Følger og rekker. Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway. November 10, 2014
|
|
|
- Haldis Pettersen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway November 10, 2014
2 Forelesning ( ): kap 9.1 og 9.2 Beskrivelse av følger eksempler og definisjon Egenskaper med følger Grenseverdi for følger (og teknikker for å vise at en følge konvergerer eller divergerer) Begrensede monotoner følger konvergerer Definisjon av rekker, konvergerende rekker Geometrisk rekke Teoremer om konvergens/divergens av rekker
3 Eksempel Newtonsmetode Newtonsmetode for f (x) = 0 x n+1 = x n f (x n) f (x n ) generere en følge av approksimasjoner av løsningen til f (x) = 0.
4 Eksempel Newtonsmetode Newtonsmetode for f (x) = 0 x n+1 = x n f (x n) f (x n ) generere en følge av approksimasjoner av løsningen til f (x) = 0. Eksempel Vi skal approksimere løsningen til x 2 = 2, da er f (x) = x 2 2 og f (x) = 2x.
5 Eksempel Newtonsmetode Newtonsmetode for f (x) = 0 x n+1 = x n f (x n) f (x n ) generere en følge av approksimasjoner av løsningen til f (x) = 0. Eksempel Vi skal approksimere løsningen til x 2 = 2, da er f (x) = x 2 2 og f (x) = 2x.Vi tar x 0 = 0.5,
6 Eksempel Newtonsmetode Newtonsmetode for f (x) = 0 x n+1 = x n f (x n) f (x n ) generere en følge av approksimasjoner av løsningen til f (x) = 0. Eksempel Vi skal approksimere løsningen til x 2 = 2, da er f (x) = x 2 2 og f (x) = 2x.Vi tar x 0 = 0.5,vi får x 0 = 0.5 y 0 = f (x 0 ) = x = 1.75
7 Eksempel Newtonsmetode Newtonsmetode for f (x) = 0 x n+1 = x n f (x n) f (x n ) generere en følge av approksimasjoner av løsningen til f (x) = 0. Eksempel Vi skal approksimere løsningen til x 2 = 2, da er f (x) = x 2 2 og f (x) = 2x.Vi tar x 0 = 0.5,vi får x 0 = 0.5 y 0 = f (x 0 ) = x = 1.75 x 1 = = 2.25 y 1 = f (x 1 ) = x =
8 Eksempel Newtonsmetode Newtonsmetode for f (x) = 0 x n+1 = x n f (x n) f (x n ) generere en følge av approksimasjoner av løsningen til f (x) = 0. Eksempel Vi skal approksimere løsningen til x 2 = 2, da er f (x) = x 2 2 og f (x) = 2x.Vi tar x 0 = 0.5,vi får x 0 = 0.5 y 0 = f (x 0 ) = x = 1.75 x 1 = = 2.25 y 1 = f (x 1 ) = x = x 2 = x 1 x x 1 = y 2 = f (x 2 ) = x =
9 Eksempel Newtonsmetode Newtonsmetode for f (x) = 0 x n+1 = x n f (x n) f (x n ) generere en følge av approksimasjoner av løsningen til f (x) = 0. Eksempel Vi skal approksimere løsningen til x 2 = 2, da er f (x) = x 2 2 og f (x) = 2x.Vi tar x 0 = 0.5,vi får x 0 = 0.5 y 0 = f (x 0 ) = x = 1.75 x 1 = = 2.25 y 1 = f (x 1 ) = x = x 2 = x 1 x x 1 = y 2 = f (x 2 ) = x = x 3 = x 2 x x 2 = y 3 = f (x 3 ) = x =
10 Eksempel Newtonsmetode Newtonsmetode for f (x) = 0 x n+1 = x n f (x n) f (x n ) generere en følge av approksimasjoner av løsningen til f (x) = 0. Eksempel Vi skal approksimere løsningen til x 2 = 2, da er f (x) = x 2 2 og f (x) = 2x.Vi tar x 0 = 0.5,vi får x 0 = 0.5 y 0 = f (x 0 ) = x = 1.75 x 1 = = 2.25 y 1 = f (x 1 ) = x = x 2 = x 1 x x 1 = y 2 = f (x 2 ) = x = x 3 = x 2 x x 2 = y 3 = f (x 3 ) = x3 2 2 =
11 Eksempel Newtonsmetode Newtonsmetode for f (x) = 0 x n+1 = x n f (x n) f (x n ) generere en følge av approksimasjoner av løsningen til f (x) = 0. Eksempel Vi skal approksimere løsningen til x 2 = 2, da er f (x) = x 2 2 og f (x) = 2x.Vi tar x 0 = 0.5,vi får x 0 = 0.5 y 0 = f (x 0 ) = x = 1.75 x 1 = = 2.25 y 1 = f (x 1 ) = x = x 2 = x 1 x x 1 = y 2 = f (x 2 ) = x = x 3 = x 2 x x 2 = y 3 = f (x 3 ) = x3 2 2 = {x n } {y n }
12 Eksempel Newtonsmetode Newtonsmetode for f (x) = 0 x n+1 = x n f (x n) f (x n ) generere en følge av approksimasjoner av løsningen til f (x) = 0. Eksempel Vi skal approksimere løsningen til x 2 = 2, da er f (x) = x 2 2 og f (x) = 2x.Vi tar x 0 = 0.5,vi får x 0 = 0.5 y 0 = f (x 0 ) = x = 1.75 x 1 = = 2.25 y 1 = f (x 1 ) = x = x 2 = x 1 x x 1 = y 2 = f (x 2 ) = x = x 3 = x 2 x x 2 = y 3 = f (x 3 ) = x3 2 2 = {x n } {y n } går mot 2 går mot 0
13 Måter å generere og beskrive følger på rekursiv (iterativ) definisjon, som for Newtonsmetode
14 Måter å generere og beskrive følger på rekursiv (iterativ) definisjon, som for Newtonsmetode beskrivelse ved å liste elementene i følgen: {1, 2, 3,... }
15 Måter å generere og beskrive følger på rekursiv (iterativ) definisjon, som for Newtonsmetode beskrivelse ved å liste elementene i følgen: {1, 2, 3,... } definer den generelle ledd a n ved en formel: a n = cos(n) n
16 Måter å generere og beskrive følger på rekursiv (iterativ) definisjon, som for Newtonsmetode beskrivelse ved å liste elementene i følgen: {1, 2, 3,... } definer den generelle ledd a n ved en formel: a n = cos(n) n DEF En følge er en funksjon mellom N og R, f N R, så f (1) = a 1, f (2) = a 2, f (3) = a 3...
17 Egenskaper av følger En følge er 1 begrenset nedenifra fra L hvis a n L for n = 1, 2, 3,... (L heter nedreskranke) 2 begrenset ovenifra fra L hvis a n L for n = 1, 2, 3,... (L heter ovreskranke) 3 positiv hvis a n 0 for n = 1, 2, 3,..., 4 negativ hvis a n 0 for n = 1, 2, 3,... 5 voksende hvis a n a n+1 for n = 1, 2, 3,... ; 6 avtagende hvis a n a n+1 for n = 1, 2, 3,... 7 alternerende hvis a n a n+1 < 0 for n = 1, 2, 3,...
18 Egenskaper av følger En følge er 1 begrenset nedenifra fra L hvis a n L for n = 1, 2, 3,... (L heter nedreskranke) 2 begrenset ovenifra fra L hvis a n L for n = 1, 2, 3,... (L heter ovreskranke) 3 positiv hvis a n 0 for n = 1, 2, 3,..., 4 negativ hvis a n 0 for n = 1, 2, 3,... 5 voksende hvis a n a n+1 for n = 1, 2, 3,... ; 6 avtagende hvis a n a n+1 for n = 1, 2, 3,... 7 alternerende hvis a n a n+1 < 0 for n = 1, 2, 3,... Eksempler: {n} er voksende, positiv, begrenset nedeinfra n } = {0, 1 2, 2 3, 3,... } er positiv, voksende, med ovreskranke lik 1 4 og nedreskranke 0 { n 1 ( 1) n er alternerende
19 Grenseverdier og teknikker for å avgjøre om følgen konvergerer DEF En følge konvergerer mot en grenseverdi L hvis for alle ɛ > 0 (så lite som vi vil) det finnes en indeks N (stor nok) slik at n N a n L < ɛ
20 Grenseverdier og teknikker for å avgjøre om følgen konvergerer DEF En følge konvergerer mot en grenseverdi L hvis for alle ɛ > 0 (så lite som vi vil) det finnes en indeks N (stor nok) slik at n N a n L < ɛ Teorem Hvis lim x f (x) = L og a n = f (n) da lim n a n = L.
21 Grenseverdier og teknikker for å avgjøre om følgen konvergerer Basert på resultatene om grenseverdier for funksjoner har vi at
22 Grenseverdier og teknikker for å avgjøre om følgen konvergerer Basert på resultatene om grenseverdier for funksjoner har vi at lim (a n ± b n ) = lim a n ± lim b n n n n
23 Grenseverdier og teknikker for å avgjøre om følgen konvergerer Basert på resultatene om grenseverdier for funksjoner har vi at lim (a n ± b n ) = lim a n ± lim b n n n n lim c a n = c lim a n n n
24 Grenseverdier og teknikker for å avgjøre om følgen konvergerer Basert på resultatene om grenseverdier for funksjoner har vi at lim (a n ± b n ) = lim a n ± lim b n n n n lim c a n = c lim a n n n lim a n b n = ( lim a n ) ( lim b n ) n n n
25 Grenseverdier og teknikker for å avgjøre om følgen konvergerer Basert på resultatene om grenseverdier for funksjoner har vi at lim (a n ± b n ) = lim a n ± lim b n n n n lim c a n = c lim a n n n lim a n b n = ( lim a n ) ( lim b n ) n n n gitt at lim n b n 0 a n lim = lim n a n n b n lim n b n
26 Grenseverdier og teknikker for å avgjøre om følgen konvergerer Basert på resultatene om grenseverdier for funksjoner har vi at hvis a n b n for n N da lim a n lim b n n n
27 Grenseverdier og teknikker for å avgjøre om følgen konvergerer Basert på resultatene om grenseverdier for funksjoner har vi at hvis a n b n for n N da lim a n lim b n n n hvis a n c n b n for n N og lim n a n = L = lim n c n da lim b n = L n
28 Begrensede monotone følger konvergerer Teorem 1 Kap 9.1 Hvis {a n } konvergerer da er {a n } begrenset.
29 Begrensede monotone følger konvergerer Teorem 1 Kap 9.1 Hvis {a n } konvergerer da er {a n } begrenset. Teorem (Uten bevis) Begrensede monotone følger konvergerer Eks 8 kap 9.1 Vis at følgen{a n } gitt av a 1 = 1, a n+1 = 6 + a n konvergerer.
30 Rekker kap 9.2 En rekke er en uendelig sum n=1 a n = a 1 + a 2 + a 3 +
31 Rekker kap 9.2 En rekke er en uendelig sum Eksempel: (harmonisk rekke) n=1 a n = a 1 + a 2 + a n=1 n =
32 Rekker kap 9.2 En rekke er en uendelig sum Eksempel: (harmonisk rekke) n=1 Når vi skriver n=1 a n mener vi n=1 a n = a 1 + a 2 + a n=1 n = a n = a 1 + a 2 + a 3 + = (((a 1 + a 2 ) + a 3 ) + a 4 ) +...
33 Rekker kap 9.2 En rekke er en uendelig sum Eksempel: (harmonisk rekke) n=1 Når vi skriver n=1 a n mener vi n=1 delsummer av rekka a n = a 1 + a 2 + a n=1 n = a n = a 1 + a 2 + a 3 + = (((a 1 + a 2 ) + a 3 ) + a 4 ) +... s 1 = a 1 s 2 = a 1 + a 2 n a j j=1 s n = a a n =
34 Rekker- Konvergens Vi sier at rekka n=1 a n konvergerer til summen s, og skriver hvis og bare hvis eksisterer og er endelig. n=1 Ellers sier vi at rekka divergerer. a n = s, lim s n = s n
35 Geometrisk rekke og teleskoperende rekker Geometrisk rekke er en rekke av formen n=1 der a og r er reelle tall. a r n 1 = a + ar + ar 2 + ar 3 +
36 Geometrisk rekke og teleskoperende rekker Geometrisk rekke er en rekke av formen n=1 a r n 1 = a + ar + ar 2 + ar 3 + der a og r er reelle tall. Delsummer s n = a 1 r n 1 r
37 Geometrisk rekke og teleskoperende rekker Geometrisk rekke er en rekke av formen n=1 der a og r er reelle tall. Delsummer og lim s 1 r n n = a lim n n 1 r a r n 1 = a + ar + ar 2 + ar 3 + s n = a 1 r n 1 r 0 hvis a = 0 = hvis r < 1 a 1 r divergerer hvis r 1
38 Geometrisk rekke og teleskoperende rekker Geometrisk rekke er en rekke av formen n=1 der a og r er reelle tall. Delsummer og lim s 1 r n n = a lim n n 1 r a r n 1 = a + ar + ar 2 + ar 3 + s n = a 1 r n 1 r 0 hvis a = 0 = hvis r < 1 a 1 r divergerer hvis r 1 Eksempel av en teleskoperende rekke: n=1 1 n(n + 1) = ( 1 n 1 n + 1 ) n=1
39 Teoremer for konvergens/divergens av rekker Kap 9.2 Teorem 4 Hvis n=1 a n konvergerer da er lim n a n = 0.
40 Teoremer for konvergens/divergens av rekker Kap 9.2 Teorem 4 Hvis n=1 a n konvergerer da er lim n a n = 0. DET MOTSATTE IMPLIKASJONEN GJELDER IKKE!!!!
41 Teoremer for konvergens/divergens av rekker Kap 9.2 Teorem 4 Hvis n=1 a n konvergerer da er lim n a n = 0. DET MOTSATTE IMPLIKASJONEN GJELDER IKKE!!!! Teorem 5 n=1 a n konvergerer hvis og bare hvis n=n a n konvergerer Teorem 6 Hvis {a n } er positiv for n N da n=1 a n enten konvergerer eller divergerer mot.
42 Teoremer for konvergens/divergens av rekker Kap 9.2 Teorem 4 Hvis n=1 a n konvergerer da er lim n a n = 0. DET MOTSATTE IMPLIKASJONEN GJELDER IKKE!!!! Teorem 5 n=1 a n konvergerer hvis og bare hvis n=n a n konvergerer Teorem 6 Hvis {a n } er positiv for n N da n=1 a n enten konvergerer eller divergerer mot. Teorem 7 Hvis n=1 a n konvergerer med sum A og n=1 b n konvergerer med sum B da n=1 c a n = c A n=1 a n ± b n = A ± B Hvis a n b n for n = 1, 2, 3,... da A B
43 Konvergens tester for rekker Kap 9.3 Integral test Sammenligningstest (Teorem 9 og 10) Quotienttest (Teorem 11) Roottest (Teorem 12)
44 Integraltest La a n = f (n) og f positiv, kontinuerlig ikke voksende funksjon på [N, ) for N > 0 da n n=1 a n, og N f (t)dt enten begge konvergerer eller begge divergerer.
45 Sammenligningstest Gitt {a n } og {b n } slik at det finnes en konstant K slik at 0 a n Kb n a) hvis n=1 b n konvergerer da n=1 a n konvergerer b) hvis n=1 a n divergerer da n=1 a n divergerer
46 Grensesamenligningstest La {a n } og {b n } være positive følger og lim n a n b n = L der L 0 eller + da a) hvis L < og n=1 b n konvergerer da n=1 a n konvergerer b) hvis L > 0 og n=1 b n divergerer da n=1 a n divergerer
47 Kvotienttest a La a n > 0 for n N og ρ = lim n+1 n a n der ρ R eller ρ = + da a) hvis 0 ρ < 1 da n=1 a n konvergerer b) hvis 1 < ρ da n=1 a n divergerer c) hvis ρ = 1 kan vi ikke konkludere om n=1 a n konvergerer eller divergerer.
48 Rottest La a n > 0 (for n > N) og σ = lim n (a n ) 1 n, σ R eller σ = + da a) hvis 0 σ < 1 da n=1 a n konvergerer b) hvis 1 < σ da lim n a n = og n=1 a n divergerer c) hvis σ = 1 kan vi ikke konkludere om n=1 a n konvergerer eller divergerer.
49 Forelesning Kap Absolutt konvergens Alternerende rekker Potensrekker Operasjoner på rekker (algebraiske og leddvis)
50 Absolutt konvergens DEF n=1 a n er absoluttkonvergent hvis n=1 a n konvergerer Eksempel ( 1) n n=1 n 2 er absoluttkonvergent Teorem Hvis en rekke er absoluttkonvergent da er rekka konvergent.
51 Betinget konvergens DEF En rekke som er er konvergent men ikke absoluttkonvergent kalles for betingetkonvergent Eksempel Den alternerende harmoniske rekke er betingetkonvergent ( 1) n 1 n=1 n
52 Alternerende rekker Eksempel Den alternerende harmoniske rekke er alternerende ( 1) n 1 n=1 n Teorem 14 La {a n } være slik at det finnes N slik at (i) a n a n+1 < 0 for n N (ii) a n+1 a n for n N (iii) lim n a n = 0 da konvergerer rekka n=1 a n. Feilestimat for alternerende rekker: s s n s n+1 s n = a n+1 der s = n=1 a n
53 Potensrekker 9.5 DEF Rekka n=0 a n (x c) n = a 0 + a 1 (x c) + a 2 (x c) kalles potensrekke i potenser av (x c) (eller potensrekka om c). a 0, a 1,... kalles koeffisenter av rekka. En potensrekke konvergerer avhengig av hvordan vi velger x: Eksempel 1 + x + x 2 + x 3 + = n=0 x n = 1 1 x, 1 < x < 1 funksjonen 1 1 x kan representeres av en rekke i intervallet ( 1, 1). Konvergenssentre c er konvergenssentre av potensrekka: for x = c, n=0 a n (c c) n = a 0 rekka konvergerer.
54 Konvergens av potensrekker Teorem 17 En potensrekke n=0 a n (x c) n tilfredstiller en av følgende (i) konvergerer absolutt bare for x = c (ii) konvergerer absolutt for alle x R (iii) det finnes R R og R > 0 slik at rekka konvergerer absolutt for alle x slik at x c < R rekka divergerer for alle x slik at x c > R for x slik at x c = R kan rekka konvergere eller divergere Konvergensradie R kalles konvergensradie Man kan bruke kvotienttest for å finne konvergensradie til en potensrekke.
55 Operasjoner på rekker La n=0 a n x n og n=0 b n x n være konvergerende potensrekker med konvergensradii R a og R b, la c være en konstant da (i) n=0(ca n )x n = c n=0 a n x n konvergerer med konvergensradie R a
56 Operasjoner på rekker La n=0 a n x n og n=0 b n x n være konvergerende potensrekker med konvergensradii R a og R b, la c være en konstant da (i) n=0(ca n )x n = c n=0 a n x n konvergerer med konvergensradie R a (ii) (iii) n=0 (a n + b n )x n = a n x n + b n x n n=0 n=0 konvergerer med konvergensradie R = min{r a, R b } ( n=0 a n x n ) ( n=0 b n x n ) = c n x n n=0 konvergerer med konvergensradie R = min{r a, R b } og c n = a n b 0 + a n 1 b a 1 b n 1 + a 0 b n
57 Operasjoner på rekker La n=0 a n x n og n=0 b n x n være konvergerende potensrekker med konvergensradii R a og R b, la c være en konstant da (i) n=0(ca n )x n = c n=0 a n x n konvergerer med konvergensradie R a (ii) (iii) n=0 (a n + b n )x n = a n x n + b n x n n=0 n=0 konvergerer med konvergensradie R = min{r a, R b } ( n=0 a n x n ) ( n=0 b n x n ) = c n x n n=0 konvergerer med konvergensradie R = min{r a, R b } og c n = a n b 0 + a n 1 b a 1 b n 1 + a 0 b n Potensrekker som konvergerer kan også integreres og deriveres ledd for ledd og de beskriver kontinuerlige funksjoner der de konvergerer.
58 Forelesning , Kap 9.6 og 9.7 Taylor- og Maclaurinrekker Taylors teorem
TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010
TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010 Toke Meier Carlsen Institutt for matematiske fag 28. oktober 2010 2 Fremdriftplan I går 7.7 Uegentlige integraler 8.1 Følger I dag
Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 1. november 2011 Kapittel 8.3. Integrasjonstesten 3 Ikke-avtagende delsummer Husker at n-te delsum av
Velkommen til oversiktsforelesninger i Matematikk 1. med Jørgen Endal
Velkommen til oversiktsforelesninger i Matematikk 1 med Jørgen Endal Nytt tema: Følger, rekker, og potensrekker (kap. 9.1 9.7) Nytt tema: Følger, rekker, og potensrekker (kap. 9.1 9.7) Forelesning 1 (kap.
Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker
Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker Andreas Leopold Knutsen 14. februar 2012 Funksjonsrekker En rekke på formen fn(x) der fn er en funksjon, kalles en n=1 funksjonsrekke. For alle
Rekker, Konvergenstester og Feilestimat
NTNU December 8, 2012 Oversikt 1 2 3 4 5 6 For å forstå, må vi først forstå potensrekker For å forstå potensrekker, må vi først forstå rekker. For å forstå rekker, må vi først forstå følger. Definisjon
Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker
Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker Andreas Leopold Knutsen 15. februar 2010 Funksjonsrekker En rekke på formen f n (x) der f n er en funksjon, kalles en funksjonsrekke. For alle x
Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 1. november 2011 Kapittel 8.6. Alternerende rekker Absolutt og betinget konvergens 3 Alternerende rekker
MAT jan jan feb MAT Våren 2010
MAT 1012 Våren 2010 Mandag 25. januar 2010 Forelesning Vi fortsetter med å se på det bestemte integralet, bl.a. på hvordan vi kan bruke numeriske beregninger til å bestemme verdien når vi ikke nødvendigvis
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 1. november 2011 Kapittel 8.7. Potensrekker (fra konvergens av) 3 Konvergens av potensrekker Eksempel For
Løsningsforslag til Mat112 Obligatorisk Oppgave, våren Oppgave 1
Løsningsforslag til Mat2 Obligatorisk Oppgave, våren 206 Oppgave Avgjør om følgende rekker er konvergente: (a) n + n n + n + Løsning: rekken lim : n n + n n + n + Vi bruker grensesammenligningstesten mhp.
1 Mandag 1. februar 2010
Mandag. februar 200 I dag skal vi fortsette med rekkeutviklinger som vi begynte med forrige uke. Vi skal se på litt mer generell rekker og vurdere når de konvergerer, bl.a. gi et enkelt kriterium. Dette
= x lim n n 2 + 2n + 4
NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 20 Løsningsforslag - Øving Avsnitt 8.7 6 Potensrekken konvergerer opplagt for x = 0, så i drøftingen nedenfor antar vi x 0. Vi vil bruke forholdstesten
Uendelige rekker. Konvergens og konvergenskriterier
Uendelige rekker. Konvergens og konvergenskriterier : Et absolutt nødvendig, men ikke tilstrekkelig vilkår for konvergens er at: lim 0 Konvergens vha. delsummer :,.,,,. I motsatt fall divergerer rekka.
Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 26./28. november 2013
Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 26./28. november 2013 Forelesningene 26./28. november Disse forelesningene er et forsøk på å se de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 delvis
Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 16./17. november 2015
Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 16./17. november 2015 Forelesningene 17./18. november Denne forelesningen beskriver de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 noen tips for
Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 17./18. november 2014
Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 17./18. november 2014 Forelesningene 17./18. november Disse forelesningene er et forsøk på å se de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 delvis
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. november 2011 Kapittel 8.8. Taylorrekker og Maclaurinrekker 3 Taylor-polynomer Definisjon (Taylorpolynomet
Oversikt over Matematikk 1
1 Oversikt over Matematikk 1 Induksjon Grenser og kontinuitet Skjæringssetningen Eksistens av ekstrempunkt Elementære funksjoner Derivasjon Sekantsetningen Integrasjon Differensialligninger Kurver i planet
MAT Grublegruppen Uke 37
MAT00 - Grublegruppen Uke 37 Jørgen O. Lye Bemerkning: Mye av stoffet i dette notatet er å finne i Kalkulus, kapittel. Dette kapittelet er leselig etter man vet hva følger er, men er ikke pensum før i
1.1.1 Rekke med konstante ledd. En rekke med konstante ledd er gitt som. a n (1) n=m
Formelsamling og tabeller FO020E Matte 2000 for elektroprogrammet 1 Matematikk 1.1 Denisjoner av ulike typer polynomer og rekker 1.1.1 Rekke med konstante ledd En rekke med konstante ledd er gitt som a
Taylorpolynom (4.8) f en funksjon a et punkt i definisjonsmengden til f f (minst) n ganger deriverbar i a Da er Taylorpolynomet til f om a
Taylorpolynom (4.8) f en funksjon a et punkt i definisjonsmengden til f f (minst) n ganger deriverbar i a Da er Taylorpolynomet til f om a P n (x) = f (a) + f (a)(x a) + f (a) 2 (x a)2 + + f (n) (a) (x
Løsningsforslag eksamen 18/ MA1102
Løsningsforslag eksamen 8/5 009 MA0. Dette er en alternerende rekke, der leddene i størrelse går monotont mot null, så alternerenderekketesten gir oss konvergens. (Vi kan også vise konvergens ved å vise
Potensrekker. Binomialrekker
Potensrekker Potensrekker er rekker på formen: Potensrekker kan brukes på en rekke områder for å finne tilnærmede eller eksakte løsninger på problemer som ellers kanskje må løses numerisk eller krever
Løsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1
Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 6. juni 2014 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene
Løsningsforslag. Avgjør om følgende rekker konvergerer. Finn summen til de rekkene som konvergerer. a) 2 2n /3 n
Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Tirsdag. februar 203 kl. 0:30 Antall oppgaver: 9 Løsningsforslag Avgjør om følgende rekker konvergerer. Finn summen
UNIVERSITETET I BERGEN
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT - Grunnkurs i Matematikk II Torsdag 4. juni 05, kl. 09:00-4:00 Bokmål Tillatte hjelpemiddel: Enkel kalkulator i samsvar
Analysedrypp II: Kompletthet
Analysedrypp II: Kompletthet Kompletthet er et begrep som står sentralt i både MAT1100 og MAT1110, og som vil stå enda mer sentralt i MAT2400. I de tidligere kursene fremstår begrepet på litt forskjellig
Differensjalligninger av førsteorden
Differensjalligninger av førsteorden Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway November 2, 2014 Forelesning (29.10.2014): kap 7.9 og 18.3 Førsteordens ordinæredifferensjalligninger Initialverdiproblem
Løsningsforslag eksamen i TMA4100 Matematikk desember Side 1 av 7
Løsningsforslag eksamen i TMA4 Matematikk 2. desember 23. Side av 7 Oppgave Løs initialverdiproblemet y (2/x)y, y() 2. Løsning: y (2/x)y er en førsteordens lineær differensialligning. Vi finner en løsning
Finne løsninger på ligninger numerisk: Newton-Raphson metoden og Fikspunktiterasjon MAT111, høsten 2017
Finne løsninger på ligninger numerisk: Newton-Raphson metoden og Fikspunktiterasjon MAT111, høsten 2017 Andreas Leopold Knutsen 4. oktober 2017 Problem og hovedidé Problem: Finn løsning(er) r på en ligning
Matematikk 1. Oversiktsforelesning. Lars Sydnes November 25, Institutt for matematiske fag
Matematikk 1 Oversiktsforelesning Lars Sydnes sydnes@math.ntnu.no Institutt for matematiske fag November 25, 2009 LS (IMF) tma4100rep November 25, 2009 1 / 21 Matematikk 1 Hovedperson Relle funksjoner
SIF5003 Matematikk 1, 5. desember 2001 Løsningsforslag
SIF5003 Matematikk, 5. desember 200 Oppgave For den første grensen får vi et /-uttrykk, og bruker L Hôpitals regel markert ved =) : lim 0 + ln ln sin 0 + cos sin 0 + cos sin ) =. For den andre får vi et
Test, 2 Algebra. Innhold. 2.1 Tallfølger. R2, Algebra Quiz
Test, Algebra Innhold. Tallfølger.... Tallrekker.... Uendelige geometriske rekker... 7. Induksjonsbevis... 0 Grete Larsen. Tallfølger ) En rekursiv formel uttrykker et ledd i en tallfølge ved hjelp av
Generelle teoremer og definisjoner MA1102 Grunnkurs i analyse II - NTNU
Generelle teoremer og definisjoner MA110 Grunnkurs i analyse II - NTNU Lærebok: Kalkulus, Universitetsforlaget, 006, 3. utgave av Tom Lindstrøm Jonas Tjemsland 9. april 015 3 Komplekse tall 3.1 Regneregler
Velkommen til eksamenskurs i matematikk 1
Velkommen til eksamenskurs i matematikk 1 Haakon C. Bakka Institutt for matematiske fag 4.-5. desember 2010 Program I dag og i morgen skal vi holde på fra 10-16 med en pause fra 13-14. Vi skal gjennom:
Notater fra forelesning i MAT1100 mandag
Notater fra forelesning i MAT00 mandag 3.08.09 Amandip Sangha, amandips@math.uio.no 8. august 009 Følger og konvergens (seksjon 4.3 i Kalkulus) Definisjon.. En følge er en uendelig sekvens av tall {a,a,a
Flere anvendelser av derivasjon
Flere anvendelser av derivasjon Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 30, 2014 Forelesning 17.09.2014 Fikspunkt-iterasjon Newtons metode Metoder for å finne nullpunkter av funksjoner:
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 15. november 2011 Kapittel 8.9. Konvergens av Taylorrekker 3 i 3 i Løs likningen x 2 + 1 = 0 3 i Løs likningen
Oppsummering MA1101. Kristian Seip. 23. november 2017
Oppsummering MA1101 Kristian Seip 23. november 2017 Forelesningen 23. november Denne forelesningen beskriver de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i MA1101 noen tips for eksamensperioden
Taylor- og Maclaurin-rekker
Taylor- og Maclaurin-rekker Forelest: Okt, 004 Potensrekker er funksjoner Vi så at noen funksjoner vi kjenner på andre måter kan skrives som funksjoner, for eksempel: = + t + t + t 3 + + t n + t e x =
Den deriverte og derivasjonsregler
Den deriverte og derivasjonsregler Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 3, 2014 Tangenten til en funksjon i et punkt (kap. 2.1) Sekant til en funksjon gjennom to punkter 25 20 f(c+h)
Løsningsforslag Eksamen i MA1102/MA6102 Grunnkurs i analyse II 17/
Løsningsforslag Eksamen i MA0/MA60 Grunnkurs i analyse II 7/ 008 Oppgave y = y +, y(0) = 0 a) n n y n y = n y n + y = y y n+ 0 0 0 / / / / / 5/4 / 5/8 9/8 9/8 så Eulers metode med steglengde / gir oss
Mål og innhold i Matte 1
Mål og innhold i Institutt for matematiske fag 1. november 2013 Målet med denne oversikten er at vi skal se hvor vi er i pensum, og at du skal kunne finne hva du kan/ikke kan. Jeg vil i tillegg vise hva
Trasendentale funksjoner
Trasendentale funksjoner Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 9, 2014 Kap. 3.1 og 3.2. Forelesning 8. September. Inverse funksjoner, definisjon og eksistens Deriverte av inverse
Løsningsforslag til Eksamen i MAT111
Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bergen, 9. desember 25. Bokmål Løsningsforslag til Eksamen i MAT Mandag 9. desember 25, kl. 9-. Dette er kun et løsningsforslag. Oppgave a) Betrakt de to komplekse
Forelesning Matematikk 4N
Forelesning Matematikk 4N Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. september 2006 2 Den høyrederiverte og venstrederiverte Definisjon Den høyrederiverte til en funksjon f(x) i punktet x er
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT111 Prøveeksamen Eksamensdag: 5. juni 21. Tid for eksamen: 1. 13.3. Oppgavesettet er på 9 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:
Arne B. Sletsjøe. Kompendium, MAT 1012
Arne B. Sletsjøe Kompendium, MAT 2 Forord Dette kompendiet dekker analysedelen av pensum i kurset MAT 2 ved Universitetet i Oslo. Kurset bygger på MAT og legger mer vekt på anvendelser av teorien enn på
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT Kalkulus og lineær algebra Eksamensdag: Onsdag 9 mai 9 Tid for eksamen: 4:3 8:3 Oppgavesettet er på 7 sider Vedlegg: Tillatte
Løsningsforslag Eksamen M100 Høsten 1998
Løsningsforslag Eksamen M00 Høsten 998 Oppgave { x y = f(x) = + x + a hvis x ln( + x ) x hvis < x lim f(x) = f( ) = + a = a x lim f(x) = ln( + x ( ) ) ( ) = ln + For at f(x) skal være kont. i x = må lim
Matematikk 1 (TMA4100)
Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 6: Derivasjon Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 22. august, 2012 Stigningstallet i et punkt Stigningstallet i et punkt Vi vender nå tilbake til problemet med å finne
Biseksjonsmetoden. biseksjonsmetode. Den første og enkleste iterativ metode for ikke lineære likninger er den så kalt
Biseksjonsmetoden Den første og enkleste iterativ metode for ikke lineære likninger er den så kalt biseksjonsmetode. Gitt en intervall [a, b] hvor f skifter fortegn, vi halverer [a, b] = [a, b + a 2 ]
Velkommen til oversiktsforelesninger i Matematikk 1. med Jørgen Endal
Velkomme til oversiktsforelesiger i Matematikk 1 med Jørge Edal Følger, rekker, og potesrekker (kap. 9.1 9.7) Forelesig 2 (kap. 9.3 9.4) Dages økkelbegrep: Sammeligigsteste Gresesammeligigsteste Forholdsteste
Mål og innhold i Matte 1
Mål og innhold i Institutt for matematiske fag 15. november 2013 på Målet med denne oversikten er at vi skal se hvor vi er i pensum, og at du skal kunne finne hva du kan/ikke kan. Jeg vil i tillegg vise
n=0 n=1 n + 1 Vi får derfor at summen er lik 1/2. c)
Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 204 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene
Høgskolen i Agder Avdeling for realfag EKSAMEN
Høgskolen i Agder Avdeling for realfag EKSAMEN Emnekode: MA 40 Emnenavn: Analyse Dato: 9. desember 999 Varighet: 09.00-5.00 Antall sider inklusivt forside: Tillatte hjelpemidler: Merknader: 2 Alle, også
Matematikk 1 (TMA4100)
Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 4: Grenseverdi (fortsettelse) Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 20. august, 2012 Formell definisjon av grenseverdi Formell definisjon av grenseverdi Uformell definisjon
Mål og innhold i Matte 1
Mål og innhold i Institutt for matematiske fag på 19. oktober 2013 Målet med denne oversikten er at vi skal se hvor vi er i pensum, og at du skal kunne finne hva du kan/ikke kan. Jeg vil i tillegg vise
Eksamen i emnet MAT111/M100 - Grunnkurs i matematikk I Mandag 15. desember 2003, kl. 09-13(15) LØYSINGSFORSLAG OPPGÅVE 2:
Eksamen i emnet MAT/M00 - Grunnkurs i matematikk I Mandag 5. desember 2003, kl. 09-3(5) LØYSINGSFORSLAG Finn dei deriverte til i) f(x) = x 2 ln x OPPGÅVE : exp(u 2 )du, x, ii) f(x) = x cos(x). i) d x 2
Løsningsforslag: Eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I
Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bergen, 8. desember 006. Bokmål Løsningsforslag: Eksamen i MAT - Grunnkurs i Matematikk I Mandag desember 8, 006, kl. 09-4. Oppgave Gitt funksjonen f(x) = ln(
Fasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 15/11-19/11
Fasit til utvalgte oppgaver MAT uka 5/-9/ Øyvind Ryan oyvindry@ifi.uio.no) November Oppgave 9.. Vi skriver 5x 5 x )x ) A x B x og ser at vi må løse likningene Ax ) Bx ) x )x ) A B 5 A B 5. A B)x A B x
Eksamensoppgave i MA1101 Grunnkurs i analyse
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA1101 Grunnkurs i analyse Faglig kontakt under eksamen: Kari Hag Tlf: 48 30 19 88 Eksamensdato: 15. oktober 018 Eksamenstid (fra til): 17:30 19:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte
MAT jan jan jan MAT Våren 2010
MAT 1012 Våren 2010 Mandag 18. januar 2010 Forelesning I denne første forelesningen skal vi friske opp litt rundt funksjoner i en variabel, se på hvordan de vokser/avtar, studere kritiske punkter og beskrive
Analysedrypp IV: Metriske rom
Analysedrypp IV: Metriske rom Vi har tidligere sett at begreper som konvergens og kontinuitet har med avstand å gjøre at f er kontinuerlig i punktet a, betyr f. eks. at det for enhver ɛ > 0, finnes en
TMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven
TMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven 10.10.09 Lars Sydnes sydnes@math.ntnu.no Institutt for matematiske fag October 1, 2009 L.S. (NTNU) TMA4100: Oversikt October 1, 2009 1 / 20 Kapittel 1: Funksjoner.
SIF5003 Matematikk 1, 6. desember 2000 Løsningsforslag
SIF53 Matematikk 1, 6. desember 2 Oppgave 1 Dreid om y aksen: iv). Dreid om x = 1: iii). Oppgave 2 Om bredden på rektanglet er 2x og høyden er y finner vi for det ukjente arealet A og den kjente omkretsen
Goodwillie Kalkulus. Bjørn Ian Dundas. August 28, Goodwillie Kalkulus. Bjørn Ian Dundas. Introduksjon. Oversettelse.
August 28, 2007 vs voksende Rekursiv I MAT101/111 lærer vi om f : R R og hvordan vi deriverer dem (gitt at det er mulig). vs voksende Rekursiv I MAT101/111 lærer vi om f : R R og hvordan vi deriverer dem
Løsning ved iterasjon
Løsning ved iterasjon Arne Morten Kvarving Department of Mathematical Sciences Norwegian University of Science and Technology 17. September 2009 Problem Gitt problemet f (x) = 0 for en eller annen funksjon
f =< 2x + z/x, 2y, 4z + ln(x) >.
MA 40: Analyse Uke 48, 00 http://home.hia.no/ aasvaldl/ma40 H0 Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave.5: 5. Vi har gitt funksjon f(x, y) = x + y z + z ln(x) og punkt
MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA112 Grunnkurs i analyse II Vår 219 8.4.1 Vi skal finne lengden til kurven x = 3t 2, y = 2t 3 der t 1. Som boka beskriver på
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Eksamen i MAT111 Grunnkurs i matematikk I Løsningsforslag
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT Grunnkurs i matematikk I Løsningsforslag Onsdag 9. mai, kl. 9. 4. Bokmål Oppgave a) La R være området mellom kurvene Finn
Ekstremverdier Mellomverdisatsen Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Ekstremverdier Mellomverdisatsen Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 9. september 2011 Kapittel 4.1. Funksjoners ekseremverdier fra og med lokale ekstrema
Ikke lineære likninger
Ikke lineære likninger Opp til nå har vi studert lineære likninger og lineære likningsystemer. 1/19 Ax = b Ax b = 0. I en dimensjon, lineære likninger kan alltid løses ved hjelp av formler: ax + b = 0
1 Mandag 25. januar 2010
Mndg 5. jnur Vi fortsetter med å se på det bestemte integrlet, bl.. på hvordn vi kn bruke numeriske beregninger til å bestemme verdien når vi ikke nødvendigvis kn finne en nti-derivert. Videre skl vi t
En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x).
Funksjoner En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x). Mengden D kalles definisjonsmengden (eng.: domain) til f. Merknad Dersom
TMA4100 Matematikk1 Høst 2009
TMA400 Matematikk Høst 2009 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 2 8926 Vi serieutvikler eksponentialfunksjonen e u om u 0 og får e u + u +
LP. Kap. 17: indrepunktsmetoder
LP. Kap. 17: indrepunktsmetoder simpleksalgoritmen går langs randen av polyedret P av tillatte løsninger et alternativ er indrepunktsmetoder de finner en vei i det indre av P fram til en optimal løsning
Alternerende rekker og absolutt konvergens
Alternerende rekker og absolutt konvergens Forelest: 0. Sept, 2004 Sst forelesnng så v på rekker der alle termene var postve. Mange av de kraftgste metodene er utvklet for akkurat den typen rekker. I denne
2 3 2 t der parameteren t kan være et vilkårlig reelt tall. i) Finn determinanten til M. M =
Oppgave a) Løs likningssystemet x + 3x + x 3 = x + x 3 = 0 3x + x + 3x 3 = 8 Svar: Rekkereduksjon av totalmatrisen gir 0 0 0 0 7 0 0 0 0 Det betyr at løsningen er gitt ved x +x 3 = 0, x = 7 og x 3 en fri
Oblig 1 - vår 2015 MAT1012
Oblig 1 - vår 15 MAT11 MARI RØYSHEIM University of Oslo, Department of Physics 17. februar 15 Med forbehold om trykkfeil og andre feil! Oppgave 1 a) Vi skal finne det bestemte integralet, og bruker substitusjon.
Institutionen för Matematik, KTH
Institutionen för Matematik, KTH Lösningsforslag till tentamen, 200-2-7, kl. 8.00-.00. 5B04, Envariabel. Uppgift. Den karakteristiske ligningen r 2 r + 2 0 kan omskrives som (r )(r 2) 0. Den generelle
UNIVERSITETET I BERGEN
Bokmål UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Løsningsforslag til Eksamen i emnet MAT - Grunnkurs i matematikk I Torsdag 22. mai 28, kl. 9-4. Dette er kun et løsningsforslag.
Matematikk 1 (TMA4100)
Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 7: Derivasjon (fortsettelse) Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 23. august, 2012 Den deriverte som momentan endringsrate Den deriverte som momentan endringsrate Repetisjon
Eksamen R2, Høst 2012
Eksamen R, Høst 01 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Deriver funksjonene a) x cos f x e x b) 3 g x 5 1 sinx Oppgave
Grunnleggende notasjon ℕ = 1, 2, 3, 4, 5, 6, ℤ =, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,
Grunnleggende notasjon ℕ,, 3, 4, 5, 6, ℤ, 3,,, 0,,, 3, ℝ 𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑟𝑒𝑒𝑙𝑒 𝑡𝑎𝑙𝑙 ℚ 𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑟𝑎𝑠𝑗𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒 𝑡𝑎𝑙𝑙 𝑎 𝑎, ℤ, 0 Induksjonsprinsippet Anta at for hver 𝑛 ℕ har vi gitt et utsagn 𝑃. Anta videre at vi vet at følgende
OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 39. Oppgaver til seminaret 29/9
OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 39 Avsnitt 3.1: 9, 23, 34 Avsnitt 3.3: 48, 61 Avsnitt 3.4: 1, 2, 9 På settet: S.1 Oppgaver til seminaret 29/9 Oppgaver til gruppene uke 40 Løs disse først så disse Mer dybde
Newtons metode. Gitt f(x) slik at f(a)f(b) < 0, Newtons metode genererer en følge {x k }, hvor. (Newton Raphson) x k+1 = x k f(x k) f (x k )
Newtons metode 1/15 Gitt f(x) slik at f(a)f(b) < 0, Newtons metode genererer en følge {x k }, hvor x k+1 = x k f(x k) f (x k ) x 0 [a, b] gitt. (Newton Raphson) y=f(x) x k+1 x k Konvergens: Iterasjons
MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2014
Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA Grunnkurs i analyse II Vår 4 Løsningsforslag Øving 9 7.3.b Med f() = tan +, så er f () = cos () på intervallet ( π/, π/).
Prøveeksamen i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag
Prøveeksamen i MAT, H- Løsningsforslag. Integralet cos x dx er lik: +sin x Riktig svar: c) arctan(sin x) + C. Begrunnelse: Sett u = sin x, da er du = cos x dx og vi får: cos x + sin x dx = du du = arctan
Arne B. Sletsjøe. Oppgaver, MAT 1012
Arne B. Sletsjøe Oppgaver, MAT 101 1 En-variabel kalkulus 1.1 I de følgende oppgavene, i) finn alle kritiske punkter til f(x), ii) beskriv monotoniegenskapene til funksjonene ved å se på fortegnet til
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 11 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 11 Transcendentale funksjoner Vi begynner nå på temaet transcendentale funksjoner. I dagens forelesning
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Teknostart Forelesning 3 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Teknostart Forelesning 3 Tema Logikk Definisjoner og Teoremer Mengder og Egenskaper ved de Reelle Tall
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 9 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 9 Derivasjon I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 Tilnærminger til små endringer. 2 Vekstfart.
Løsningsforslag, Ma-2610, 18. februar 2004
Løsningsforslag, Ma-60, 8. februar 004 For sensor og kandidater.. Lineær uavhengighet Avgjør hvorvidt de følgende funksjonene er lineært uavhengige på den reelle tallinja: f(x) x g(x) 3x h(x) 5x 8x Svaralternativ
Figur 1: Volumet vi er ute etter ligger innenfor de blå linjene. Planet som de røde linjene ligger i deler volumet opp i to pyramider.
TMA415 Matematikk Vår 15 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Esse alculus: A omplete ourse. 5 Eercise 14.1.6
Eksamen R2, Høst 2012, løsning
Eksamen R, Høst 0, løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave ( poeng) Deriver funksjonene a) cos f e Vi bruker produktregelen
x 3 x x3 x 0 3! x2 + O(x 7 ) = lim 1 = lim Denne oppgaven kan også løses ved hjelp av l Hôpitals regel, men denne må da anvendes tre ganger.
TMA400 Høst 0 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag 4..4 Vi bruker Taylor-polynom til å løse denne oppgaven. Taylor-polynomet Maclaurinpolynomet til sin x om x =
LEDDVIS INTEGRASJON OG DERIVASJON AV POTENSREKKER: a n x n. R > 0, med summen s(x). Da gjelder: a n n + 1 xn+1 for hver x < R.
LEDDVIS INTEGRASJON OG DERIVASJON AV POTENSREKKER: Vi ntr t potensrekken konvergerer i ] R, R[, n x n R >, med summen s(x). D gjelder: s (x) = n n x n 1 for hver x < R, og s(t)dt = n n + 1 xn+1 for hver
TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk Høst 24 Løsningsforslag Øving 9 4.3.4 Vi bruker Taylor-polynom til å løse denne oppgaven. Taylor-polynomet (Maclaurinpolynomet)
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA400 Matematikk, høst 203 Forelesning 2 www.ntnu.no TMA400 Matematikk, høst 203, Forelesning 2 Transcendentale funksjoner I dagens forelesning skal vi se på følgende: Den naturlige logaritmen. 2 Eksponensialfunksjoner.