Eksamen REA3022 R1, Våren 2011

Transkript

1 Eksamen REA30 R1, Våren 011 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (18 poeng) er a) Vis at den deriverte til funksjonen O O O O b) Deriver funksjonene 1) f 3ln 1 3 f 3 ) g 3 e 3 e 3 e 3e 1 g f c) Vi har gitt polynomfunksjonen 3 1) Vis at f 1 0. Bruk polynomdivisjon til å faktorisere f i førstegradsfaktorer. 3 f Eksamen REA30 Matematikk R1, Våren 011 Side 1

2 Siden opp. f 1 0, er 1 en faktor i f, og polynomdivisjonen : : f vil gå Vi har da at f Vi bruker så nullpunktmetoden til å faktorisere likningen og starter med å løse ( ) ( ) 4 1 ( 15) Da er f og ) Løs ulikheten f f Av det faktoriserte uttrykket ser vi at f 0, for 3, 1 og 5. Det er bare for disse verdiene av at uttrykket kan skifte fortegn. Vi undersøker hvilket fortegn f har i hvert av de fire intervallene, 3, 3,1, 1,5 og 5,. Vi bruker det faktoriserte uttrykket. Eksamen REA30 Matematikk R1, Våren 011 Side

3 For 10 får vi For 0 får vi For 3 får vi For får vi For å få en oversikt setter vi opp et fortegnsskjema. f 0 for, 3 1,5 Eksamen REA30 Matematikk R1, Våren 011 Side 3

4 d) Mengden av lava som spruter ut per time ved et vulkanutbrudd, kan tilnærmet beskrives ved funksjonsuttrykket begynnelsen av utbruddet. ft. Funksjonsverdiene er målt i tonn, og t er antall timer etter Du får vite at: f 0 300, f10 0 og f Hva kan du si om vulkanutbruddet på grunnlag av disse opplysningene? f Ved begynnelsen av utbruddet spruter det ut 300 tonn lava per time. f10 0 og f Ti timer etter at utbruddet startet er den deriverte lik null og den dobbeltderiverte er negativ. Siden den dobbeltderiverte er negativ, vil grafen til f vende hul side ned. Når den deriverte er lik null, vil grafen da ha et toppunkt. Det betyr at vulkanen spruter ut mest lava ti timer etter at utbruddet startet. e) Skriv så enkelt som mulig a b a b lg lg lg a 3 b a lga b lgab lg lga lg b lga lg b lga lg b b lga lg b lga lg b lga 3lg b 4lga 3 3 f) Skriv så enkelt som mulig Eksamen REA30 Matematikk R1, Våren 011 Side 4

5 g) En linje l har parameterframstillingen 1t l : y t Et punkt P 4,1 ligger utenfor linjen. Regn ut avstanden fra P til linjen l. Avstanden fra et punkt til en linje, er korteste avstand fra punktet til linjen, dvs. lengden av normalen fra punktet på linjen. En retningsvektor for linjen l er r,1 Et punkt A på linjen har koordinatene 1 t, t 1 4, 1 3, 1 PA t t t t Vi må nå bestemme t slik at PA r. Vi bruker at PA r PAr 0 l l l l PAr l 0 3, 1,1 0 t t t t t 6 t1 0 5t 5 t 1 Da har vi 3, 1 1 3,1 1 1, PA t t PA 1 5 Avstanden fra P til l er 5. Eksamen REA30 Matematikk R1, Våren 011 Side 5

6 h) Et linjestykke AB har lengde 10 cm. Konstruer en ABC der C 90 og AC 7cm 1) Jeg avsatte linjestykket AB 10 cm. ) Jeg konstruerte midtnormalen til AB. 3) Jeg konstruerte en halvsirkel med sentrum i midtpunktet på AB og radius AB. 4) Jeg slo en sirkelbue med avstand 7 cm fra A. C er skjæringspunktet mellom denne buen og halvsirkelen fra 3). 5) Jeg trakk opp linjestykkene AC og BC. Eksamen REA30 Matematikk R1, Våren 011 Side 6

7 Oppgave (6 poeng) I en ABC er A 90. En sirkel med sentrum i S er innskrevet i trekanten. Sidene AC og BC tangerer sirkelen i punktene D og E. Linjen gjennom B og S skjærer DE i F. Se skissen til høyre. Du får oppgitt at DC EC. Vi setter ABC v, BCA u og BFE u a) Forklar at uv 90 og at DEC 90 Jeg ser på ABC. Vinkelsummen i en trekant er 180. Siden A 90, er da uv 90. Jeg ser på CDE. Siden DC EC, er trekanten likebeint og DEC EDC. Vinkelsummen er u u og DEC EDC 90 v u b) Forklar at FBE og at BEF 90 Sentrum S i den innskrevne sirkelen er skjæringspunktet mellom vinkelhalveringslinjene til v vinklene i ABC. BS halverer ABC og FBE. BEF DEC 180 BEF 180 DEC u u 90 Eksamen REA30 Matematikk R1, Våren 011 Side 7

8 c) Vis at 45 Jeg ser på BEF. Vinkelsummen i en trekant er 180. Jeg bruker resultatene fra a) og b). FBE BEF 180 v u v u u v Eksamen REA30 Matematikk R1, Våren 011 Side 8

9 Del Tid: 3 timer Hjelpemidler: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave 3 (7 poeng) Vi har et rett prisme der lengden av grunnflaten er fire ganger så stor som bredden. Volumet er 00 cm 3. Vi setter bredden lik cm. Se skissen. 50 a) Vis at h Volumet av et rett prisme erlengde bredde høyde. Vi får da at 4 h h 4 50 h b) Vis at overflaten O av prismet kan skrives O O h h Eksamen REA30 Matematikk R1, Våren 011 Side 9

10 c) I oppgave 1 a) i Del 1 viste du at O Bruk den deriverte til å finne den minste overflaten O som prismet kan ha. Hva er lengden, bredden og høyden nå? Vi tegner grafen til O i GeoGebra Den deriverte er lik null, og går fra å være negativ til å være positiv når 3,15. Prismet har derfor minst overflate når 3, O3,15 83, ,15 Den minste overflaten prismet kan ha er da 38 cm. 4 43,15 1,6 Lengden er da 1,6 cm. 3,15 Bredden er 3,15 cm ,04 3,15 Høyden er 5,04 cm. Eksamen REA30 Matematikk R1, Våren 011 Side 10

11 Vi har et annet rett prisme der lengde av grunnflaten er tre ganger så stor som bredden. Volumet er 00 cm 3. d) Finn den minste overflaten som dette prismet kan ha. Volumet av et rett prisme erlengde bredde høyde. Vi får da at 3 h h O Vi bruker wmaima for å forenkle dette uttrykket og får Vi setter 1600 O 6 og tegner grafen til O i GeoGebra. 3 Vi finner bunnpunktet på grafen ved å bruke kommandoen Ekstremalpunkt [Funksjon, Startverdi for, Sluttverdi for ]. Den minste overflaten dette prismet kan ha, er 6 cm Eksamen REA30 Matematikk R1, Våren 011 Side 11

12 Oppgave 4 (4 poeng) På en skole er det 350 elever. 150 av disse er gutter. En undersøkelse viser at 100 gutter og 180 jenter har med seg matpakke hver dag. Én elev trekkes ut tilfeldig. La A og B være de to hendelsene A: Eleven er en gutt. B: Eleven har med matpakke hver dag. a) Forklar med ord hva vi mener med PA B. Finn denne sannsynligheten. P A B er sannsynligheten for A og B, det vil si sannsynligheten for at vi trekker ut en gutt som har med seg matpakke hver dag. Guttene som har med matpakke 100 PAB Alle elevene b) Finn sannsynlighetene PB og Er de to hendelsene uavhengige? P B A. Elevene som har med matpakke PB Alle elevene Guttene som har med matpakke 100 PB A Alle guttene PB A P B De to hendelsene er ikke uavhengige. Eksamen REA30 Matematikk R1, Våren 011 Side 1

13 Oppgave 5 (9 poeng) Punktene A, 1 og 5,3 B er gitt a) Finn AB og regn ut AB. AB 5, 3 ( 1) 3, 4 AB Vektoren AC 1, er gitt. b) Bestem koordinatene til punktet C., 1 1, 1,1 OC OA AC Punktet C har koordinatene (1, 1). c) Regn ut AC BC og kommenter svaret. AC BC 1, 4, 1 ( 4) ( ) Skalarproduktet av de to vektorene er null. Vektorene står da ortogonalt (vinkelrett) på hverandre. ACB 90 En rett linje l går gjennom punktet P3, 4 og er parallell med AC. d) Finn en parameterframstilling for linjen l. AC 1,1 1 1, Vi bruker AC som retningsvektor for l. En parameterframstilling blir da 3t l : y 4 t e) Finn koordinatene til punktet der l skjærer y - aksen. Når 0. 3t 0 t 3 Når t 3, er y 4 3 Linja l skjærer y - aksen i punktet (0,) Eksamen REA30 Matematikk R1, Våren 011 Side 13

14 Punktet Q 8,6 er gitt. En vektor QR har lengden 10, og R er et punkt på linjen l. f) Bestem koordinatene til R. Siden R er et punkt på l, kan vi sette koordinatene til R lik 3 t, 4 t. Dett gir QR 3t 8, 4 t 6t 5,t 10 QR 10 Vi bruker wmaima og finner et uttrykk for QR Vi setter så dette uttrykket lik 10. t 1 gir 31, 4 1, t 5 gir 35, 4 5,6 Punktet R kan ha koordinatene, eller,6. Eksamen REA30 Matematikk R1, Våren 011 Side 14

15 Oppgave 6 ( poeng) Du får oppgitt at en funksjon f er definert for 0,10. Funksjonen er kontinuerlig, men ikke deriverbar i, og ikke kontinuerlig i 5. Tegn en skisse som viser hvordan grafen til f kan se ut. Det er uendelig mange funksjoner som oppfyller kravene i oppgaveteksten. Vi har valgt en funksjon med delt forskrift 4 0, f,5 11 5,10 Grafen til f er kontinuerlig for fordi lim f f til tangenten ikke nærmer seg en bestemt verdi når nærmer seg. Grafen til f er ikke kontinuerlig for 5 fordi lim f lim f 5 5, men ikke deriverbar siden stigningstallet. Eksamen REA30 Matematikk R1, Våren 011 Side 15

16 Oppgave 7 (6 poeng) I denne oppgaven skal vi undersøke påstanden: Alle primtall som er større enn kan skrives som differansen mellom to kvadrattall. a) Skriv av og fyll ut tabellen Primtall Naturlige tall Kvadrattall Differanse p n 1 n n 1 n n 1 n Eksamen REA30 Matematikk R1, Våren 011 Side 16

17 I tabellen er p primtall, og n 1 og n er naturlige tall, slik at: n1n p n 1n 1 p 1 p 1 b) Vis at vi kan skrive n1 og n Vi bruker at n1n p og n n 1 1 n 1 n n 1 n 1 1 og n n 1 1 n 1n 1 Da er 1 1 n n p n n 1 p n n 1 p n p1 1 p 1 n1 og n n p 1 1 n n p n p1 p 1 n c) Bevis at påstanden i ruten ovenfor er riktig. Vi bruker resultatet fra b) og skriver differansen mellom to kvadrattall som n 1 n. p1 p1 n1 n p p 1 p p 1 4 4p 4 p Vi har altså vist at hvis vi velger to naturlige tall slik at summen av dem er et primtall, og differansen mellom dem er én, vil primtallet kunne skrives som differansen mellom kvadratet av de naturlige tallene. Eksamen REA30 Matematikk R1, Våren 011 Side 17

18 Oppgave 8 (8 poeng) Matematikeren Arkimedes (ca f.kr) studerte figuren du ser nedenfor. Det hvite området på figuren kalles skomakerkniven. Området er avgrenset av en ytre halvsirkel og to indre halvsirkler. De to indre halvsirklene, som er fargelagt på figuren, har sentrum i D og E. De indre halvsirklene har radius R og r. Punktene D, C og E ligger på linjestykket AB. a) Vis at lengden av sirkelbuen AB er lik summen av lengdene av de to sirkelbuene AC og CB. Omkretsen av en halv sirkel er radius radius Lengden av sirkelbuen AC er R R Lengden av sirkelbuen BC er r r R r R r R r Lengden av sirkelbuen AB er På figuren er CH AB. b) Forklar at ACH er formlik med HCB. De to trekantene har vinkler som er parvis like store, og er derfor formlike. ACH BCH 90 fordi CH AB. Thales' setning gir at AHC CHB 90. Siden vinkelsummen i en trekant er 180, er også AHC HAC 90. Eksamen REA30 Matematikk R1, Våren 011 Side 18

19 Da har vi at AHC CHB AHC HAC CHB HAC Siden vinkelsummen i en trekant er 180, må også CHA CBH. c) Bruk dette til å vise at CH Rr Siden trekantene er formlike har vi at Dette gir CH AC CB CH. CH AC CB CH CH R r CH CH Rr CH 4R r CH CH 4R r R r d) Vis at arealet av en sirkel med diameter CH er lik arealet av skomakerkniven. Arealet av en sirkel er πr. CH Rr Arealet av en sirkel med diameter CH er Rr Arealet av skomakerkniven er differansen mellom arealet av halvsirkelen med diameter AB R r og arealene til de to sirklene med diameter AC R og CB r R r R r R r R r R R r r R r Rr Rr Eksamen REA30 Matematikk R1, Våren 011 Side 19