R1 eksamen våren 2017 løsningsforslag

Transkript

1 R eksamen våren 07 løsningsforslag Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (5 poeng) Deriver funksjonene f 5 4 a) 3 f 6 5 b) g ( ) e Vi bruker produktregelen for derivasjon, uv uv u v g e e e h 3 c) Vi bruker kjerneregelen på Vi setter g u u og u 3. 3 Det gir guu u 3 3 h Det betyr at 3 Eksamen MAT03 Matematikk T Våren 07 Side av 6

2 Oppgave (4 poeng) Skriv så enkelt som mulig a) Bruker. kvadratsetning på 6 9 b) 3 lna lnb 3lnb lna a 3lna lnb 3 lnb lna 3 ln( a b ) 3ln b 6lna 4lnb 3lnb 6lna lnb Oppgave 3 (4 poeng) Tre punkt A(, 6), B (, ) og C (4, 4) er gitt. a) Bestem AB og AC. AC AB, 6 3, 5 4, 4 6 5, Et punkt D er gitt slik at AB CD 0 b) Bestem koordinatene til D. Vi setter D, y 3, 5 4, y 4 0, y 4 0 y 9 Koordinatene til D, 9 Eksamen REA30 Matematikk R Våren 07 Side av 6

3 Oppgave 4 (6 poeng) Funksjonen P er gitt ved P 3 ( ) 6 6 a) Begrunn at (,0) er et vendepunkt på grafen til P. Vi har P 6 og P. P har et nullpunkt for. Videre ser vi grafen til P er en rett linje. Det betyr at grafen skifter fortegn i nullpunktet. Det betyr at, 0 er et vendepunkt på grafen til P. b) Faktoriser P i lineære faktorer : Det betyr at P 4 6 Vi kan nå faktorisere andregradspolynomet ved hjelp nullpunktmetoden Det betyr at Fullstendig faktorisering av tredjegradsuttrykket gir P c) Løs likningen 3 e 6e e e 6 e e 6 0 Vi setter u e og får 3 u 6u u 6 0 Denne likningen løste vi i a) og b). Vi har dermed: e e 3 e lne ln lne ln3 ingen løsning 0 ln3 Eksamen REA30 Matematikk R Våren 07 Side 3 av 6

4 Løsningene er laget av Oppgave 5 (6 poeng) Hjørnene i en trekant er A (,0), B (6,) og C (3,5). Midtpunktene på sidene i trekanten er D, E og F. Se figuren. a) Forklar at koordinatene til punktene D, E og F er C D D,, E, og F, E T B OD OB BC OD 6, 3, OD 6, 9 7 OD, A F OE OA AC OE, 0, 5 5 OE, 5 OE, OF OA AB OF, 0 5, 5 OF, 7 OF, Koordinatene til D, E og F er dermed D,, E, og, Skjæringspunktet mellom medianene i trekanten er T. b) Forklar at vi kan skrive AT på to måter: AT s AD AT AB t BE der s og t er reelle tall. Vi har at AT AD. Det betyr at vi kan skrive AT s AD der s 0, Vi har at AT kan skrives som AT AB BT. Videre er BT BE. Det betyr at vi kan skrive AT AB t BE der t 0,. Eksamen REA30 Matematikk R Våren 07 Side 4 av 6

5 c) Bruk vektorlikningene i oppgave b) til å bestemme s og t. Bestem koordinatene til T. AT sad AT AB t BE 7 7 AT s, AT 5, 4, t 7 7 AT s, s AT 5 4 t, t Vi kan nå sette opp et likningssett og finne s og t. 7 7 s 5 4t s t 7s 0 8t 7s 4 t 7s 0 8t t 7s 4 7s 0 8 7s 4 t 7s 4 7s 56s 0 3 t 7s 4 4 s t 7s 4 63 s t s t 3 3 (Denne oppgaven handler jo om mediansetningen for trekanter. Mediansetningen sier at skjæringspunktet mellom medianene deler medianene i forholdet :, altså det vi har funnet i denne oppgaven). Vi finner koordinatene til T OT OA AD OT, 0, OT, OT, OT, 3 3 Koordinatene til T er dermed 0 7 T, 3 3 Eksamen REA30 Matematikk R Våren 07 Side 5 av 6

6 Oppgave 6 (4 poeng) En fabrikk produserer lyspærer. Alle lyspærene blir kontrollert. I kontrollen blir 8,0 % av lyspærene forkastet. Nærmere undersøkelser viser at 9,0 % av de forkastede lyspærene er defekte,0 % av de godkjente lyspærene er defekte a) Vis at sannsynligheten er 9, % for at en tilfeldig produsert lyspære er defekt. Vi legger merke til at 8 % av lyspærene forkastes i kontrollen. Det betyr at 9 % av lyspærene blir godkjent. Sannsynligheten for at en tilfeldig lyspære er defekt, blir dermed: ,9 0,0 0,9 0,08 0,0 0,9 0, 0,09 9,% b) Bruk Bayes setning til å bestemme sannsynligheten for at en defekt lyspære blir forkastet i kontrollen. Sannsynligheten for at en lyspære er defekt og vrakes, er 0,08 0,9. I oppgave a) fant vi at sannsynligheten for at en lyspære er defekt, er 0,09. Sannsynligheten for at en defekt lyspære blir vraket, er dermed: 0,080,9 0,9 0,08 0,080 0,8 80% 0,09 0,09 Eksamen REA30 Matematikk R Våren 07 Side 6 av 6

7 Oppgave 7 (7 poeng) En rettvinklet ABC der C 90 er gitt. Den innskrevne sirkelen har sentrum i S og radius r. Sirkelen tangerer trekanten i punktene D, E og F. Vi setter AC b, BC a og AB c. Du får oppgitt at BF BE og AD AE. C F b D S a A E c B a) Bruk figuren til å forklare at a BF r og b AD r Vi har at SD CF r og SF DC r. Det gir at a BF FC BF r, b AD DC AD r, som skulle forklares. Av figuren ser vi dessuten at c AE BE. b) Vis at a b c r Vi har at AD AE og BF BE. Dermed er a b c BF r AD r AE BE r BF AD AE BE r som gir r a b c, som skulle vises. c) Forklar at vi kan skrive arealet T av trekanten på to måter: T a b og T r ( a b c) T a b er gitt ved grunnlinjehøyde ab ab Vi deler ABC opp i BSC med a som grunnlinje, ASC med b som grunnlinje og ASB med c som grunnlinje. Alle disse trekantene har r som høyde. Vi kan da sette opp følgende uttrykk for arealet av ABC : ar br cr T r a b c Eksamen REA30 Matematikk R Våren 07 Side 7 av 6

8 d) Bruk resultatene du fant i oppgavene b) og c) til å utlede Pytagoras setning. Vi setter de to uttrykkene for arealet av trekanten lik hverandre. ab r a b c ab r a b c ab a b ca b c setter utrykket fra a) inn for r ab a b c a b c ab a ab ac ab b bc ac bc c ab a b c ab c a b Eksamen REA30 Matematikk R Våren 07 Side 8 av 6

9 DEL Med hjelpemidler Oppgave (6 poeng) I en kortstokk er det 5 kort. Kortene er fordelt på de fire fargene hjerter, ruter, spar og kløver. Hver farge har 3 kort fordelt på verdiene til 0, knekt, dame, konge og ess. Tenk deg at du skal trekke tilfeldig fem kort fra kortstokken. a) Bestem sannsynligheten for at du kommer til å trekke nøyaktig tre kort med verdi 0. Vi bruker hypergeometrisk sannsynlighetsmodell og løser oppgaven ved å bruke CAS i GeoGebra. Vi skal trekke ut 5 kort der tre av kortene skal ha verdi 0, og to andre kort. I en kortstokk er det fire tiere og 48 andre kort. NB! Her er det viktig å velge minst fire desimaler i GeoGebra. Vi finner at sannsynligheten for å trekke akkurat 3 tiere blir 0,7 %, se linje ovenfor. Eksamen REA30 Matematikk R Våren 07 Side 9 av 6

10 b) Bestem sannsynligheten for at du kommer til å trekke nøyaktig tre kort med samme verdi. I oppgave a) fant vi sannsynligheten for at vi skulle få nøyaktig tre tiere. Det er 3 kort i kortstokken som har samme verdi. Det betyr at denne hendelsen kan skje på 3 ulike måter. Utregning gjort i linje 3 nedenfor. Sannsynligheten for å få nøyaktig tre kort med samme verdi blir,6 % c) Bestem sannsynligheten for at alle kortene du kommer til å trekke, har samme farge. Vi har fire ulike farger hver med 3 kort. Det finnes fire ulike måter denne hendelsen kan skje på. Sannsynligheten for at alle fem kortene har samme farge, blir 0, %, se linje 5. Eksamen REA30 Matematikk R Våren 07 Side 0 av 6

11 Oppgave (6 poeng) Posisjonsvektoren til en partikkel er gitt ved r t t t t 3 ( ) [, ] 3 3 a) Tegn grafen til når t,. Vi bruker GeoGebra og tegner grafen til r b) Bestem fartsvektoren og akselerasjonsvektoren () at. Vi bruker CAS og finner fartsvektoren og akselerasjonsvektoren, se linje og 3 nedenfor. Eksamen REA30 Matematikk R Våren 07 Side av 6

12 c) Bruk CAS til å bestemme den minste banefarten til partikkelen. Vi finner et uttrykk for lengden av farten og definerer funksjonen ft, se linje 4. Vi finner ekstremalpunktene og finner at den minste banefarten er 0,94, se linje 5. 3 Eksamen REA30 Matematikk R Våren 07 Side av 6

13 Oppgave 3 (4 poeng) En stige på 7,0 m er stilt opp langs en vegg. Stigen danner sammen med veggen og bakken en rettvinklet ABC. Se figuren. Vi setter AC. Den korteste avstanden fra C til stigen er d meter. 49 a) Vis at d 7 Vi finner først avstanden BC. BC 7 BC 49 ACB ACD da ACB ADC 90 og A er felles. Vi bruker formlikhet og bestemmer et uttrykk for d d 49 d b) Bestem slik at d blir lengst mulig. Hvor lang er d for denne verdien av? Vi setter d 49 og finner ekstremalpunktene ved hjelp av CAS. 7 I denne oppgaven må lengden AC være større enn 0. Vi ser av linje og grafen til d at 7 lengden d blir størst mulig ved. Avstanden CD d er da 7 3,5 meter. Eksamen REA30 Matematikk R Våren 07 Side 3 av 6

14 Oppgave 4 (8 poeng) Funksjonen f er gitt ved 3 f( ) 6 5 a) Bruk graftegner til å tegne grafen til f. Grafen til f har tre tangenter som går gjennom punktet A (4, 3) b) Forklar at koordinaten til tangeringspunktene må være løsning av likningen f ( ) 3 f'( ) 4 Vi har at f viser stigningstallet til tangenten i punktet, f gjennom punktet A 4, 3. Stigningstallet dermed gitt ved f y. Tangentene skal gå 3 f 4. Eksamen REA30 Matematikk R Våren 07 Side 4 av 6

15 c) Bruk CAS til å løse denne likningen. Bestem likningen til hver av tangentene. Vi definerer funksjon, se linje. Løsningene av likningen framkommer i linje 3 ovenfor. Vi bruker kommandoen «tangent» og finner de tre tangentene. I linje 6 og 7 ser du de numeriske løsningene av henholdsvis tangentlikningen til T og T 3 tilnærmede Eksamen REA30 Matematikk R Våren 07 Side 5 av 6

16 La P(a, b) være et punkt i planet. d) Hva er det maksimale antallet tangenter grafen til f kan ha som går gjennom P? Vi legger inn punktet a, b i likningen som er gitt i oppgave b) og regner ut i CAS. Vi får et «stygt» tredjegradsuttrykk, se linje 5. Forenkler linje 5 : a a 5a b a a 5a b 0 En tredjegradslikning kan maksimalt ha tre løsninger. Det betyr at det maksimale antall tangenter grafen til f kan ha, og som går gjennom punktet P a, b, er tre. P.s.: Ser vi på uttrykket fra deloppgave b) f ( ) 3 f'( ), så vil dette uansett bli en 4 tredjegradslikningen, så lenge f er et tredjegradsuttrykk. Kilder Oppgavetekst med grafiske framstillinger og bilder: Utdanningsdirektoratet. Eksamen REA30 Matematikk R Våren 07 Side 6 av 6