Funksjoner 1T, Prøve 1 løsning

Transkript

1 Funksjoner 1T, Prøve 1 løsning Del 1 Tid: 60 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave 1 Figuren viser utviklingen i en populasjon av harer på en øy fra 1880 til 000. a) Hvor mange harer var det på øya i 1880? Vi leser av på grafen. Det var 100 harer i b) Når var det 300 harer på øya? Avlesning viser at ca. 36 år etter 1880, altså i 1916, var det 300 harer. 1

2 c) Hvor mye vokste harebestanden fra 1880 til 1900? Harebestanden vokste med100 dyr. Bestanden ble altså doblet. d) Bestem gjennomsnittlig veksthastighet fra 1880 til Gjennomsnittlig veksthastighet var 100harer 5 harer/år. 0 år e) Bestem den største momentane veksthastigheten ved å lese av på grafen. Vi flytter en tangent langs grafen og finner den tangenten som har høyest stigningstall. Se grafen. Den største momentane veksthastighet er ca. 00 harer 6,5 harer/år. 3 år Oppgave Gitt funksjonen 3 f x x 3x. a) Bestem koordinatene til skjæringspunktet mellom grafen til f og y-aksen. Skjæringspunktet har koordinatene b) Finn f x og tegn fortegnskjema til f x på grafen til f f x x x x 0, 0 0, f.. Bruk dette til å finne eventuelle topp- og bunnpunkter 0 0 Funksjonen har toppunkt 1, f 1 1, 4 og bunnpunkt 1, 1 1, 0 f. c) Lag en skisse av grafen til f for x,. Bruk grafen til å bestemme funksjonens nullpunkter.

3 Nullpunktene er,0 og 1,0. d) Finn gjennomsnittlig veksthastighet fra x til x 0 både grafisk og ved regning. Grafisk. Vi finner stigningstallet for sekanten gjennom punktene A og B, se figuren. Gjennomsnittlig veksthastighet blir 1. Ved regning finner vi f f Oppgave 3 Tabellen under viser hvordan gjennomsnittshøyden på norske rekrutter har endret seg fra 1910 til År Gjennomsnittshøyde (cm) ,4 173,8 176, 177,1 178,7 179,4 179,7 3

4 a) Plott punktene i et koordinatsystem med passende enheter. b) Finn en lineær modell som viser utviklingen av rekrutthøyden. La x være antall år etter 1910 og f x rekrutthøyden i cm. Trekker ei linje som passer godt til punktene. Linja skjærer y -aksen i 0,171 og går gjennom 80,180. Vi får da denne lineære modellen: f x x 171 0,11x c) Hvilken gjennomsnittshøyde kan vi forvente i 00 ifølge modellen? Finn svaret både grafisk og ved regning. Ved regning f 110 0, ,1. Avlesning gir 110,183,4. Ifølge modellen kan vi forvente en gjennomsnittshøyde på litt over 183 cm i 00. 4

5 Del Tid: 60 min Hjelpemidler: Alle hjelpemidler. Ikke Internett eller andre former for kommunikasjon. Oppgave 4 Figuren viser to trekanter. Summen av grunnlinjen og høyden er lik 10 for begge trekantene. a) Sett grunnlinja lik x og finn et uttrykk for høyden i en trekant der summen av grunnlinja og høyden er lik 10. Vis at x h 10 h 10 x 1 A x x 5x er et uttrykk for arealet i slike trekanter. 10 x 1 gh x A x x 5x b) Forklar at definisjonsområdet til A x er DA 0,10 og tegn grafen til A x i definisjonsområdet. Bestem så verdimengden, V. A Både grunnlinja og høyden må være større enn 0 for at vi skal en trekant. Dermed er D 0,10. A 5

6 VA 0,1,5 c) Hvor lang må grunnlinja være for at arealet skal bli 8? Grunnlinja kan ha lengden eller lengden 8 for at arealet skal bli 8. d) Hvor stort blir arealet dersom høyden er lik grunnlinja? Da er både grunnlinja og høyden lik 5. Finner Arealet er 1,5 når høyden og grunnlinja er like. A 5 1,5. 6

7 Oppgave 5 Gitt funksjonen 4 f x x 6x 1 x,. Grafen til funksjonen er tegnet i figuren. Der er det også tegnet en trekant ABC som har hjørner i ekstremalpunktene til f x. a) Bestem arealet til trekanten ABC ved regning. Vi må finne koordinatene til ekstremalpunktene. Bruker CAS i GeoGebra. Deriverer og setter den deriverte lik 0: Regner så ut funksjonsverdien til disse x-verdiene: 7

8 1 Arealet til trekanten blir: b) Tegn selv grafen til f og grafen til f i samme koordinatsystem. c) Forklar hvordan du kan bruke grafen til den deriverte til å bestemme x -verdien til det punktet der grafen til f stiger mest. Bestem koordinatene til dette punktet som du kan kalle D. 8

9 Punktet D har samme x -koordinat som toppunktet til den deriverte. Koordinatene til 1, f 1 1, 4 D (se grafen). d) Bestem likningen til tangentene til f i D og undersøk om grafen til f har en tangent til som er parallell med tangenten i D. Likningen er y 8x 4 (se grafen). Vi vet at f 1 8. For å undersøke om det finnes en parallell tangent til tangenten i D, setter vi den deriverte lik 8 og løser i CAS i GeoGebra: Siden funksjonen ikke er definert for x, finnes det ikke en tangent som er parallell med tangenten i D. 9