Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Transkript

1 Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. november 2011

2 Kapittel 8.8. Taylorrekker og Maclaurinrekker

3 3 Taylor-polynomer Definisjon (Taylorpolynomet av grad n generert av f(x)) La f(x) ha deriverte av minst orden n i et intervall som inneholder x = a. Taylorpolynomet til f(x) av orden n er n k=0 = f(a) + f (a)(x a) + f (a) 2! f (k) (a) (x a) k k! (x a) f (n) (a) (x a) n n!

4 4 Taylorpolynomer av sin x om x = sin x = P(x)

5 4 Taylorpolynomer av sin x om x = 0 1 P sin x x = P 1 (x)

6 4 Taylorpolynomer av sin x om x = 0 1 P P 3 sin x x 1 3! x 3 = P 3 (x)

7 4 Taylorpolynomer av sin x om x = 0 1 P 1 P P 3 sin x x 1 3! x ! x 5 = P 5 (x)

8 4 Taylorpolynomer av sin x om x = 0 1 P 1 P P 3 P 7 sin x x 1 3! x ! x 5 1 7! x 7 = P 7 (x)

9 4 Taylorpolynomer av sin x om x = 0 1 P 1 P 5 P P 3 P 7 sin x x 1 3! x ! x 5 1 7! x ! x 9 = P 9 (x)

10 4 Taylorpolynomer av sin x om x = 0 1 P 1 P 5 P P 3 P 7 P 11 sin x x 1 3! x ! x 5 1 7! x ! x ! x 11 = P 11 (x)

11 4 Taylorpolynomer av sin x om x = 0 1 P 1 P 5 P 9 P P 3 P 7 P 11 sin x x 1 3! x ! x 5 1 7! x ! x ! x ! x 13 = P 13 (x)

12 4 Taylorpolynomer av sin x om x = 0 1 P 1 P 5 P 9 P P 3 P 7 P 11 P 15 sin x x 1 3! x ! x 5 1 7! x ! x ! x ! x ! x 15 = P 15 (x)

13 4 Taylorpolynomer av sin x om x = 0 1 P 1 P 5 P 9 P 13 P P 3 P 7 P 11 P 15 sin x x 1 3! x ! x 5 1 7! x ! x ! x ! x ! x ! x 17 = P 17 (x)

14 5 En tankevekker-rekke Taylorrekken til f(x) = { 0 x = 0 e 1/x x 0 1

15 5 En tankevekker-rekke Taylorrekken til f(x) = { 0 x = 0 e 1/x x 0 1 = 0

16 Kapittel 8.9. Konvergens av Taylorrekker

17 7 Taylors teorem (Teori) Teorem (Taylors teorem) 1 Gitt en funksjon f og dens n deriverte f, f, f,..., f (n+1) er kontinuerlige på et lukket intervall mellom a og b.

18 7 Taylors teorem (Teori) Teorem (Taylors teorem) 1 Gitt en funksjon f og dens n deriverte f, f, f,..., f (n+1) er kontinuerlige på et lukket intervall mellom a og b. 2 Da finnes et punkt c mellom a og b slik at

19 7 Taylors teorem (Teori) Teorem (Taylors teorem) 1 Gitt en funksjon f og dens n deriverte f, f, f,..., f (n+1) er kontinuerlige på et lukket intervall mellom a og b. 2 Da finnes et punkt c mellom a og b slik at f(b) = f(a) + f (a)(b a) + f (a) (b a) 2 + 2! + f (n) (a) n! (b a) n + f (n+1) (c) (b a)n+1 (n + 1)!

20 8 Spesialtilfelle Teorem (Mellomverdisatsen) 1 Gitt en funksjon f og dens første-deriverte f er kontinuerlige på et lukket intervall mellom a og b.

21 8 Spesialtilfelle Teorem (Mellomverdisatsen) 1 Gitt en funksjon f og dens første-deriverte f er kontinuerlige på et lukket intervall mellom a og b. 2 Da finnes et punkt c mellom a og b slik at

22 8 Spesialtilfelle Teorem (Mellomverdisatsen) 1 Gitt en funksjon f og dens første-deriverte f er kontinuerlige på et lukket intervall mellom a og b. 2 Da finnes et punkt c mellom a og b slik at f(b) = f(a) + f (c)(b a)

23 9 Taylors teorem (og praksis) Teorem (Taylors teorem) 1 En funksjon f har alle ordens deriverte i et intervall I som inneholder a

24 9 Taylors teorem (og praksis) Teorem (Taylors teorem) 1 En funksjon f har alle ordens deriverte i et intervall I som inneholder a 2 Da gjelder at f(x) = P n (x) + R n (x).

25 9 Taylors teorem (og praksis) Teorem (Taylors teorem) 1 En funksjon f har alle ordens deriverte i et intervall I som inneholder a 2 Da gjelder at f(x) = P n (x) + R n (x). P n (x) er taylorpolynom for f og restleddet er gitt ved der c ligger mellom a og x. R n (x) = f (n+1) (c) (x a)n+1 (n + 1)!

26 9 Taylors teorem (og praksis) Teorem (Taylors teorem) 1 En funksjon f har alle ordens deriverte i et intervall I som inneholder a 2 Da gjelder at f(x) = P n (x) + R n (x). P n (x) er taylorpolynom for f og restleddet er gitt ved der c ligger mellom a og x. f(x) = f(a) + f (a)(a b) + f (a) 2! R n (x) = f (n+1) (c) (x a)n+1 (n + 1)! (a b) f (n) (a) (a b) n + R n (x) n!

27 10 Et eksempel e = e 1 = ! n! + R n(1)

28 10 Et eksempel e = e 1 = ! n! + R n(1) R n (1) < e (n + 1)! (< 1 som oftest:) n!

29 10 Et eksempel e = e 1 = ! n! + R n(1) R n (1) < e (n + 1)! (< 1 som oftest:) n! Matematisk nøtt: Kan e skrives som en brøk?

30 11 Estimering av restleddet Teorem (Restledds-estimerings teoremet) M positiv konstant. f (n+1) (t) M for alle t mellom a og x da tilfredstiller restleddet ulikheten Anvendelser: R n (x) M x a n+1 (n + 1)!

31 11 Estimering av restleddet Teorem (Restledds-estimerings teoremet) M positiv konstant. f (n+1) (t) M for alle t mellom a og x da tilfredstiller restleddet ulikheten Anvendelser: R n (x) M x a n+1 (n + 1)! Taylor rekken for e x konvergerer mot e x for alle reelle tall x.

32 11 Estimering av restleddet Teorem (Restledds-estimerings teoremet) M positiv konstant. f (n+1) (t) M for alle t mellom a og x da tilfredstiller restleddet ulikheten Anvendelser: R n (x) M x a n+1 (n + 1)! Taylor rekken for e x konvergerer mot e x for alle reelle tall x. Taylor rekken for cos x konvergerer mot cos x for alle reelle tall x.

33 11 Estimering av restleddet Teorem (Restledds-estimerings teoremet) M positiv konstant. f (n+1) (t) M for alle t mellom a og x da tilfredstiller restleddet ulikheten Anvendelser: R n (x) M x a n+1 (n + 1)! Taylor rekken for e x konvergerer mot e x for alle reelle tall x. Taylor rekken for cos x konvergerer mot cos x for alle reelle tall x. Taylor rekken for sin x konvergerer mot sin x for alle reelle tall x.

34 12 Anvendelser av taylorrekker 1 sin x Skriv dx som en potensrekke. x

35 12 Anvendelser av taylorrekker 1 sin x Skriv dx som en potensrekke. x 2 Estimer Si(1) = 1 sin x 0 x dx med feil mindre enn 0,

36 12 Anvendelser av taylorrekker 1 sin x Skriv dx som en potensrekke. x 2 Estimer Si(1) = 1 0 sin x ln(1 + x 2 ) 3 Regn ut lim x x 0 x 3 sin x x dx med feil mindre enn 0,

37 12 Anvendelser av taylorrekker 1 sin x Skriv dx som en potensrekke. x 2 Estimer Si(1) = 1 0 sin x ln(1 + x 2 ) 3 Regn ut lim x x 0 1 sin x x sin x x dx med feil mindre enn 0, x 3 dx = C + x 1 3 3! x ! x 5

38 12 Anvendelser av taylorrekker 1 sin x Skriv dx som en potensrekke. x 2 Estimer Si(1) = 1 0 sin x ln(1 + x 2 ) 3 Regn ut lim x x 0 sin x x dx med feil mindre enn 0, x 3 1 sin x dx = C + x 1 x 3 3! x ! x 5 2 Si(1) = 1 sin x 0 x dx ! ! 1 7 7! = 0,

39 12 Anvendelser av taylorrekker 1 sin x Skriv dx som en potensrekke. x 2 Estimer Si(1) = 1 0 sin x ln(1 + x 2 ) 3 Regn ut lim x x 0 sin x x dx med feil mindre enn 0, x 3 1 sin x dx = C + x 1 x 3 3! x ! x 5 2 Si(1) = 1 sin x 0 x dx ! ! 1 7 7! = 0, sin x 3 lim 1 x ln(1+x2 ) x 0 = 1 x 3 3

40 13 i

41 13 i Løs likningen x = 0

42 13 i Løs likningen x = 0 Løsningene er x = ±i

43 13 i Løs likningen x = 0 Løsningene er x = ±i i = 1

44 14 Eulers identitet e 1 x = cos x + 1 sin x e i x = cos x + i sin x e i π = 1

45 15 Bevis av Taylors teorem Anvend rolles teorem. Oppgave 1 (vanskelig): Bevis Taylors teorem uten å se i boka.

46 15 Bevis av Taylors teorem Anvend rolles teorem. Oppgave 1 (vanskelig): Bevis Taylors teorem uten å se i boka. Oppgave 2 (lettere): Finn ideen i beviset av Taylors teorem (ved å se i boka).

47 15 Bevis av Taylors teorem Anvend rolles teorem. Oppgave 1 (vanskelig): Bevis Taylors teorem uten å se i boka. Oppgave 2 (lettere): Finn ideen i beviset av Taylors teorem (ved å se i boka). Oppgave 3 (triviell): Finn en unskyldning til ikke å forstå teoremet.

48 Kapittel Binomialrekker

49 17 Binomial rekker Definisjon (Binomialrekke) Maclaurinrekken til (1 + x) m kalles for en binomial-rekke

50 17 Binomial rekker Definisjon (Binomialrekke) Maclaurinrekken til (1 + x) m kalles for en binomial-rekke 1 + m x + m(m 1) x 2 m(m 1)(m 2) + x 3 + 2! 3! m(m 1) (m n + 1) + x n + n!

51 18 Binomial rekker Definisjon (Binomial koeffisienter) ( m 1) ( m = m, = 2) ( m(m 1) m,..., = 2! n) m(m 1) (m n + 1). n!

52 18 Binomial rekker Definisjon (Binomial koeffisienter) ( m 1) ( m = m, = 2) Definisjon (Binomialrekke) Binomial rekken til (1 + x) m er ( m(m 1) m,..., = 2! n) 1 + k=1 ( ) m x k. k m(m 1) (m n + 1). n!

53 19 Eksempler Binomialrekken til er Binomialrekken til er

54 19 Eksempler Binomialrekken til er (1 + x) 1? Binomialrekken til er

55 19 Eksempler Binomialrekken til (1 + x) 1? er 1 x + x 2 x 3 + x 4 x 5 + Binomialrekken til er

56 19 Eksempler Binomialrekken til (1 + x) 1? er 1 x + x 2 x 3 + x 4 x 5 + Binomialrekken til x? er

57 19 Eksempler Binomialrekken til (1 + x) 1? er 1 x + x 2 x 3 + x 4 x 5 + Binomialrekken til x? er x 1 9 x x x 4 +