R1 eksamen høsten 2015 løsning

Transkript

1 R1 eksamen høsten 15 løsning Løsninger laget av Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene a) f x x x f x x ( ) x 5 b) g( x) 3 ( x ) 4 Vi bruker kjerneregelen på 4 4 x og setter hu u og ux Det gir 3 h u u 4u x 3 8xx g x x x x x c) h( x) x ln( x 3) Vi bruker produktregelen for derivasjon, uv u v. Vi finner først v ved å bruke kjerneregelen på Vi setter g u lnu og ux 3 ln x 3. Det gir 1 guu x u x x 3 x Det betyr at v lnx 3 x 3. x x h x x lnx 3 x lnx 3 1lnx 3 x ln x 3 x 3 x 3 Eksamen REA3 Matematikk R1 Høsten 15 Side 1 av 16

2 Oppgave (3 poeng) Funksjonen f er gitt ved D f( x) x e x, f Tegn fortegnslinjen til f ( x). 1 x x 1 x x x 1 f x e x e e xe e x Vi har at faktoren. x e vil være positiv for alle verdier av x og at f x for x 1 Videre vil faktoren 1 x for x 1 og 1 x for x 1. Det betyr at grafen til f er stiger for x 1 og synker for x 1. Vi har altså et toppunkt for x 1 1 Oppgave 3 (5 poeng) Funksjonen f er gitt ved f x x x kx D 3 ( ) 6, f a) Bestem k slik at divisjonen f x : x 1 går opp. Dersom divisjonen f x : x 1 skal gå opp må f Vi setter 1 x inn i polynomet og får k 1 6 k 5 1 f k1 6 I resten av oppgaven bruker vi denne k -verdien. Eksamen REA34 Matematikk R1 høsten 15 Side av 16

3 b) Faktoriser f x i lineære faktorer. 3 x x 3 x x x x x x 5 6 : 1 6 x x 5x x 6x 6 6x 6 Det betyr at f x x x 6x 1 Vi kan nå faktorisere andregradspolynomet ved hjelp nullpunktmetoden. x x x x x x 3 1 Det betyr at x x x x f x x 3x 1x 6 3. Fullstendig faktorisering av tredjegradsuttrykket blir c) Løs ulikheten fx. f x x 3 x 1 x Tegner fortegnskjema Vi finner at f x for x1 x 3 Eksamen REA34 Matematikk R1 høsten 15 Side 3 av 16

4 Oppgave 4 ( poeng) Skriv så enkelt som mulig 3 1 lg( a b ) lg lg b b a 3 lg a lg b lg1 lg b lg b lg a lg a 3lg b lg b lg b lg a 3lg a Oppgave 5 (7 poeng) Funksjonen f er gitt ved f x x x x 4 3 ( ) 4,, 4 a) Bestem eventuelle nullpunkter til f f x 4 3 x x 4 3 x x 4 3 x x 4 x x 4 Vi ser at x 4 ligger utenfor definisjonsområdet. Det eneste nullpunktet i intervallet x, 4 er dermed, f, b) Bestem eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f. Vi setter f x 3 4x 1x og finner eventuelle topp- og bunnpunkter. 4x x 3 x x 3 Vi ser at begge verdiene ligger i definisjonsområdet. Vi tegner et fortegnsskjema for å avgjøre hva som er eventuelle topp- og bunnpunkter. 3 Vi ser at det er et terrassepunkt for x og et toppunkt for x f Grafen til f har et toppunkter i 3, f 3 3, 7 Eksamen REA34 Matematikk R1 høsten 15 Side 4 av 16

5 c) Bestem eventuelle vendepunkter på grafen til f. Vi setter f x 1x 4x 1x x og finner eventuelle vendepunkter. x x Vi ser at begge verdiene ligger i definisjonsområdet. For å ha et vendepunkt må vi ha et fortegnsskifte der f x vendepunkter.. Vi tegner et fortegnsskjema for å avgjøre om vi har f Vi ser at det er vendepunkter for x og x. 4 3 f Grafen til f har vendepunkter i, f, og i, f, 16 d) Lag en skisse av grafen til f. Nedenfor har vi tegnet grafen til f i GeoGebra. Du må jo tegne skissen på ark. I skissen må du ta med punktene som er funnet i a), b) og c). Vi må huske å tegne skissen i sitt definisjonsområdet dvs. i intervallet, 4. Vi regner ut f selv om f ikke er definert for denne verdien. 4 3 f Eksamen REA34 Matematikk R1 høsten 15 Side 5 av 16

6 Oppgave 6 (3 poeng) Skissen viser en sirkel med sentrum i S. Punktene A, B, C og D ligger på sirkelen. BD er en diameter. Vi setter BDC 5, BAC u og CBD v. Bruk et geometrisk resonnement til å bestemme størrelsen på vinklene u og v. Vinkel u er en periferivinkel som spenner over samme bue som BDC, så da er også u 5. S D C BCD 9 da det er en periferivinkel som spenner over en bue på 18, Thales setning. A u B v Det betyr at v Oppgave 7 (4 poeng) På en skole er 6 % av elevene jenter. 7 % av jentene og 55 % av guttene har blå øyne. Vi trekker ut en tilfeldig valgt elev ved skolen. Denne oppgaven kan løses på flere måter for eksempel ved krysstabell, valgtre eller ved å bruke Bayes setning. Vi velger å løse oppgaven ved å bruke krysstabell. Vi vet at 6 % av elevene ved skolen er jenter. Det betyr at det er 4 % gutter. Videre har 7 % av jentene blå øyne. Andel jenter med blå øyne er da 7 % av 6 % dvs. 4 %. Videre har 55 % av guttene blå øyne, dvs. 55 % av 4 % som gir %. Vi fyller så ut resten av tabellen. Gutt Jente Sum Blå øyne % 4 % 64 % Ikke blå øyne 18 % 18 % 36 % Sum 4 % 6 % 1 % a) Bestem sannsynligheten for at eleven har blå øyne. Vi ser fra tabellen at det er 64 % sannsynlighet for at eleven har blå øyne. b) Eleven som er trukket ut, har ikke blå øyne. Bestem sannsynligheten for at eleven er en gutt. Vi ser av tabellen at det er 36 % av elevene som ikke har blå øyne. 18 % av disse er gutter. Sannsynligheten for at denne eleven er en gutt er dermed 5 %. Eksamen REA34 Matematikk R1 høsten 15 Side 6 av 16

7 Oppgave 8 (5 poeng) a) Konstruer en ABC slik at AB 1, cm, BC 7, cm og AC 11, cm. Vi tegner en rett linje og setter av linjestykket AB 1 cm. Vi slår så en halvsirkel om punkt A med radius 11, cm og en halvsirkel om punkt B med radius 7, cm. Punktet C framkommer som skjæringspunkt mellom sirklene. Vi trekker linjene AC og BC. En skjæringssetning sier at halveringslinjene til de tre vinklene i trekanten skjærer hverandre i ett punkt. b) Demonstrer denne setningen ved å konstruere halveringslinjene til vinklene i ABC. Vi konstruerer halveringslinjene og finner skjæringspunktet S. Se konstruksjon på figur til høyre. Halveringslinjene skjærer hverandre i punktet S. c) Konstruer normalene fra S ned på hver av sidekantene i ABC. Fotpunktene til normalene kaller vi D, E og F. Se figur i oppgave d) d) Forklar at SD SE SF. Konstruer den innskrevne sirkelen i ABC. Punktene som danner halveringslinjene til vinklene ligger like langt fra vinkelbeina til den vinkelen de halverer. Dermed ligger skjæringspunktet S like langt fra alle sidene i trekanten, dvs. SD SE SF. Konstruerer den innskrevne sirkelen med radius SD og sentrum i S. Eksamen REA34 Matematikk R1 høsten 15 Side 7 av 16

8 Oppgave 9 ( poeng) Løs likningen lg( x) lg x x lg x 4 4 lg x lg x x x lg x 4lg x lg x lg x lg x lg x x x lg x 1 1 x 1 x x x x x x x x 1 Begge løsningene passer i den opprinnelige ligningen. Eksamen REA34 Matematikk R1 høsten 15 Side 8 av 16

9 Tid: timer Hjelpemidler: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave 1 (5 poeng) I 196 var folketallet på jorden 3, milliarder. I 13 var folketallet 7,1 milliarder. En god modell for utviklingen av folketallet er funksjonen f gitt ved ( ) e k f t c t der c og k er konstanter og tiden t er antall år etter 196. a) Bestem konstantene c og k. På bakgrunn av opplysningene i oppgaven kan vi sette opp følgende to likninger f 3, f 53 7,1 Vi bruker GeoGebra og løser likningssettet med kommandoen «Løs[<Liste med likninger>, <Liste med variabler>]» Vi finner konstantene c3 og k,163 b) Når vil folketallet passere 1 milliarder ifølge denne modellen?.163 t Vi setter inn konstantene vi fant i a) og løser likningen 3e 1 Vi finner at ca. 74 år etter 196 dvs. i 34 vil folketallet passere 1 milliarder. Vær Eksamen REA34 Matematikk R1 høsten 15 Side 9 av 16

10 oppmerksom på at antall desimaler du bruker for konstanten k gjør relativt store utslag på svaret. c) Forklar at folketallet stiger med en fast prosent hvert år ifølge modellen. Bestem denne faste, årlige prosenten. kt k Vi kan skrive funksjonsuttrykket som t ce c e. Vi ser da at funksjonsuttrykket er en k konstant c multiplisert med tallet e opphøyd i tiden t. Det betyr at vi har en k eksponentialfunksjon med vekstfaktor e. Vi finner vekstfaktoren 1,164. Det gir en årlig prosent på 1,64% Oppgave (6 poeng) I et koordinatsystem er punktene 1,, 7, 1 og 5, 8 A B C gitt. a) Bestem CB og CA og ACB 7 5, 1 8, 9 CA 1 5, 8 6, 8 CB For å finne ACB bruker vi kommandoen «Vinkel[<Vektor>, <Vektor>]» Legg merke til at vi bruker / bak kommandoen for å få svaret i grader. Vi finner at ACB er 49,4 Eksamen REA34 Matematikk R1 høsten 15 Side 1 av 16

11 b) Bestem arealet til ABC. Vi bruker arealsetningen for trekanter. I linje 4 har vi brukt arealsetningen for trekanter. Legg merke til at vi må bruke gradetegnet i formelen. Vi finner at arealet til ABC er 35. c) Bruk vektorregning til å bestemme koordinatene til et punkt E på x -aksen slik at CE AB E x, da punktet ligger på x aksen. Vi har at Videre er CE AB som gir at skalarproduktet AB CE. Vi gjør utregningen i CAS, se nedenfor. Punktet E har koordinatene E 4, Til høyre har vi laget en skisse. Det er alltid lurt Eksamen REA34 Matematikk R1 høsten 15 Side 11 av 16

12 Oppgave 3 (5 poeng) På figuren nedenfor ser du grafen til funksjonen f gitt ved f x x x 3 3 ( ) 4,15, 4 Rektangelet OABC er laget slik at B ligger på grafen til f. a) Vis at arealet G til rektangelet kan skrives som 4 4,15 G x x x Vi har at arealet G av rektangelet er gitt ved G x x f x x x x x 3 4 4,15 4,15, som skulle vises. b) Bestem x slik at rektangelet får areal lik 5,. Vi løser likningen Gx 5, Vi finner at arealet har areal lik 5, når x1,36 x,53 Eksamen REA34 Matematikk R1 høsten 15 Side 1 av 16

13 c) Bestem det største arealet rektangelet kan ha. Vi finner eventuelle ekstremalpunkt i definisjonsområdet. Vi finner et ekstremalpunkt, 6, se linje 3. I linje 4 og 5 sjekker vi at det er et toppunkt. Det største arealet rektanglet kan ha er 6, Vi kunne også ha funnet svarene i b) og c) grafisk, se graf til høyre. I denne oppgaven er det ingen krav til at vi må finne svarene ved regning. Uansett er det viktig å forklare hva du gjør, hvordan du gjør det og hvorfor du gjør det. Eksamen REA34 Matematikk R1 høsten 15 Side 13 av 16

14 Oppgave 4 (8 poeng) Funksjonen f er gitt ved f( x) x 3 4x 9x 8, Df a) Bruk graftegner til å tegne grafen til f. Vi bruker GeoGebra og tegner grafen til f En linje skjærer grafen til f i punktene ( 3, 8) og (, ). b) Bestem det tredje skjæringspunktet mellom grafen til f og linjen. Hva blir summen av x-koordinatene til de tre skjæringspunktene? Vi legger inn punktene i samme koordinatsystem som grafen til f og tegner en linje gjennom punktene. Vi bruker kommandoen «skjæring mellom to objekt» og finner det tredje skjæringspunktet, 5, 8. Summen av x koordinatene blir 53 4 Eksamen REA34 Matematikk R1 høsten 15 Side 14 av 16

15 Funksjonen g er gitt ved g() x x 3 ax bx c En linje går gjennom punktene ( s, g( s )) og ( t, g( t )). c) Bruk CAS til å bestemme likningen for linjen, uttrykt ved s, t, a, b og c. Her det lurt (viktig) å velge en ny GeoGebra for å unngå konflikter med tidligere brukte variabler. Vi definerer funksjonen g og finner et uttrykk for linjen gjennom de to oppgitte punktene ved kommandoen «Linje[<Punkt>, <Punkt>]»,se linje 1 og. Likningen for linjen ser vi i linje ovenfor. d) Bruk CAS til å bestemme x-koordinaten til det tredje skjæringspunktet mellom grafen til g og linjen. Bestem summen av x-koordinatene til de tre skjæringspunktene. For å finne det tredje skjæringspunktet setter vi utrykkene i linje 1 og ovenfor lik hverandre, se linje 3 nedenfor. Vi ser at det tredje skjæringspunktet har x -koordinaten, x a s t Summen av de tre x -koordinatene er a, se linje 4 ovenfor. Eksamen REA34 Matematikk R1 høsten 15 Side 15 av 16

16 Bildeliste Bilder, tegninger og grafiske framstillinger: Utdanningsdirektoratet Eksamen REA34 Matematikk R1 høsten 15 Side 16 av 16