1T eksamen høsten 2017 løsning

Transkript

1 1T eksamen høsten 017 løsning Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform , ,5 10 1, ( ) 7 10,0 10 Oppgave ( poeng) Løs likningen grafisk x x Begge sidene av likningen er rette linjer. Brukte at konstantleddet var 1 og stigningstallet var ½ på venstresida og tegnet punktene A, B og C, se figuren. I stedet for å gå én enhet i positiv x-retning og en halv enhet oppover, gikk jeg to enheter bortover og én enhet oppover. Gjorde tilsvarende med uttrykket på høyresida av likningen og tegnet punktene D, E og F. Skjæringspunktet mellom linjene ble C(4, 1), som betyr at likningen har løsningen x = 4. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten / Høsten 017 Side 1 av 17

2 Oppgave 3 ( poeng) Løs ulikheten x x1 0 Løser først likningen x x1 0 x x 4 x 3 ( 1) ( 1) 4 1 ( 1) Tester så uttrykket x x 1 for x-verdiene -4, 0 og 5 for å sjekke om vi får positivt eller negativt svar: x 4 : ( 4) ( 4) x 0 : x 5 : Vi tegner fortegnsskjema (trengs egentlig ikke, vi har de opplysningene vi trenger, over): Vi finner at x x 1 0 for x 3, 4 eller: 3 x 4, eller: L 3, 4 Oppgave 4 ( poeng) 0 0 Sorter tallene i stigende rekkefølge. Vis eller forklar hvordan du har tenkt. 1 4 sin73, tan45, lg1, lg tan45 1, lg1 0, lg10 lg10 1, 0 sin Stigende rekkefølge blir da: 1 4 lg10, lg1, sin73, tan45 Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten / Høsten 017 Side av 17

3 Oppgave 5 ( poeng) Løs likningen 1 lgx 5 1 lgx x x x x x x 100 Oppgave 6 (1 poeng) Skriv så enkelt som mulig x x x x x x En mer tungvint måte: 3 x x x x x x x 1 3x 3x 3x x x x x Oppgave 7 ( poeng) Skriv så enkelt som mulig Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten / Høsten 017 Side 3 av 17

4 Oppgave 8 ( poeng) Om en lineær funksjon f får du vite at f () 4 f '() 3 Bestem funksjonsuttrykket fx ( ) f '() 3 betyr at stigningstallet a er lik 3. Da kan vi bruke ettpunktsformelen videre: y y a( x x ) 1 1 y 4 3( x ) 3x 6 y 3x 6 4 3x f( x) 3x Oppgave 9 (3 poeng) a) Faktoriser uttrykket 3x 9x 3x x 3 b) Skriv så enkelt som mulig x x x x x 3 x 5x 6 Faktoriserer andregradsuttrykket først: x 5x 6 0 ( 5) ( 5) x x 3 x Andregradsuttrykket x 5x 6 kan da skrives som 3 derfor x x 3. Videre får vi x x x x x 3 x x x x x 3 x 5x 6 x x 3 x x 3 x x 3 x 3x x 4x x 3x 9x 3x x 3 x x 3 x x 3 x x3 x x. Fellesnevneren blir 3x x Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten / Høsten 017 Side 4 av 17

5 Oppgave 10 (3 poeng) Ved en skole er det to Vg-klasser, A og B. Det er like mange elever i hver klasse. Alle elevene i A har valgt biologi. Halvparten av elevene i B har valgt biologi. a) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev i Vg har valgt biologi. Siden det er like mange elever i de to klassene, vil ¾ av alle elevene ha valgt biologi. Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev i Vg har valgt biologi, blir da ¾ = 75 %. b) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev i Vg som har valgt biologi, går i klasse A. Innfører hendelsene: B: Eleven har valgt biologi A: Eleven går i klasse A Oppgaven spør derfor etter P( A B ). Vi får videre: 1 P A B P( A B) : 67 % PB Oppgave 11 (4 poeng) En funksjon f er gitt ved 4 3 f( x) x x a) Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til f i intervallet 1, 1. Må regne ut følgende: 4 3 f( 1) f(1) Den gjennomsnittlige vekstfarten er da lik stigningstallet a gjennom de to punktene vi nettopp regna ut. f f a Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten / Høsten 017 Side 5 av 17

6 b) Vis at (0, ) er et terrassepunkt på grafen til f. 3 3 f '( x) 4x 3x 4x 6x x x 3 Den deriverte er altså null for x = 0 og x = 3. Tester så uttrykket 3 eller negativt svar: x x for x-verdiene 1, 1 og for å sjekke om vi får positivt x 1 : 1 ( 1) 3 3 ( 5) 10 0 x 1 : ( 1) 0 x : Vi tegner fortegnsskjema (trengs egentlig ikke, vi har de opplysningene vi trenger, over): 0 0 Den deriverte skifter ikke fortegn rundt nullpunktet x = 0. Det betyr at x = 0 er et terrassepunkt. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten / Høsten 017 Side 6 av 17

7 Oppgave 1 (5 poeng) En funksjon f er gitt ved 3 f( x) x 6x 1x 8 a) Bestem f'( x ). f '( x) 3x 6 x 1 3x 1x 1 3 x 4x 4 3 x (Den siste overgangen får vi av den andre kvadratsetningen.) b) Bestem likningen for tangenten til f i punktet 1, f (1). 3 f(1) f '(1) ( 1) Bruker ettpunktsformelen for å finne tangentlikningen: y y a x x 1 1 y ( 1) 3 x 1 3x 3 y 3x 3 1 y 3x4 c) Har grafen til f én eller flere andre tangenter som er parallelle med tangenten du fant i oppgave b)? Begrunn svaret ditt. Må løse likningen f'( x) 3 for å se om det er flere løsninger enn x = 1. 3x 1x 1 3 3x 1x x 1x x 4x 3 0 x 4x 3 0 ( 4) ( 4) x 4 4 x 3 x 1 Vi ser at det er én løsning i tillegg til løsningen x = 1. Det er derfor én tangent til som har samme stigningstall som tangenten i b) og som dermed er parallell med tangenten i b). Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten / Høsten 017 Side 7 av 17

8 Oppgave 13 (3 poeng) Om trekantene ABC og DEF får du vite dette: B E 90 tanatand 5 1 AC DF Lag en skisse som viser hvordan trekantene kan se ut. Sett mål på skissen. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten / Høsten 017 Side 8 av 17

9 Oppgave 14 (3 poeng) Den blå figuren ovenfor er tegnet på et rutenett. Rutene er kvadratiske med sider a. a) Bestem omkretsen av figuren uttrykt ved a. Hver av de blå «ørene» har omkrets lik omkretsen til en sirkel med radius a. Omkretsen O blir derfor: O a 4a b) Bestem arealet av figuren uttrykt ved a. Hver av de blå «ørene» er 3/4 hel sirkel pluss en rute minus en fjerdedels sirkel). Dette gir at arealet A blir: 3 a 3 1 A a a a a a a 4 4 Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten / Høsten 017 Side 9 av 17

10 Tid: 3 timer Hjelpemidler: Alle hjelpemidler unntatt kommunikasjon Oppgave 1 (8 poeng) Antall tusen artikler i den engelske utgaven av Wikipedia x år etter 1. januar 00 er tilnærmet gitt ved funksjonen f der 3 f( x),34x 50x 19x 19,7, x 0, 15 a) Bruk graftegner til å tegne grafen til f for x 0, 15. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten / Høsten 017 Side 10 av 17

11 Skrev inn funksjonsuttrykket i algebrafeltet ved hjelp av kommandoen Funksjon. b) Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til funksjonen f i intervallet 0, 15. La inn punktene A og B for x = 0 og x =15 og brukte verktøyet "Linje" for å lage en rett linje gjennom punktene. Se linja g på figuren over. Gjennomsnittlig vekstfart i intervallet 0, 15 er stigningstallet til linja, som er 35,5 tusen artikler per år. c) Bestem f' x og tegn grafen til den deriverte for x 0, 15. f '( x),34 3x 50 x x 100x 19 Brukte kommandoen Derivert(f) for å få tegnet f'( x ). Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten / Høsten 017 Side 11 av 17

12 d) Bestem toppunktet til grafen du tegnet i oppgave c). Hvilken praktisk informasjon gir grafen til f ' og koordinatene til toppunktet på denne grafen oss? Brukte verktøyet Ekstremalpunkt på f'( x ) og fikk toppunktet C (7.1, ), se figuren i oppgave c). Grafen til f'( x ) sier hvor mange tusen flere artikler det ble på Wikipedia per år etter x år. Toppunktet C sier at veksten i antall artikler var størst per år i starten av det sjuende året, dvs. i starten av 009, og da var veksten på artikler per år. Oppgave (4 poeng) I en eske ligger det tre hvite og ni røde julekuler. Én av de hvite og fire av de røde kulene er ødelagt. Tenk deg at du skal ta to kuler tilfeldig fra esken. a) Bestem sannsynligheten for at du kommer til å ta to kuler som ikke er ødelagt. Definerer følgende hendelser: A: Første kule er ikke ødelagt B: Andre kule er ikke ødelagt Det er totalt 1 julekuler, og 5 av dem er ødelagt. Oppgaven spør etter sannsynligheten for at både A og B inntreffer. Vi får 1 P A B P A P B A ,8% 1 11 b) Bestem sannsynligheten for at minst én av kulene du kommer til å ta, er ødelagt. Dette er den motsatte sannsynligheten av den vi fant i a). Vi får: P A B 1 68,% Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten / Høsten 017 Side 1 av 17

13 Oppgave 3 (3 poeng) Magnus og Monika står på en horisontal slette 100 m og 40 m fra foten av et fjell. De måler vinklene som er gitt på figuren ovenfor. Bestem høyden h av fjellet. Brukte CAS i GeoGebra og fikk at høyden h = 61 m. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten / Høsten 017 Side 13 av 17

14 Oppgave 4 (4 poeng) Gitt firkanten ABCD ovenfor. AB 8, BC 1 og CD 8 3. a) Bestem omkretsen av firkanten ABCD eksakt. Bruker cosinussetningen på trekanten BCD. Videre bruker vi sinussetningen på trekanten ABD: Finner at trekanten ABD er rettvinkla, og finner AD med tangens. Omkretsen blir b) Bestem arealet av firkanten ABCD eksakt. Legger sammen arealene av de to trekantene BCD og ABD. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten / Høsten 017 Side 14 av 17

15 Oppgave 5 (5 poeng) En funksjon f er gitt ved f( x) x 7x 3 a) Forklar at grafen til f har et bunnpunkt, og bestem koordinatene til bunnpunktet. Grafen til f har et bunnpunkt fordi konstanten foran andregradsleddet er positiv. Vi finner enklest koordinatene til bunnpunktet med kommandoen Ekstremalpunkt med CAS: Koordinatene til bunnpunktet er 7 5, 4 8 Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten / Høsten 017 Side 15 av 17

16 En funksjon g er gitt ved g( x) ax bx c, a 0 b) Bruk CAS til å vise at bunnpunktet på grafen til g har koordinater b 4, b ac. a 4a Siden a > 0, vet vi at andregradsfunksjonen har et bunnpunkt. Bunnpunktet står på linje 3 i CAS-bildet. En linje tangerer grafen til g i punktet Ss, g( s ). En annen linje tangerer grafen til g i punktet T t, g( t ). De to linjene skjærer hverandre i punktet P. Se figuren ovenfor. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten / Høsten 017 Side 16 av 17

17 c) Bruk CAS til å vise at x - koordinaten til P ligger midt mellom s og t. Brukte ettpunktsformelen for å lage de to tangentlinjene og gjennom Ss, g( s) T t, g( t ). Satte så inn middelverdien av s og t i formlene for de to linjene og fikk samme resultat, se linje 6 og 7 i CAS-bildet. Da må skjæringspunktet P ha x- koordinat midt i mellom s og t. (Vi kunne også funnet skjæringspunktet mellom h og i direkte med kommandoen Skjæring.) Kilder Oppgavetekst med grafiske framstillinger og bilder: Utdanningsdirektoratet. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten / Høsten 017 Side 17 av 17