Eksamen høsten 2009 Løsninger

Transkript

1 Eksamen høsten 009 Løsninger Eksamen høsten 009 Løsninger DEL Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Oppgave a f( ) = 5 e f () = 5e = 5e b g ( ) = ln( ) g ( ) ln( ) = + = ln( ) ln( ) + = + c 0 + 0= 0 =, siden 0 + 0= 0. Da er ( ) en faktor i Divisjonen ( 0 + 0) : ( ) går opp. ( ) + = 0 0 : ( ) For å finne de andre løsningene setter vi = ± ± ± = = = 4 4 = eller = 5 ( 8) ( 8) 4 ( 0) Aschehoug Side av 9

2 Eksamen høsten 009 Løsninger d lg( ab) lg ab = lg a + lg b (lg lg ab) = lg a+ lg b lg+ lg a+ lg b = lga+ lgb e f ( ) er ikke kontinuerlig for =. Når er mindre enn og går mot, går f ( ) mot. Når er større enn og går mot, går f ( ) mot. f ( ) nærmer seg ikke et bestemt tall når nærmer seg. lim f ( ) eksisterer altså ikke. f ( ) er ikke deriverbar for =. Når er mindre enn og går mot, går stigningstallet for tangenten mot 0. Når er større enn og går mot, går tangentens stigningstall mot. Tangentens stigningstall nærmer seg ikke et bestemt tall når nærmer seg. f er derfor ikke deriverbar for =. f ( ) er ikke deriverbar for =. f ( ) er ikke kontinuerlig for = og er derfor ikke deriverbar for =. f ( ) er ikke deriverbar for = 0 og heller ikke for = av samme grunn som at f ( ) ikke er deriverbar for =. Tangentens stigningstall går mot ulike verdier når vi nærmer oss fra hver side, og tangentens stigningstall nærmer seg ikke et bestemt tall verken når nærmer seg 0 eller når nærmer seg. f lim + Både teller og nevner går mot null når går mot null når går mot =. Siden = er nullpunkt i telleren, er + faktor. Vi faktoriserer og får ( )( + ) = = + + ( )( + ) + + lim = lim = lim = ( ) ( ) = g Punktet A har koordinatene ( a,0). Punktet B har koordinatene ( a, a). Punktet C har koordinatene ( 0, a). Aschehoug Side av 9

3 AC = [ 0 a, a 0 ] = [ a, a] OB = [ a 0, a 0 ] = [ a, a] AC OB= [ a, a] [ a, a] = a + a = 0 Vektorene AC og OB er ortogonale. Diagonalene står vinkelrett på hverandre. Eksamen høsten 009 Løsninger h AB = [,4 ] = [,] r = [,] er da en retningsvektor for l. Vi velger (, ) som det faste punktet. Vi får da en parameterframstilling for l: = + t y = + t Parameterframstillingen for m blir = 6 t y = +t Vi bytter t med s i den ene framstillingen og får l: = + t y = + t m: = 6 s y = +s Vi får dette likningssettet: + t = 6 s + t = + s Av den siste likningen får vi at s =. t Dette setter vi inn i den første likningen og får + t = 6 t 5t = 5 t = Det gir s =. t = : = + = y = + = 4 Skjæringspunktet er (, 4). Aschehoug Side av 9

4 Eksamen høsten 009 Løsninger Oppgave a Vivianis setning: h= l + m+ n A = A + A + A b ABC APB BPC APC s h s l s m s n = + + h= l+ m+ n Aschehoug Side 4 av 9

5 Eksamen høsten 009 Løsninger DEL Med hjelpemidler Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave a PT ( S ) = 0,96 Hvis en person er syk, er det 96 % sannsynlig at testen avslører det. PT ( S ) = 0,05 Hvis en person ikke er syk, er det 5 % sannsynlig at testen likevel viser tegn på sykdommen. PT ( S) = PT ( S) = 0,05 = 0,95. Se valgtreet. b % av befolkningen har sykdommen. PS ( ) = 0,0 og PS ( ) = 0,0 = 0,97 PT ( ) = PS ( ) PTS ( ) + PS ( ) PTS ( ) = 0,0 0,96 + 0,97 0,05 = 0,077 = 0,077 c Bayes' setning gir ( ) P S T ( ) P( T S) 0,0 0,96 P S = = = 0,7 PT ( ) 0,077 Sannsynligheten for at personen faktisk har sykdommen, er 7, %. d PT ( S ) = 0,96 = 0,04. Se valgtreet. PT ( ) = 0,077 = 0,9 Bayes' setning gir P( S) P( T S) 0,0 0,04 P( S T) = = = 0,00 PT ( ) 0,9 Sannsynligheten for at personen likevel faktisk har sykdommen, er 0, %. Aschehoug Side 5 av 9

6 Eksamen høsten 009 Løsninger Oppgave 4 Alternativ I t t rt ( ) = 4t t e, 5t e t 0 5 e e a For t = får vi r() = 4 e, 5 e = 4, = [,896,,89]. t t t t t t vt () = r () t = 4t t e, 5t e = 4 e + t e,5e 5t e b ( ) ( ) t t t t t t t at ( ) = v( t) = ( 4 e t e ), ( 5e 5t e + ) = 6e t e, 0e + 5t e t v = + = c v() = 4 e + e, 5e 5 e = [ 4,406, 0,677] () 4,406 ( 0,677) 4,46 Farten etter sekunder er 4,46 m/s. d Vi skal ha y( t) = 5t e t størst mulig. Da deriverer vi og tegner fortegnslinja for den deriverte. t t t t y( t) = (5t e ) = 5(e t e ) = 5e ( t ). Partikkelen er i det høyeste punktet når t =. 5 Toppunktet er 4, = [,896,,89]. e e Aschehoug Side 6 av 9

7 e v() = 4 e + e, 5e 5 e = [ 4, 0] Eksamen høsten 009 Løsninger v () = = 4 5 r () = 4, = [,896,,89 e e ] r () =,896 +,89 =,4 r() v() [,896,,89] [ 4, 0],896 4 cosα = = = = 0,844 r() v(),4 4,74 α =,4 Vinkelen mellom posisjonsvektoren og fartsvektoren i det høyeste punktet er,4 Oppgave 4 Alternativ II a Om punktet A flyttes, blir CSB den samme. Vi konstruer figuren med digitalt verktøy og finner at for alle mulige plasseringer av tangeringspunktet A, er CSB konstant. b SD = SA = r. SDB = SAB = 90. MD og BC er tangenter til sirkelen. SB er hypotenus i begge trekantene. Da er to sider og den motstående vinkelen til den lengste av disse sidene like. Trekantene SDB og SAB er kongruente. SE = SA = r. SEC = SAC = 90. ME og BC er tangenter til sirkelen. SC er hypotenus i begge trekantene. Da er to sider og den motstående vinkelen til den lengste av disse sidene like. Trekantene SEC og SAC er kongruente. ASB = BSD = ASD. ASC = CSE = ASE. Da er CSB = ESD. Aschehoug Side 7 av 9

8 Eksamen høsten 009 Løsninger c Trekantene SDB og SAB og trekantene SEC og SAC er kongruente. Vi setter ASB = BSD = u og ASC = CSE = v. Det gir u+ v= ESD(konstant) u+ v= ESD(konstant) CSB = ESD (konstant) Oppgave 5 a Vi bruker ettpunktsformelen og får y = a( ) y = a a+ b Vi finner skjæringspunktet med -aksen ved å sette y = 0 a a + = 0 a = a a Punktet A har koordinatene,0 a. Vi finner skjæringspunktet med y-aksen ved å sette = 0 y = a + Punktet B har koordinatene ( 0, a ) +. ( ) ( ) ( ) y a ( ) a Fa = = a+ = a a c Av grafen ser vi at det minste arealet er 4, og da er stigningstallet til linja a =. Aschehoug Side 8 av 9

9 Eksamen høsten 009 Løsninger d a a a a a a + a Fa ) = = ( a) 4a ( ) ( ) a a a+ a a = = = = 4a 4a a a (a )( a ) Fa ) = a 8 (4 ) ( )( ) ( )( ) a a a a a a F ( a) = = ( a) 4a (a )(a+ ) (a )( a ) = = a a ( ) ( ) ( )(4 ( )) a e Når arealet er minst, blir likningen for linja Da er koordinatene til A (4, 0) og til B (0, ). y = + = +. Aschehoug Side 9 av 9