Eksamen R1 høsten 2014 løsning

Transkript

1 Eksamen R1 høsten 014 løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Deriver funksjonene 3 a) f x x x 5 5 f x 15x 4x x b) gx x e uv uv uv der u x og v e Vi bruker produktregelen for derivasjon. x x x g x x e x e xe x x Eksamen REA30 Matematikk R1 høsten 014 Side 1 av 16

2 Oppgave (4 poeng) Polynomfunksjonen P er gitt ved 3 P x x x 10x 8, Dp a) Faktoriser Px i førstegradsfaktorer. 3 P Det betyr at x 1 er en faktor i Vi faktoriserer. 3 x x 3 x x x x x x 10 8 : 1 8 x 10x8 x x 8x 8 8x 8 Det betyr at Px x x 8x 1 0 P x. Tredjegradspolynomet er dermed faktorisert i et andregradspolynom og et førstegradspolynom. Vi kan nå faktorisere andregradspolynomet ved hjelp av nullpunktmetoden. Vi løser likningen x x 8 0 x x8 0 x x x x 1 Det betyr at x x 8 x 4x 3 Px x x 10x 8 x 1x x 4. Fullstendig faktorisering av tredjegradsuttrykket blir b) Løs ulikheten Px 0. Vi har x x x Fortegnslinje gir: Eksamen REA30 Matematikk R1 høsten 014 Side av 16

3 Vi finner at Px 0 når x, 4 1, Oppgave 3 (4 poeng) Sammenhengen mellom lydstyrken L db (desibel) og lydintensiteten I W/m er gitt ved L 10 lg I I 0 I er en konstant. a) Vis at formelen kan skrives som L10lgI 10 a Vi bruker. logaritmesetning lg lga lgb b I 1 L 10lg 10lgI lgi0 10lg I lg10 10lg I 1 10lg I 1 10lg I 10 I 0 b) På en arbeidsplass blir lydintensiteten målt til 4 10 W/m. Hvor mange desibel er lydstyrken på arbeidsplassen? L 4 10 lgi lg Lydstyrken på arbeidsplassen er 80 desibel. c) På en klassefest blir lydstyrken målt til 100 db. Hvilken lydintensitet svarer det til? lgI 10 10lgI lgi 10 lgi I 10 En lydstyrke på 100 db tilsvarer en lydintensitet på 10 W/m. Eksamen REA30 Matematikk R1 høsten 014 Side 3 av 16

4 Oppgave 4 (4 poeng) Funksjonen f er gitt ved f x x 4 x 1, D \ 1 f a) Lag en skisse av grafen til f. Vi ser at telleren er 0 når x. Det betyr at grafen har et nullpunkt for x. Vi har en vertikal asymptote x 1 og en horisontal asymptote lik x 4 x 4 0 lim lim lim x x f x x x x 1 x x 1 10 x x Grafen ovenfor er tegnet i GeoGebra. I denne oppgaven skulle det tegnes en skisse av grafen til f. Ved en skisse kreves ikke samme nøyaktighet som ved tegning av en graf, men grafen må gå gjennom punktene vi har funnet ovenfor og asymptotene må markeres. b) Bestem f x. x x x x x x 1 x 1 x f c) Bestem likningen for tangenten i punktet, 0 på grafen. Vi bruker ettpunktsformelen: y f x1 f x1 x x1, der x, f x f 0 og f 1 1 y 0 x yx4 Likningen for tangenten er yx 4. Eksamen REA30 Matematikk R1 høsten 014 Side 4 av 16

5 Oppgave 5 ( poeng) a) Forklar at v 1, a er en retningsvektor for linjen y ax b. Stigningstallet til linjen y ax b er a. Det betyr at en enhet på x-aksen tilsvarer a enheter på y- aksen. Vi ser av vektoren 1, a at her tilsvarer også en enhet på x-aksen a enhet på y-aksen. To linjer er gitt ved likningene y a1 x b1 og y a x b. b) Bruk skalarprodukt til å vise at dersom linjene står vinkelrett på hverandre, er a1 a 1. Hvis linjene står vinkelrett på hverandre, er skalarproduktet til retningsvektorene til de to linjene lik null. a a 1, 1, a a 0 a 1 a 1 1 Oppgave 6 ( poeng) Løs likningen x x x x x x x x x x x x x x x 1 x 1 x 1 Eksamen REA30 Matematikk R1 høsten 014 Side 5 av 16

6 Oppgave 7 (4 poeng) På figuren nedenfor har vi tegnet kvadratene ABCD og AEFC. Vi setter siden i kvadratet ABCD lik a. a) Vis at kvadratet AEFC har dobbelt så stort areal som kvadratet ABCD. AC a a a a Arealet av kvadratet AEFC er dermed: a a a. b) Konstruer et kvadrat med areal eksakt lik 50 cm. Vi bruker det vi fant i oppgave a) og konstruerer først et kvadrat ABCD på 5 cm. Diagonalen i dette kvadratet blir dermed sidekanten i et kvadrat AEFC på 50 cm. Tegner en linje og avsetter et linjestykke AB 5 cm Konstruer normaler gjennom A og B og avsetter linjestykkene AD BC DC 5 cm Avsetter diagonalen AC og konstruerer normaler gjennom A og C Avsetter linjestykkene AE og CF lik diagonalen AC Eksamen REA30 Matematikk R1 høsten 014 Side 6 av 16

7 Oppgave 8 ( poeng) Funksjonen f er gitt ved 3 f x x x D, f f x 3x 1. Bruk definisjonen av den deriverte til å vise at f f f f f f f x x x x x x x lim x0 lim x0 lim x0 lim x0 lim x0 f x x f x lim x0 x 3 3 x x x x x x 3 x x x x x x x x x x 3 x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 3x x 3x x x x x lim x0 x x 3 x x x x x x x f x lim 3x 3xx x 1 f x x Eksamen REA30 Matematikk R1 høsten 014 Side 7 av 16

8 Tid: 3 timer Hjelpemidler: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave 1 (6 poeng) Ved en bestemt kjemisk reaksjon vil konsentrasjonen av et stoff være gitt ved 0,01 f t,50,50 e t Der ft er antall millimol per liter av stoffet, t sekunder etter at reaksjonen startet. a) Hva er konsentrasjonen etter 15 s? Hvor lang tid tar det før konsentrasjonen er,00 millimol/l? Vi bruker CAS i GeoGebra for å finne f 15 og når ft,00. Konsentrasjonen etter 15 s er 0,41 millimol/l. Det tar omtrent 134 s, dvs. min og 14 s før konsentrasjonen er,00 millimol/l. b) Tegn grafen til f. Hva vil konsentrasjonen nærme seg dersom den kjemiske reaksjonen går veldig lenge? Vi tegner grafen i GeoGebra. Vi bruker kommandoen «Asymptote [funksjon]» og finner den horisontale asymptoten y,5. Det betyr at konsentrasjonen vil nærme seg,5 millimol/l dersom den kjemiske reaksjonen går veldig lenge. Reaksjonshastigheten på et tidspunkt t er f t. Eksamen REA30 Matematikk R1 høsten 014 Side 8 av 16

9 c) Hva er reaksjonshastigheten når konsentrasjonen er,00 millimol/l? Vi bruker CAS i GeoGebra. Vi finner at reaksjonshastigheten er 0,006 millimol/l per sekund ved en konsentrasjon på,00 millimol/l. Oppgave (5 poeng) a) Skriv opp alle primtallene fra og med til og med 5., 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 3. 5 like kuler som er merket med tallene fra og med 1 til og med 5, ligger i en bolle. Vi trekker tilfeldig 5 kuler fra bollen uten tilbakelegging, og leser av tallene. b) Bestem sannsynligheten for at vi trekker ut akkurat primtall. Vi har en hypergeometrisk situasjon. Vi bruker sannsynlighetskalkulatoren CAS i GeoGebra. Sannsynligheten for å trekke ut akkurat to primtall blir ca. 37,9 %. c) Bestem sannsynligheten for at vi trekker ut minst 3 primtall. Vi bruker sannsynlighetskalkulatoren CAS i GeoGebra. Sannsynligheten for å trekke ut minst 3 primtall blir 3 %. Eksamen REA30 Matematikk R1 høsten 014 Side 9 av 16

10 Oppgave 3 (4 poeng) Vi har punktene A B C t t, 1, 4, 5 og 3,. a) Bruk vektorregning til å bestemme t slik at punktene A, B, C ligger på en rett linje. Vi har da at AB AC som gir sab AC der s er en konstant sab AC s 4, 51 t 3, t 1 s t 1 4s t 1 Løser likningssettet i CAS. Dette betyr at for t 3 vil punktene A, B, C ligge på en rett linje. b) Bruk vektorregning til å bestemme t slik at ACB 90. Vi har da at CA CB. Det betyr at skalarproduktet, CACB 0. CA t 3, 1t 1 t,1t CB 4 t 3, 5t 1 t, 5t Vi finner at CA CB for t1 og t. Det betyr at ACB 90 for disse to t-verdiene. Eksamen REA30 Matematikk R1 høsten 014 Side 10 av 16

11 Oppgave 4 (8 poeng) I et kvadrat ABCD med side 4 er det innskrevet et parallellogram EFGH. Vi setter AE CG x og BF DH. x Se skissen nedenfor. a) Vis at arealet T av parallellogrammet EFGH er , 0, T x x x x Vi har at arealet av kvadratet er Vi ser videre på de fire trekantene som ligger «utenfor» parallellogrammet. Arealet av trekantene x x 4 EAH FCG 4x x. x x 4 Arealet av trekantene HGD EBF 8x x. Et uttrykk for arealet T blir da T x x x x x x x x x x x b) Bestem x slik at arealet av parallellogrammet EFGH blir halvparten av arealet av kvadratet ABCD. Vi bruker CAS og løser likningen 16 Tx 8. Vi finner at for x1 og x er arealet av parallellogrammet EFGH halvparten av arealet av Eksamen REA30 Matematikk R1 høsten 014 Side 11 av 16

12 kvadratet ABCD. Begge verdiene av x er med i definisjonsmengden. c) Bestem x slik at arealet av parallellogrammet EFGH blir minst mulig. Bestem det minste arealet. Vi bruker CAS og setter T x 0. Vi finner at for 3 x er arealet minst mulig. Arealet er da 7 enheter. Vi legger figuren inn i et koordinatsystem, slik at A ligger i origo og B på positiv x-akse. d) Bestem vektorene HE og parallellogrammet EFGH blir et rektangel. Koordinatene til punktene HG uttrykt ved x og bruk dette til å bestemme x slik at H, E og G blir henholdsvis H0,4 x, Ex, 0 og G4 x, 4 0,0 4, 4 HG 4 x 0, 4 4 x 4 x, x HE x x x x Dersom parallellogrammet EFGH skal bli et rektangel, må HE HG dvs. HE HG 0 Vi løser i CAS Vi ser at dersom x 0 sammenfaller parallellogrammet med kvadratet. 4 Dersom x vil parallellogrammet EFGH bli et rektangel. 3 Eksamen REA30 Matematikk R1 høsten 014 Side 1 av 16

13 Oppgave 5 (6 poeng) ABC har hjørnene A B C 1, 1, 5, og 1, 5. Se figuren nedenfor. 1 1 Likningen for linjen gjennom A og B er y x, og likningen for linjen gjennom A og C er y3x. a) Bestem likningen for linjen gjennom B og C. 5 3 Stigningstallet a for den rette linja gjennom B og C a Ettpunktsformelen gir da y 5 3 x 1 y 3 x I oppgave 5 i Del 1 har du vist at dersom to linjer står vinkelrett på hverandre, er produktet av stigningstallene lik 1. b) Bruk denne egenskapen til å vise at linjen som går gjennom C og som står vinkelrett på sidekanten AB har likningen y x 7. Vi har at linjen gjennom AB har stigningstall 1 og at stigningstallet til y x 7 er. 1 Dette gir 1. Vi har da at denne linjen har stigningstall. Linjen går gjennom punktet C 1,5 linjen skjærer y-aksen i 7, dvs. konstantleddet i likningen y x 7.. Det betyr at Eksamen REA30 Matematikk R1 høsten 014 Side 13 av 16

14 På samme måte kan det vises at linjen som går gjennom A og som står vinkelrett på sidekanten BC 4 1 har likningen y x, og linjen som går gjennom B og som står vinkelrett på AC har likningen y x. 3 3 c) Vis ved regning at de tre høydene i ABC skjærer hverandre i ett og samme punkt. Bestem koordinatene til dette skjæringspunktet. Vi bruker CAS og setter likningene lik hverandre. Vi ser av linje 1 og i CAS at vi får samme x-verdi. Linje 3 blir dermed bare en bekreftelse for at linjene skjærer hverandre i x. Videre blir y-verdien 7 3. Skjæringspunktet til høydene er,3. Eksamen REA30 Matematikk R1 høsten 014 Side 14 av 16

15 Oppgave 6 (3 poeng) I en sirkel med sentrum S er det innskrevet en ABS der ASB u. Sirkelen har tangent i punktet A. Vinkelen mellom tangenten og siden AB er v. u a) Vis at BAS 90. Vi har at AS BS radius. 180u u Det betyr at ASB er likebeint og SAB SBA 90. u b) Vis at v. Tangenten gjennom A står vinkelrett på radius AS. u u Vi har da v 90BAS Eksamen REA30 Matematikk R1 høsten 014 Side 15 av 16

16 Oppgave 7 (4 poeng) Funksjonen f er gitt ved Der f x u v u og v er funksjoner av x. Vi antar i denne oppgaven at u0 og v 0. Logaritmeregelen for en brøk gir ln f x lnu lnv. a) Bruk logaritmeregelen og kjerneregelen til å bestemme ln ln ln ln ln ln ln f x uttrykt ved u, v, u og v. u 1 1 u v u v v u f x u v u v u v v u v u v uv b) Bruk uttrykket fra oppgave a) til å utlede derivasjonsregelen for en brøk. u uv uv Vi har derivasjonsregelen for brøk v v u u ln ln v v u u e e ln v v uv vu uv vu uv v Kilder Oppgavetekst med grafiske framstillinger: Utdanningsdirektoratet Eksamen REA30 Matematikk R1 høsten 014 Side 16 av 16