) = p x (1 p) n x = x ( ) n p x q n x, x x = 0, 1, 2,..., n Fenomén: i) n forsøk. ii) Suksess/fiasko

Detaljer

Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i ECON 2130

Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i ECON 2130 Andreas Mhre April 15 Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i ECON 13 Oppgave 1: E(XY) = E(X(Z X)) Setter inn Y = Z - X E(XY) = E(XZ X ) E(XY) = E(XZ) E(X ) E(XY) = - E(X ) X og Z er uavhengige, så

Detaljer

Taylor- og Maclaurin-rekker

Taylor- og Maclaurin-rekker Taylor- og Maclaurin-rekker Forelest: Okt, 004 Potensrekker er funksjoner Vi så at noen funksjoner vi kjenner på andre måter kan skrives som funksjoner, for eksempel: = + t + t + t 3 + + t n + t e x =

Detaljer

MAT Grublegruppen Uke 37

MAT Grublegruppen Uke 37 MAT00 - Grublegruppen Uke 37 Jørgen O. Lye Bemerkning: Mye av stoffet i dette notatet er å finne i Kalkulus, kapittel. Dette kapittelet er leselig etter man vet hva følger er, men er ikke pensum før i

Detaljer

Uendelige rekker. Konvergens og konvergenskriterier

Uendelige rekker. Konvergens og konvergenskriterier Uendelige rekker. Konvergens og konvergenskriterier : Et absolutt nødvendig, men ikke tilstrekkelig vilkår for konvergens er at: lim 0 Konvergens vha. delsummer :,.,,,. I motsatt fall divergerer rekka.

Detaljer

Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder

Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Faglig kontakt under eksamen: Nikolai Ushakov Tlf: 45128897 Eksamensdato: 04. desember 2015 Eksamenstid (fra til): 09:00

Detaljer

Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger.

Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger. Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger. Dekkes av kap. 6 og deler av kap. 8.5 i boka. Husk: f(x er sannsynlighetstettheten til en kontinuerlig X dersom:. f(x 0 for alle x R 2. f(xdx = 3. P (a

Detaljer

Løsningsforslag AA6524/AA6526 Matematikk 3MX Elever/Privatister - 7. desember eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6524/AA6526 Matematikk 3MX Elever/Privatister - 7. desember eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA654/AA656 Matematikk 3MX Elever/Privatister - 7. desember 005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis,

Detaljer

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 17./18. november 2014

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 17./18. november 2014 Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 17./18. november 2014 Forelesningene 17./18. november Disse forelesningene er et forsøk på å se de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 delvis

Detaljer

EKSAMEN KANDIDATNUMMER: EKSAMENSDATO: 26. mai 2006. SENSURFRIST: 16. juni 2006. KLASSE: HIS 04 07. TID: kl. 8.00 13.00.

EKSAMEN KANDIDATNUMMER: EKSAMENSDATO: 26. mai 2006. SENSURFRIST: 16. juni 2006. KLASSE: HIS 04 07. TID: kl. 8.00 13.00. KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: FAGNUMMER: Statistikk. BtG207 EKSAMENSDATO: 26. mai 2006. SENSURFRIST: 16. juni 2006. KLASSE: HIS 04 07. TID: kl. 8.00 13.00. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER

Detaljer

Statistikk 1 kapittel 4

Statistikk 1 kapittel 4 Statistikk 1 kapittel 4 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2017 Kapittel 4 Stokastiske (tilfeldige) variabler Anta 1) Vi kjenner sannsynligheter for ulike utfall knyttet til et forsøk 2) Hvert utfall har en (meningsfull)

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2015

TMA4240 Statistikk H2015 TMA4240 Statistikk H2015 Kapittel 4: Matematisk forventning [4.1+start 4.3] Quiz kjørt med Kahoot! fra kahoot.it. Mette Langaas wiki.math.ntnu.no/emner/tma4240/2015h/start/ 2 Høyde, kvinner Frequency

Detaljer

Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder

Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Faglig kontakt under eksamen: Nikolai Ushakov Tlf: 45128897 Eksamensdato: 20. desember 2016 Eksamenstid (fra til): 09:00

Detaljer

Løsningsforslag for Eksamen i MAT 100, H-03

Løsningsforslag for Eksamen i MAT 100, H-03 Løsningsforslag for Eksamen i MAT, H- Del. Integralet cos( ) d er lik: Riktig svar: b) sin( ) + C. Begrunnelse: Vi setter u =, du = d og får: cos( ) d = cos u du = sin u + C = sin( ) + C. Integralet ln(

Detaljer

STK1100 våren Kontinuerlige stokastiske variabler Forventning og varians Momentgenererende funksjoner

STK1100 våren Kontinuerlige stokastiske variabler Forventning og varians Momentgenererende funksjoner STK1100 våren 2017 Kontinuerlige stokastiske variabler Forventning og varians Momentgenererende funksjoner Svarer til avsnittene 4.1 og 4.2 i læreboka Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable. Diskrete tilfeldige variable, varians (kp. 3.

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable. Diskrete tilfeldige variable, varians (kp. 3. ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 8 Kp. Diskrete tilfeldige variable Kp. Diskrete tilfeldige variable Har sett på (tidligere: begrep/definisjoner; tilfeldig (stokastisk variabel sannsynlighetsfordeling

Detaljer

Kapittel 8: Tilfeldige utvalg, databeskrivelse og fordeling til observatorar, Kapittel 9: Estimering

Kapittel 8: Tilfeldige utvalg, databeskrivelse og fordeling til observatorar, Kapittel 9: Estimering Kapittel 8: Tilfeldige utvalg, databeskrivelse og fordeling til observatorar, Kapittel 9: Estimering TMA4245 Statistikk Kapittel 8.1-8.5. Kapittel 9.1-9.3+9.15 Turid.Follestad@math.ntnu.no p.1/21 Har sett

Detaljer

Notater nr 9: oppsummering for uke 45-46

Notater nr 9: oppsummering for uke 45-46 Notater nr 9: oppsummering for uke 45-46 Bøkene B (læreboken): Tor Gulliksen og Arne Hole, Matematikk i Praksis, 5. utgave. K (kompendium): Amir M. Hashemi, Brukerkurs i matematikk MAT, høsten. Oppsummering

Detaljer

statistikk, våren 2011

statistikk, våren 2011 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 011 Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable 1 Diskrete tilfeldige variable, innledning Hva er en tilfeldig variabel (stokastisk variabel)? Diskret tilfeldig

Detaljer