Eksamen S1, Høsten 2013

Transkript

1 Eksamen S1, Høsten 013 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Funksjonen f er gitt ved Bestem f. f x 3x 3x 1, Df f x x x f x 6x 3 f Oppgave (3 poeng) Løs likningene a) xx x x x 5x x x x 7 Eksamen REA306 Matematikk S1, Høsten 013 Side 1

2 b) 3 10 x x x 5 3x 5 x 5 3 Oppgave 3 ( poeng) Løs likningssettet ved regning yx yx 4 y x yx 4 x x 4 x x 1 x 1 x 1 x 1 y 1 3 x 1 y 1 3 Oppgave 4 ( poeng) En bevegelse foregår langs en rett linje. Startfarten var v 0, og akselerasjonen er konstant lik a. Etter tida t er farten v blitt v v0 at. a) Bestem en formel for t uttrykt ved v, v 0 og a. vv v v0 at at v v0 t a 0 b) Hvor lang tid tar det før farten v er blitt 5 når akselerasjonen a 3 og startfarten v0 1? Jeg setter de oppgitte verdier inn i formelen jeg fant i a) vv0 51 t 8 a 3 Etter tiden 8 er farten blitt 5. Eksamen REA306 Matematikk S1, Høsten 013 Side

3 Oppgave 5 (4 poeng) a) Skriv så enkelt som mulig 9 a 3 3ab b a b 3 a b a b 3 a b 4 3ab 3 a b b b) Vis at a b lg lg lg lg b a a b a ab a b lg lg lg a b lga lg b b a lg b lga lga b lga lga lg a b lga lg a b lg a a b lg a ab a b b a Vi har da vist at lg lg lga b lga ab Oppgave 6 ( poeng) Løs ulikheten x x x x x x x x x x x 6 0 Jeg setter x x6 0. Da er x 3 Da er x x 6 x x 3 Jeg tar stikkprøver og sjekker fortegnet til uttrykket for x verdier mindre enn 3, mellom 3 og og større enn Løsningen på ulikheten blir: x 3 x Eksamen REA306 Matematikk S1, Høsten 013 Side 3

4 Oppgave 7 ( poeng) Figuren nedenfor viser et utsnitt av tre påfølgende rader av Pascals talltrekant. Bruk figuren til å bestemme x og y ved å sette opp og løse et likningssystem. yx1 yx16 x 1 x 16 3x 105 x 35 y Oppgave 8 (4 poeng) Funksjonen f er gitt ved 3 f x x 6 x, Df a) Bestem nullpunktene til f. 3 f x 0 x 6x 0 x x 3 0 x 0 x 3 Nullpunktene til funksjonen er 0 og 3. til å bestemme eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f. b) Bruk f x 3 f x x 6x f x 6x 1x 6x x Jeg ser av uttrykket at den deriverte er null for x 0 og x. Jeg tar stikkprøver og sjekker fortegnet til den deriverte for x verdier mindre enn 0, mellom 0 og og større enn f f f Grafen har toppunkt 0, f 0 0,0 og bunnpunkt, f, 8 Eksamen REA306 Matematikk S1, Høsten 013 Side 4

5 c) Lag en skisse av grafen til f. Oppgave 9 ( poeng) Grafen til funksjonen nedenfor. f x ax b cx 1 er tegnet Bruk figuren til å bestemme verdiene til a, b og c. Grafen til funksjonen har loddrett asymptote for x 1. For denne x verdi er nevneren lik null. Det vil si at c11 0 c 1. Funksjonen går mot når x går mot uendelig. Funksjonsuttrykket går mot a c når x går mot a a uendelig. Da er a c 1 Eksamen REA306 Matematikk S1, Høsten 013 Side 5

6 Grafen viser at f 1 0. Da er c a 1 b 1 b b b 0 b Oppgave 10 (1 poeng) En funksjon f er gitt ved f x x D, f Bruk definisjonen av den deriverte til å vise at fx x. y f x f x lim lim x0x x0 lim x0 lim x0 x0 x x x x xx lim x0 x lim xx x lim x x x x f x x x x x x x x x 0 x x Eksamen REA306 Matematikk S1, Høsten 013 Side 6

7 Tid: 3 timer Hjelpemidler: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave 1 (4 poeng) I en eske ligger 50 lyspærer. Av disse er 7 defekte. Du velger tilfeldig ut 10 lyspærer fra esken. a) Bestem sannsynligheten for at akkurat av lyspærene er defekte. Dette er en hypergeometrisk situasjon med et utvalg på 10 lyspærer av en «populasjon» på 50 lyspærer. Jeg setter n 7 i sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra, som svarer til at 7 av lyspærene er defekte. X står for antall defekte lyspærer i utvalget. Jeg beregner sannsynligheten for at X. Sannsynligheten for at det er akkurat defekte lyspærer i utvalget er 9,64 %. b) Bestem sannsynligheten for at du velger ut minst 3 defekte lyspærer. Jeg beregner sannsynligheten for at X 3. Eksamen REA306 Matematikk S1, Høsten 013 Side 7

8 Sannsynligheten for at det er minst 3 defekte lyspærer i utvalget er 13,6 %. Oppgave (5 poeng) En fabrikk produserer lyspærer. Fabrikken garanterer at det er 75 % sannsynlighet for at en lyspære vil lyse i 1000 h (timer). En kunde kjøper 0 slike lyspærer. a) Bestem sannsynligheten for at akkurat 18 lyspærer lyser når det er gått 1000 h. Dette er en binomisk situasjon med p 0,75, som er sannsynligheten for at en tilfeldig lyspære vil lyse i 1000 timer. Jeg bruker sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra, og lar X være antallet av 0 lyspærer som lyser når det er gått 1000 timer. Jeg beregner sannsynligheten for at X 18. Sannsynligheten for at akkurat 18 lyspærer lyser når det er gått 1000 h er 6,69 %. b) Bestem sannsynligheten for at minst 15 lyspærer lyser i 1000 h. Jeg beregner sannsynligheten for at X 15 Eksamen REA306 Matematikk S1, Høsten 013 Side 8

9 Sannsynligheten for at minst 15 lyspærer lyser i 1000 h er 61,7 %. Eksamen REA306 Matematikk S1, Høsten 013 Side 9

10 Kunden ønsker at det skal være en sannsynlighet på 95 % eller mer for at minst 15 av 0 lyspærer fremdeles lyser når det er gått 1000 timer. c) Bestem hvilken sannsynlighet hver lyspære da må ha for å lyse i 1000 h. Jeg prøver meg fram med økende verdier av p inntil den aktuelle sannsynligheten overstiger 95%. Når hver lyspære har en sannsynlighet på minst 86,1 % for å lyse i 1000 timer, er sannsynligheten for at minst 15 lyspærer lyser i 1000 timer, minst 95 %. Oppgave 3 ( poeng) Vi har gitt likningen x 900 1, Bestem k slik at x 10 er en løsning av likningen. x k Jeg setter inn 10 i stedet for x i likningen og løser likningen med hensyn på k ved å bruke CAS i GeoGebra. Jeg får k 1,05 k 1,05 Eksamen REA306 Matematikk S1, Høsten 013 Side 10

11 Oppgave 4 (8 poeng) Figuren viser grafen til funksjonen f gitt ved 1 f x 6 x, D f Under grafen og over x-aksen er det skrevet inn et rektangel ABCD slik figuren viser. Punktene A og B ligger på x-aksen, og C og D ligger på grafen. Punktet B har førstekoordinaten x, der x 0. a) Forklar at arealet F av rektangelet kan skrives som en funksjon av x gitt ved Bestem 3 1 F x x x D F. Grunnlinjen AB x siden f er symmetrisk om y aksen. Høyden BC f x siden punktet 1 3 C x, f x. Arealet av rektangelet er derfor: F x x f x x 6 x 1x x For å få et rektangel som beskrevet, må punktet B ligge til venstre for f sitt positive nullpunkt. 1 f x 0 6 x 0 x 1 x 3 Jeg setter Det betyr at DF 0, 3 Eksamen REA306 Matematikk S1, Høsten 013 Side 11

12 b) Det fins to verdier av x som gjør at arealet av rektangelet blir lik 9. Bestem disse to verdiene. Jeg løser likningen Fx 9 i GeoGebra. Arealet av rektangelet blir lik 9 når x 0,79 x 3 c) Bestem den verdien av x som gjør at arealet av rektangelet blir størst mulig. Hva blir det største arealet? Jeg setter den deriverte til arealfunksjonen lik null og finner at det finnes kun én verdi for x i definisjonsområdet som gir en ekstremalverdi. Det er for x. Siden F er større enn en tilfeldig annen F 16 arealverdi i definisjonsområdet, må være det største arealet. d) Bestem et uttrykk for omkretsen av rektangelet. Bestem den verdien av x som gjør at omkretsen av rektangelet blir størst mulig. Kommenter svaret. Jeg kaller omkretsen til rektangelet for O x AB BC O x x f x 1 Ox x x O x 4x 1 x 4 6 Jeg bruker samme metode på Fx i oppgave c). Omkretsen blir størst mulig når x Ox. Ox som på Dette er den samme verdien for x som også gjør arealet størst mulig. Rektangelet er da et kvadrat med side 4 fordi AB x 4 og 1 BC f () Eksamen REA306 Matematikk S1, Høsten 013 Side 1

13 Oppgave 5 ( poeng) a) Avgjør om implikasjonen nedenfor er riktig. x 4 x x x x 4 Implikasjonen er riktig. b) Avgjør om den motsatte implikasjonen er riktig. x betyr at x for eksempel kan være lik 5. Men Implikasjonen er ikke riktig. 5 5 og er ikke mindre enn 4. Oppgave 6 (8 poeng) Et bakeri lager x kaker per dag, i tillegg til andre bakervarer. Bakeriet har funnet ut at de totale kostnadene Kx i kroner ved kakeproduksjonen avhenger av antall kaker, slik tabellen viser. a) Bruk regresjon til å bestemme en polynomfunksjon av tredje grad som passer best mulig med tallene i tabellen. I regnearket laget jeg en liste med punkter fra tabellen. Så laget jeg funksjonen f ved kommandoen Eksamen REA306 Matematikk S1, Høsten 013 Side 13

14 Polynomfunksjonen av 3. grad som passer best med tallene i tabellen er 3 f x 0,001x 0,3107x 30,743x,431 I resten av oppgaven vil vi bruke kostnadsfunksjonen K gitt ved 3 0,001 0,3 30, 0,50 K x x x x x Bakeriet selger alle kakene for 15 kroner per stykk. Inntektsfunksjonen I er da gitt ved 15 b) Tegn grafene til K og I i samme koordinatsystem. Bestem hvilke produksjonsmengder som gir overskudd, og hvilke som gir underskudd. I x x Jeg har brukt kommandoen «Skjæring mellom to objekt» for å finne skjæringspunktene mellom grafene. For x -verdier mellom 63 og 37 ligger grafen for inntektsfunksjonen over grafen for kostnadsfunksjonen. For de andre x -verdiene er det motsatt. Det betyr: Eksamen REA306 Matematikk S1, Høsten 013 Side 14

15 Det blir overskudd når det produseres mellom 63 og 37 kaker per dag. Det blir underskudd når det produseres mindre enn 63 eller flere enn 37 kaker per dag. c) Bruk derivasjon til å bestemme hvor mange kaker som bør produseres dersom overskuddet skal bli størst mulig. Jeg definerer overskuddsfunksjonen Ox som Jeg finner ved regning i CAS, se utklipp, at det bør produseres 171 kaker for at overskuddet skal bli størst mulig. Hva er det største overskuddet bakeriet kan oppnå per dag når vi bare ser på kakeproduksjonen? Regningen i CAS viser at dette største overskuddet er på 107 kroner Som et ekstra tilbud til kundene vurderer bakeriet å sette ned prisen per kake. d) La prisen per kake være p kroner. Bestem den minste verdien p kan ha dersom det skal være mulig å oppnå balanse mellom kostnader og inntekter? Hvor mange kaker bør lages og selges per dag når p har denne verdien? Jeg definerer glideren p 15. Jeg omdefinerer inntektsfunksjonen slik at Ix p x. Når p 15 har vi samme situasjon som ovenfor. Se grafen nedenfor hvor også grafen til overskuddsfunksjonen er tegnet. Når vi reduserer prisen, for eksempel setter p 9, ser vi at området som gir overskudd skrumper Eksamen REA306 Matematikk S1, Høsten 013 Side 15

16 inn og overskuddet avtar. Grafene tangerer når p 7,5. Når prisen er redusert til 7,5 kroner, er overskuddet redusert til null, og kakeproduksjonen går akkurat i balanse. Det produseres og selges da 150 kaker per dag. Oppgave 7 (7 poeng) Silje lager to typer syltetøy. Type 1 inneholder 90 % bær og 10 % sukker. Type inneholder 40 % bær og 60 % sukker. Syltetøyet skal fylles på glass, og et fullt glass skal inneholde 1 kg syltetøy. Hun har 0 kg bær og 5 kg sukker som hun skal lage syltetøy av. a) Hvor mange glass av hver type må hun lage for å få brukt opp 0 kg bær og 5 kg sukker? Jeg lager en tabell for å få oversikt Type 1 x Type y Sum Bær 90 % 40 % 0 kg Sukker 10 % 60 % 5 kg Jeg lar x være antall glass av type 1 og y antall glass av type. For å få brukt opp 0 kg bær og 5 kg sukker må 0,9x 0,4y 0 og 0,1x 0,6y 5 Punktet 0,5 tilfredstiller begge likningene som grafen viser. For å få brukt opp 0 kg bær og 5 kg sukker må Silje lage 0 glass av type 1 og 5 glass av type. Eksamen REA306 Matematikk S1, Høsten 013 Side 16

17 b) Hun kan selge syltetøyet av type 1 for 80 kroner per glass og syltetøyet av type for 40 kroner per glass. Hvilken inntekt får hun i dette tilfellet? Hun får da inntekten I0, kroner Forklar ved å bruke lineær optimering at dette er den største inntekten hun kan oppnå. Jeg skraverer området for mulige verdier av x og y. Det vil si det områder som oppfyller kravene 0,9x0,4y 0 0,1x0,6y 5 x0 og y 0 Jeg setter inntekten i 000 som en glider i GeoGebra. Så setter jeg i 80x 40y Jeg endrer glideren og ser grafisk at når grafen som viser inntekten skal skjære det skraverte området, så blir inntekten størst når x 0 og y 5 Det viser at den største inntekten hun kan oppnå er 1800 kroner. Helsemyndighetene foreslår å øke sukkerprisen slik at syltetøy av type blir dyrest. c) Når Silje skal lage mer syltetøy, kjøper hun bær for 30 kroner per kilogram. Det skal koste 5 kroner mer per glass å lage syltetøy av type enn av type 1. Undersøk hva prisen per kilogram sukker da må være. Jeg setter prisen per kg sukker til z kroner. Prisen for å lage ett glass av type 1 blir da 0,930 0,1 z kroner. Prisen for å lage ett glass av type blir da 0,430 0,6 z kroner. Når det skal koste 5 kroner mer å lage ett glass av type, må 0,930 0,1z50,430 0,6 z Jeg løser likningen ,6 z 0,1z 0 0,5z z 40 Prisen per kg sukker må være 40 kroner. Eksamen REA306 Matematikk S1, Høsten 013 Side 17

18 Kilder Oppgavetekst med grafiske framstillinger: Utdanningsdirektoratet Eksamen REA306 Matematikk S1, Høsten 013 Side 18