Eksamen R2, Høst 2012, løsning

Transkript

1 Eksamen R, Høst 0, løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave ( poeng) Deriver funksjonene a) cos f e Vi bruker produktregelen for derivasjon. cos sin cos sin f e e e uv u v uv der u e og v cos b) g 5sin Vi bruker kjerneregelen. 5 5 sin cos 5cos sin g u 5h u u der h u u og u sin g u u u g Oppgave ( poeng) Bestem integralene a) cos sin d Vi bruker metoden med variabelskifte. du du u d u d d cos cos der sin cos cos 4 4 du u sin u u du C C cos 4 4 Eksamen REA04 Matematikk R høst 0 Side av 8

2 e b) lnd Vi bruker delvis integrasjon og finner først det ubestemte integralet. ln d ln d ln d ln C Det bestemte integralet blir: e ln d ln e lne e ln e e e 4 4 e 4 e Oppgave (4 poeng) Vi har gitt punktene A,,, B,, 5 og C, 7,. a) Undersøk om ABC er rettvinklet. Vi bruker definisjonen til skalarproduktet og undersøker. Vi velger først å finne AB, AC, CA, BC og CB., 0, 4,, 6,,, 6,,, 6, og, 6, AB AC BC CA CB AB AC, 0, 4, 6, Fra definisjonen til skalarproduktet betyr dette svaret at vinkelen mellom sidene AB og AC ikke er rettvinklet. ABBC, 0, 4, 6, Fra definisjonen til skalarproduktet betyr dette svaret at vinkelen mellom sidene AB og BC ikke er rettvinklet. CACB, 6,, 6, Fra definisjonen til skalarproduktet betyr dette svaret at vinkelen mellom sidene CA er rettvinklet. og CB ikke Vi har funnet ABC at ikke er rettvinklet. Eksamen REA04 Matematikk R høst 0 Side av 8

3 b) Bestem koordinatene til et punkt D slik at ABCD blir et parallellogram. Vi har da at AD BC eller AB DC AB DC, 0, 4, 7 y, z 0 7 y 4 z y 7 z Koordinatene til D, 7, Oppgave 4 (4 poeng) Vi har gitt differensiallikningen y y 0 der y er en funksjon av a) Vis at y Ce Ce er en løsning av differensiallikningen, når C og C er konstanter. Vi finner først den karakteristiske likningen. Den karakteristiske likningen blir r 0. Løser likningen r r Den generelle løsningen når den karakteristiske likningen har to reelle løsninger er gitt ved y C e C e A B r r A B der og er løsninger av likningen 0 Vi har dermed y Ce Ce b) Bestem C C y y y0 5 gir og når 0 5 og 0 C e C e 0 0 C C 5 5 Vi finner y. yce Ce y0 gir C e Videre gir dette og C e 0 0 C C C C C C 5 C C 5 C 6 C C Vi kan da skrive y e e Eksamen REA04 Matematikk R høst 0 Side av 8

4 Oppgave 5 ( poeng) Vi har gitt den uendelige rekken 9 7 Forklar at rekken konvergerer, og bestem summen av rekken. a Vi finner først kvotienten til rekken: a 9 a 4 7 a a a 9 Dette er en uendelig geometrisk rekke med kvotient, k. Vi vet at rekken vil konvergere når k. Det betyr at rekken konvergerer. a Summen av rekken er gitt ved S, der a er første ledd i rekken. k Summen av rekken er S Oppgave 6 ( poeng) En periodisk funksjon f er gitt på formen sin f a c d Grafen til f går gjennom punktet A 0, 5. Den har bunnpunkt i B, og toppunkt i T Det er ingen andre ekstremalpunkter i intervallet, 5. 5, 8. Bestem verdier for konstantene a, c, og d. fmaks fmin 8 Likevektslinja d 5 fmaks fmin 8 Amplituden a (utslag fra likevektslinja, absoluttverdi) er, a Grafen har et bunnpunkt for og et toppunkt for 5. Vi får også opplyst at det ikke er andre ekstremalpunkter i intervallet, 5. Perioden til f er dermed 5 4 Konstanten c er gitt ved: c periode 4 Grafen ovenfor har funksjonsuttrykket sin 5 Grafen til funksjonen skjærer likevektslinja og er voksende for 0. Det gir 0. Vi får da uttrykket sin 5 Eksamen REA04 Matematikk R høst 0 Side 4 av 8

5 Oppgave 7 ( poeng) Vi har gitt funksjonen f e a) Bestem eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f. Vi deriverer f og finner eventuelle topp-/ bunnpunkter ved å sette f 0. f e e e f 0 e 0 0 f e e det betyr at grafen synker for 0 det betyr at grafen stiger for 0 f e e det betyr at grafen synker for f e e Grafen til f har et bunnpunkt i 0 0, f0 0, 0 e 0, 0 Grafen til f har et toppunkt i 4,,, 4 0, e f e e b) Tegn en skisse av grafen til f. Vi tegner en skisse av grafen ved å bruke opplysningene vi fant i oppgave a). Vi vet at grafen har et bunnpunkt i 0, 0 og et toppunkt i 4,. Når e, vil 0 f. Eksamen REA04 Matematikk R høst 0 Side 5 av 8

6 Oppgave 8 ( poeng) Bevis påstanden ved induksjon n 5 n n Pn: nn, n Trinn, Induksjonsgrunnlaget Vi skal vise at formelen gjelder for n. Bevis Når n, har vi kun et ledd på venstre side. Venstre side Høyre side 4 Formelen gjelder for n. Trinn, Induksjonstrinnet Vi antar at formelen gjelder for n t. Vi har da at t t t t Vi må vise at formelen gjelder for nt. Vi må altså vise at t t t t t t t t 6 Bevis t t t t t 4 t t t t t t t t t t t t 5 t 4 t t 8t t t t 6 Vi har dermed vist at formelen gjelder for nt. I følge induksjonsprinsippet gjelder formelen da for alle verdier av n. Eksamen REA04 Matematikk R høst 0 Side 6 av 8

7 Tid: timer Hjelpemidler: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave (7 poeng) En funksjon er gitt ved 8 sin f e a) Tegn grafen til f, og bestem eventuelle null-, topp-, bunn- og vendepunkter når 0,. Vi tegner grafen til f ved i GeoGebra. Vi finner eventuelle topp- og bunnpunkt ved å bruke kommandoen Ekstremalpunkt[funksjon, start, slutt]. Vi ser grafisk at f har ett nullpunkt, grafen skjærer -aksen, i sitt definisjonsområde. Nullpunktet er Vi finner et toppunkt i 0.55, 4. og et bunnpunkt i., 0.86 For å finner vendepunktene til f tegner vi der grafen til bunnpunkt vil grafen til f ha eventuelle vendepunkt, se blå graf ovenfor., se rød graf ovenfor. f. Vi vet at der f har topp- og Vi finner vendepunkter i., f..,. og i.68, f.68.68, 0.44 Eksamen REA04 Matematikk R høst 0 Side 7 av 8

8 I en formelsamling for matematikk finner vi formelen b) Bruk formelen til å bestemme f d Kontroller svaret ved derivasjon. 8e 8 8e sin d 8e sin d sin cos C e sin cos C 5 Bruker CAS og kontrollerer svaret ved derivasjon c) Bestem det samlede arealet av områdene som er avgrenset av aksen og grafen til f når 0,. Vi finner først nullpunktene til f ved kommandoen «NullpunktIntervall [ <Funksjon>, <Start>, <Slutt> ]» i GeoGebra. Vi finner at f har nullpunkt for 0, og, se graf til høyre. Beregner integralet mellom nullpunktene og finner dermed arealet avgrenset av aksen og grafen til f i området 0,. Finner integralet ved å bruke kommandoen «Integral [ <Funksjon>, <Start>, <Slutt> ]» Samlet areal blir,87 0,8 4,67 Eksamen REA04 Matematikk R høst 0 Side 8 av 8

9 Oppgave (6 poeng) Farten v til en sprinter måles i meter per sekund og er en funksjon av tiden t. Tiden t er målt i sekunder etter start. Farten v er en løsning av differensiallikningen v,0,5 v a) Løs differensiallikningen og bestem vt når du får vite at v0 0. Vi velger å bruke CAS i GeoGebra for å løse likningen. Den generelle løsningen blir v 0,4 Ce Vi har at v0 0. Det gir 0 0,4Ce 0C 0,4,5t Dermed er v 0,4 0,4e 0,4 e,5 t,5t Eksamen REA04 Matematikk R høst 0 Side 9 av 8

10 b) Strekningen s måles i meter og er definert ved s v og s 0 0 Bestem en formel for st. Vi finner først st. Vi vet at s t v og finner da st ved integrasjon.,5,5 ( ) 0,4 0,4,5 t s t v t dt e dt t e C S0 0 gir,5 s 0 0,50 0,4 0 e C 0,5t st 0,4 t e 9,07,5 0,4 C,5 C 9,07 c) Hvor lang tid vil sprinteren bruke på 00 m, ifølge modellen ovenfor? Vi løser likningen st 00 ved hjelp av CAS i GeoGebra. Sprinteren vil bruke ca. 0,46 sekunder på 00 m etter denne formelen Her kunne vi også ha tegnet grafen til st og funnet løsningen, se graf nedenfor. Eksamen REA04 Matematikk R høst 0 Side 0 av 8

11 Oppgave (8 poeng) Gitt vektorene a, b og c. Ingen av vektorene er 0. a) Forklar hvordan vektorene ligger i forhold til hverandre ) når ab 0 ) når ab 0 ) når abc 0 ) Definisjonen av skalarproduktet a b a b cos a, b gir at vinkelen mellom vektorene må være 90 når ab 0 og ingen av vektorene er 0. Vi har at cos90 0. Vektorene står altså normalt på hverandre. ) Definisjonen av vektorproduktet a b a b sin a, b gir at vinkelen mellom vektorene må være 0 eller 80når ab 0 og ingen av vektorene er 0. Vi har at sin0 0 og sin80 0. Vektorene er altså parallelle ensrettet 0 eller motsatte 80. ) Dersom b og c er parallelle, altså at vinkelen mellom dem er 0 eller 80, er b c 0 og skalarproduktet med a blir 0 for alle vektorer a. I dette tilfellet sier altså likningen a b 0 a ingenting om vektoren a, som kan være hvilken som helst vektor. Er derimot b og c ikke parallelle, finnes det et plan som er parallelt med både b og c og som har n bc som normalvektor. Vi har da an 0 og a er vinkelrett på n, altså parallell med planet. (Om vi vil, kan vi da parallellforskyve alle vektorene a, b og finnes entydige reelle tall c og c slik at a cb cc.) c slik at de alle ligger i planet og det vil b) Bruk definisjonen av ab og a b til å vise ab ab = a b sin, cos, sin, cos, sin, cos, ab ab = a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b sin a, b cos a, b Eksamen REA04 Matematikk R høst 0 Side av 8

12 Eksamen REA04 Matematikk R høst 0 Side av 8

13 c) Skisse viser en trekant utspent av vektorene a og b. Forklar at arealet F av trekanten er F a b a b Kommenter hvert av de to tilfellene ab 0 og ab 0. Det betyr at F ab Vi bruker det vi har fra oppgave b). Arealsetningen gir F a b sin a, b ab ab a b ab a b ab ab a b ab ab a b ab ab a b ab Vi har at arealet F av en trekant utspent av to vektorer er gitt ved F ab Det betyr at arealet F kan skrives som F ab a b ab Når ab 0, står vektorene vinkelrett på hverandre. Trekanten blir da rettvinklet og vi får størst mulig areal. Når ab 0, er vektorene parallelle. Arealet blir 0. d) Bruk uttrykket i oppgave c) til å regne ut arealet av ABC i skisse.,, 4,,,, 5, 0, 4 AB AC Bruker uttrykket fra oppgave c) og løser ved hjelp av CAS-verktøyet i GeoGebra. Arealet av trekanten blir 4,58 Eksamen REA04 Matematikk R høst 0 Side av 8

14 Oppgave 4 (4 poeng) Vi har gitt rekken 5 n a) Bestem et uttrykk for summen S n av de n første leddene, og bestem hvor mange ledd vi må ta med for at S n skal bli 600. Dette er en aritmetisk rekke med differanse, d. n a a n n Summen S n av rekken er gitt ved Sn n n n n Antall ledd for at summen skal bli 600 blir n 600 n 40 En uendelig rekke er gitt ved 4 8 b) Forklar at dette er en konvergent, geometrisk rekke. Bestem summen av rekken. Vi finner først kvotienten, k, til rekken: a 4 a 6 a k k k 4 64 a 4 a 4 a Dette er en geometrisk rekke med kvotienten k. 4 Vi vet at når kvotienten k, så konvergerer rekken. a Summen av en uendelig geometrisk rekke er gitt ved S k 4 Vi får da S 4 4 Eksamen REA04 Matematikk R høst 0 Side 4 av 8

15 Oppgave 5 (4 poeng) En såkalt ellipse med sentrum i origo O er gitt ved likningen y a b Hvis vi dreier øvre halvdel av ellipsen 60 om aksen, får vi et omdreiningslegeme som vi kaller en ellipsoide. a) Vis at likningen for ellipsen kan omformes til y a b y b a b b y b a b y b a y b b a b) Bruk integrasjon for å vise at formelen for volumet av ellipsoiden er b Fra a) har vi at likningen for ellipsen kan omformes til y b a b Videre har vi da at y b a Vi har at volumet av et omdreiningslegeme er gitt ved Det betyr at vi kan finne volumet av ellipsoden ved å sette f Vi velger å bruke CAS- verktøyet i GeoGebra. Vi bruker kommandoen integral[funksjon, variabel, start, slutt] d a a y d 4 ab. Eksamen REA04 Matematikk R høst 0 Side 5 av 8

16 Oppgave 6 (6 poeng) Skissen ovenfor viser grafen til funksjonene f gitt ved f På skissen er det også tegnet inn tangenten til grafen i punktet P a, f a. a) Vis at likningen til tangenten er a 4 y a a Bestem koordinatene til punktene A, B og C på figuren. Likningen for tangenten er gitt ved y y a Vi finner a f ved å bruke CAS i GeoGebra som gir y f a f a a y a a a a a a y a a a a a y a a a 4 y a a Eksamen REA04 Matematikk R høst 0 Side 6 av 8

17 Finner koordinatene til A ved å løse likningen y 0 ved hjelp av CAS-verktøyet i GeoGebra. Koordinatene til punktet A er 4 a,0 Finner koordinatene til B ved å løse likningen f Koordinatene til punktet B er,0 Koordinatene til punktet C er gitt i oppgaven, dvs. a,0 b) Vis at arealet av området som er avgrenset av grafen til f og aksen fra Btil C er a Integrasjon i GeoGebra gir oss trekker sammen a a a a 4 a a Bestem også arealet av ACP Dette er en rettvinklet trekant, og arealet blir 4 4 a a f a a a a a a Eksamen REA04 Matematikk R høst 0 Side 7 av 8

18 c) Grafen til f deler ACP i to områder. Vis at arealet til det ene området er dobbelt så stort som arealet til det andre. Finner arealet av område ABP ved å ta arealet av trekanten ACP minus arealet av område BCP. a a a Vi ser at arealet av området ABP er halvparten av området BCP. Eksamen REA04 Matematikk R høst 0 Side 8 av 8