R1 kapittel 4 Funksjonsdrøfting. Løsninger til oppgavene i boka ( 1) 5 ( 2) = = = = = = = ( ) 1 1. f ( a)

Transkript

1 R kapittel 4 Funksjonsdrøfting Løsninger til oppgavene i boka 4. a 4 f( ) f ( ) 4 4 b g ( ) 6 c d e f 4. a b c d e f 4. a g ( ) 0 h ( ),8 4 h ( ),8,8 i ( ),8,8 i 0 ( ) j ( ) π j ( ) 0 k ( ) k ( ) f( ) 4 5 f ( ) 4 ( ) f 4 4 () 4 f 4 4 ( ) 4 ( ) f () 8 ( ) f ( ) 8 ( ) f ( a) ( a) 5 a 5,4 f( ) f ( ), 4, 4,4,4 b f (), 4 ( ),4, 4, 4 Aschehoug Side av 47

2 c 4.4 Løsninger til oppgavene i boka Svaret forteller at planten vokser med en fart på,4 cm i uka én uke etter at den er plantet. Den momentane vekstfarten er altså,4. a ( ) b ( ) 4.5 a f( ) ln f ( ) f '(5) 0, 5 b f () 0, Vekstfarten blir 0, når. c Stigningstallet til tangenten blir det samme som den momentane vekstfarten i punktet der. f Stigningstallet blir altså. 4.6 a f( ) e f ( ) e f 0 (0) e b Svaret forteller at den momentane vekstfarten er når 0. Stigningstallet til tangenten i punktet der 0 er også. 4.7 a f + ( ) 4 5 ( ) ( ) f ( ) Aschehoug Side av 47

3 b c 4.8 g ( ) 5 ( ) ( ) g ( ) h ( ) h ( ) ( ) 5 5 ( ) ( ) a f( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) 6 Aschehoug Side av 47

4 b g ( ) 4 c 4.9 a g ( ) 4 ( ) ( ) h ( ) ( ) ( ) h ( ) f( ) e f ( ) e e ( ) ( ) Aschehoug Side 4 av 47

5 b c 4.0 a b g ( ) 5ln g ( ) 5 ( ln ) h ( ) 5 lg h ( ) 5 ( ) ( lg ) 5 ln0 0 ln0 Ar () πr A () r π ( r ) π r πr Den deriverte til arealet av en sirkel blir dermed omkretsen av sirkelen. 4 V() r πr 4 V () r π ( r ) 4 π r 4πr Den deriverte til volumet av en kule blir dermed overflaten av kula. 4. a Farten vt () måles i meter per sekund m/s. b st ( ) 5,0t t vt ( ) s ( t) 0t v(5) Farten etter 5 sekunder blir 8 meter per sekund. Løsninger til oppgavene i boka Aschehoug Side 5 av 47

6 c 4. st t + t t+ ( ) 0,00 0, 5 0, 0,50 vt s t t + t ( ) ( ) 0,00 0,50 0,0 ( ) v(,0) 0,00,0 + 0,50,0 0,0 0, 0 + 0,50 0, 0 Løsninger til oppgavene i boka 0, 7 Farten etter sekund blir 0,7 meter per sekund, og gjenstanden står dermed i ro. a f( ) f ( ) b g ( ) + g ( ) c h ( ) + h ( ) + d i ( ) 4ln i ( ) 4 ( ln ) a b f( ) 5e ( ) f ( ) 5 e 5e g 4 ( ) 5 4 ( ) ( ) g ( ) c h ( ) π h ( ) 0 5 Aschehoug Side 6 av 47

7 d i ( ) i ( ) 8 ( ) a f( ) 0,75 f ( ) 0 b c d 4.5 a g ( ) 0,05 g ( ) 0,05 ( ) 0,05 0, h ( ) 0,5 h ( ) 0,5,, ( ) 0,5,, 6, i ( ) 0,0 i ( ) 0,0 ( ) 0,0 0,06 ( ) 0,5, f + ( ) ( ) f ( ) 0,5 + 0,5 + + Aschehoug Side 7 av 47

8 b c g ( ) 0, 0,5 ( ) ( ) g ( ) 0, 0,5 0, h ( ) h ( ) 0, 0,5 ( ) 5 4 d i ( ) i ( ) ( ) + ( ) a st t t () 5 6 ( ) ( ) s () t 5 t 6 t 5 t 6 0t 6 b vt ( ) 0t + 5 v ( t) 0 c vt () 5 v () t 0 d s() t gt s () t g ( t ) g t gt 4.7 a f( ) 5 + f ( ) 0 + f () 0 + Aschehoug Side 8 av 47

9 b f( ) 7 f ( ) f () c f( ) 8e f ( ) 8e f () 8e d f( ) 6ln f ( ) f () 4.8 a Vi tegner grafen i GeoGebra. b Vi løser oppgaven med CAS: c g (7) 0 forteller oss at energibehovet til en 7 år gammel gutt er 0 kj per døgn. g (7) 55 forteller oss at for en 7-åring så øker energibehovet med 55 kj per døgn i året. Aschehoug Side 9 av 47

10 4.9 Momentan vekstfart når tilsvarer å regne ut f (). f( ) 4 + ln f ( ) 4 ( ) + ( ln ) f () Vi løser oppgaven med GeoGebra. Vi skriver først inn funksjonen f( ) i inntastingsfeltet. Vi skriver deretter inn f ( ) i inntastingsfeltet og lar GeoGebra regne ut den deriverte. 4. a f + ( ) 4 f ( ) 4 f ( ) 4 b ( ) 4 6 f ( k) k 4 c ( ) k 4 Aschehoug Side 0 av 47

11 ( + ) + 4 d f k ( k ) k + 4 k e f '( ) f Løsningen forteller oss at når 7, er den momentane vekstfarten a f( ) 4 f ( ) ( ) f () Løsninger til oppgavene i boka Aschehoug Side av 47

12 4 ( ) ln t t f ( t) 4 ( ln t) t b f t c d ( t ) ( t) 4 ln 4 t t 8t t 8 t t 8 t t 8 ( ) f () f ( ) a + b + c f ( ) a ( ) + b ( ) + ( c) a + b a + b f () a + b 4a + b 4 f( ) ln 4ln f ( ) 4 ln f () ( ) Aschehoug Side av 47

13 4. Vi løser oppgaven i CAS. Først skriver vi inn funksjonsuttrykkene. Vi finner den deriverte av begge uttrykkene, og vi setter disse uttrykkene lik hverandre. Vi løser denne likningen og får alderen de har like stor økning. Ved en alder på, år er økningen i energibehov lik for gutter og jenter. 4.4 Den deriverte av f blir en førstegradsfunksjon med positivt stigningstall. Det vil si at grafen er lineær og stiger, noe som passer med graf 4. Den deriverte av g blir en førstegradsfunksjon med negativt stigningstall. Det vil si at grafen er lineær og synker, noe som passer med graf. Den deriverte av h blir en andregradsfunksjon. Det vil si at grafen buer, noe som passer med graf. Den deriverte av i blir en konstant. Grafen vil dermed være en vannrett linje, noe som passer med graf. Aschehoug Side av 47

14 4.5 a f( ) ln f ( ) ln ( ) ( ) f ( ) f () ln 0 (, ) Løsninger til oppgavene i boka b f ( ) 5 5 Dette ser vi ikke er en gyldig løsning siden vi ikke kan sette inn i funksjonsuttrykket. Da får vi den naturlige logaritmen til et negativt tall, og den verdien eksisterer ikke. 4.6 a f ( ) ne n 0 e n 6 ( ) ( ) f ( ) n e n n e n ne n f (0) 6 n n n 6 n 6 n 6 Aschehoug Side 4 av 47

15 b Vi har uttrykket f ( ) ne n. Vekstfarten skal være n. Vi setter dermed f ( ) n og får denne likningen: ne n n ne n : n e ln e ln ln 4.7,6 a f( ),6,6 f() b Tangeringspunktet blir (, ). ( ) f ( ),6,6,6,6 f (),6,6,6 Tangenten har stigningstallet,6. y f f ( ) ( ) ( ) ( ) y,6 y,6,6 + y,6,6 Vi bruker kommandoen Tangent[ <-verdi>, <Funksjon> ] i CAS: c Vi tegner grafen i GeoGebra. Vi bruker kommandoen Tangent[ <Punkt>, <Funksjon> ] i inntastingsfeltet for å tegne tangentene: Aschehoug Side 5 av 47

16 4.8 a g ( ) 6 g(6) Tangeringspunktet blir (,6 ). g ( ) 6 g ( ) 6 ( ) 6 6 g (6) 6 6 Tangenten har stigningstallet. ( ) ( ) ( ) y f f Aschehoug Side 6 av 47

17 b y 6 ( 6) y y + 8 Vi bruker kommandoen Tangent[ <-verdi>, <Funksjon> ] i CAS: 4.9 a h ( ) h () Tangeringspunktet blir (, ). b h + ( ) 8 4 h + + () Tangenten har stigningstallet. ( ) ( ) ( ) y f f ( ) ( ) y y + + y + 4 Vi bruker kommandoen Tangent[ <-verdi>, <Funksjon> ] i CAS: c Vi tegner grafen i GeoGebra. Vi bruker kommandoen Tangent[ <Punkt>, <Funksjon> ] i inntastingsfeltet for å tegne tangentene: Aschehoug Side 7 av 47

18 4.0 a i + ( ) 4 ia a a ( ) 4 + Tangeringspunktet blir ( a,a 4a ) i ( ) 6 4 i ( a) 6a 4 +. Tangenten har stigningstallet 6a 4. ( ) ( ) ( ) y f f ( 4 ) ( 6 4) ( ) y a a + a a ( ) ( ) ( ) ( 6 4) y a + a a a a y a a + a + a a y a a + Aschehoug Side 8 av 47

19 b Stigningstallet gir 6a 4 6a + 4 a a a Vi bruker kommandoen Tangent[ <-verdi>, <Funksjon> ] i CAS: b 4. Uttrykket skriver vi y + ln a a Stigningstallet gir a a a ( ) f ( ) + 6 f () Tangeringspunktet blir (,). Aschehoug Side 9 av 47

20 4. Tangeringspunktet blir (, 5). 4.4 a Vi løser oppgaven med CAS i GeoGebra: Aschehoug Side 0 av 47

21 b Vi setter k 6 inn i uttrykket. c Tangeringspunktet blir ( 6,97 ). 4.5 a Vi løser oppgaven med CAS i GeoGebra: Aschehoug Side av 47

22 b k kan altså være både og 7. Vi tegner grafen til h ( ) + ki GeoGebra. Vi lager en glider for k. Vi tegner grafen til tangenten y + 5 i samme koordinatsystem. Vi beveger deretter glideren til y blir en tangent til grafen til h. Mulighet I: Aschehoug Side av 47

23 Mulighet II: 4.6 Uten hjelpemidler: a g ( ) g ( ) g ( a) a Stigningstallet til tangenten blir altså. a Andrekoordinaten til tangeringspunktet blir ga ( ). a Ettpunktsformelen gir y g( ) g ( ) ( ) y ( a) a a y + + a a a y + a a. b Vi finner koordinaten til A når tangenten skjærer -aksen, altså når y a a a a a Aschehoug Side av 47

24 A har koordinatene ( a,0). Vi finner koordinatene til B når tangenten skjærer y-aksen, altså når 0. y 0 + a a y a B har koordinatene 0, a. Løsninger til oppgavene i boka c Arealet av OAB finner vi ved å gange OA med OB og dele svaret på, formelen for arealet av en trekant. a OA OB 4 OAB a Vi ser at arealet er uavhengig av a og dermed konstant lik. Med hjelpemidler: a Vi løser oppgaven i CAS i GeoGebra: b Vi ganger inn i parentesen og forkorter uttrykket til y a a + a. Vi fortsetter i CAS og setter 0 i likningen for y. Vi løser likningen med hensyn på y og får y-koordinaten til B. Vi setter så y 0 i likningen for y og løser likningen i CAS. Vi får -koordinaten til A. Vi får koordinatene A ( a,0) og B 0, a. Aschehoug Side 4 av 47

25 c Vi finner arealet av trekanten i CAS ved å gange -verdien (lengde) med y-verdien (høyde) med 0,5: Arealet er altså, og arealet er konstant. 4.7 a Vi løser oppgaven med CAS i GeoGebra: b Vi omformer likningen for y. y ( a) + a a a y + + a a a y + + a a a y + a a Vi bruker CAS og finner koordinatene til A og B. Vi finner til slutt arealet av trekanten ved formelen areal l b. Aschehoug Side 5 av 47

26 c A OAB 9 4a 4a 9 a a Vi leser av figuren at tangenten skjærer y-aksen i 0,6 og har stigningstallet 0,4. y a + b y 0, 4 0,6 b Vi leser av figuren at tangenten skjærer y-aksen i 0,6 og har stigningstallet,. y a + b y, 0, 6 c Tangenten i punktet (, f () ) har ikke noe stigningstall siden punktet er et bunnpunkt. d e 4.9 a Tangenten skjærer y-aksen i 0. y a + b y 0 0 y 0 Grafen til funksjonen stiger i punktet. Dermed har den deriverte positivt fortegn. Grafen til funksjonen synker i punktet. Dermed har den deriverte negativt fortegn. f f ( ) () Aschehoug Side 6 av 47

27 b f ( ) ( ) ( ) + ( 6) + ( ) + 6 c ( ) f () y f f y f ( ) f ( ) ( ) y 7 4 ( ) y y 4 d ( ) ( ) ( ) 4.40 a g ( ) 0 ln g() 0 ln b g ( ) 0 ( ) ( ln ) c 0 0 g () y g g y 0 9 ( ) y y 9 + d ( ) ( ) ( ) 4.4 Uten hjelpemidler: ( ) f + f ( ) f '(4) Vi bruker ettpunktsformelen. Aschehoug Side 7 av 47

28 ( 4) ( 4) ( 4) 5 5 ( 4) y f f y y y 5 5 Med CAS: 4.4 a Vi finner nullpunktene i CAS ved å sette uttrykket g ( ) 0. b Vi finner tangenten i CAS ved kommandoen Tangent[ <Punkt>, <Funksjon> ]. Grafen skjærer -aksen i nullpunktet ln. Tangenten har likningen y + ln. 4.4 Uten hjelpemidler: g ( ) + 4 g ( ) Vi setter den deriverte lik. Aschehoug Side 8 av 47

29 g ( ) Vi finner tilhørende y-verdier. g () ( ) ( ) g( ) Vi finner så tangenten i to punktene med ettpunktsformelen. ( ) ( ) ( ) 4 ( ) y g g y y + 4 y + ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( + ) y g g y y y + 6 Med hjelpemidler bruker vi CAS: Aschehoug Side 9 av 47

30 4.44 a Vi tegner en tangent på grafen i punktet 0,5, f ( 0,5) b c ( ) Løsninger til oppgavene i boka. Vi ser at denne tangenten har stigningstallet ca.,6 og skjærer y-aksen i ca.,7. Dermed har tangenten likningen y,6 +,7 Vi leser av grafen: A,5, 5 B 0, C,, 0 D, 0,8 E, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Vi skriver punktene inn i regnearket i GeoGebra, markerer punktene og bruker verktøyet Regresjonsanalyse. Vi velger Regresjonsmodell Polynom og Grad. d Vi får altså tredjegradsfunksjonen Vi kontrollerer svaret i CAS: f( ) 0,7,08 0,0 +. Svaret i oppgave a stemmer. Aschehoug Side 0 av 47

31 4.45 a Vi regner ut f (4) : b Vi regner ut f (4) : c y f ( 4) f ( 4) ( 4) y ( 4) y 48 + y 6 d Vi setter f ( ) 8. Vi bruker deretter kommandoen Tangent[ <Punkt>, <Funksjon> ] for å finne likningen for tangenten i punktet a Vi bruker CAS. Vi definerer funksjonen g [], Vi definerer likningen for tangenten som funksjonen h [], vi finner -koordinaten til tangeringspunktet ved å løse likningen g ( ) [], og til slutt finner vi de respektive k-verdiene ved å løse likningen g ( ) h ( ) [4]. Aschehoug Side av 47

32 b y + er en tangent til grafen hvis k 5 eller k 7. Vi tegner grafene i samme koordinatsystem i GeoGebra, med tangenten. Aschehoug Side av 47

33 4.47 a Vi definerer funksjonen i CAS. Vi bruker deretter verktøyet Faktoriser fra verktøylinja: b Nullpunktene finner vi med CAS, eller vi ser dem ut fra det faktoriserte uttrykket: Aschehoug Side av 47

34 c Vi finner tangenten i punktet P (, h( ) ) med CAS: d Vi setter funksjonsuttrykket h lik tangenten og må løse likningen h ( ) + 5. Denne likningen kan omformes. h ( ) e Vi løser likningen i CAS: Vi får dermed den andre løsningen 5. Punktet Q blir ( 5, 60 ). f Vi setter h ( ) lik stigningstallet til tangenten, som er. Det skjer altså også når. Punktet blir (,6 ) a Minimalpunkt for, der grafen går fra å synke til å stige. Maksimalpunkt for, der grafen går fra å stige til synke. b f er voksende for,. c f er minkende for,,. For eksempel: Aschehoug Side 4 av 47

35 4.49 a f( ) + 6 f + ( ) 6 ( ) + ABC ( )( ) + Vi lager fortegnslinje. Aschehoug Side 5 av 47

36 Vi får et toppunkt for. f ( ) ( ) ( ) ( ) Toppunktet har koordinatene (,0). Vi får et bunnpunkt for. f () ( ) ( ) ( ) 7 Bunnpunktet har koordinatene,. b f er voksende for,,. f er minkende for,. Aschehoug Side 6 av 47

37 c Vi tegner grafen i GeoGebra. Vi ser av grafen at utregningene stemmer. Aschehoug Side 7 av 47

38 4.50 Vi ser at funksjonen minker til venstre for ln, og at funksjonen stiger til høyre. Dermed har vi ln, ln. et bunnpunkt. Bunnpunktet har koordinatene ( ) 4.5 a f + ( ) 6 7 f + ( ) ( ) Vi løser likningen ( ) ( ) 4 ± ± 0 Vi regner ut y-verdien: med abc-formel og finner -verdien. Aschehoug Side 8 av 47

39 b () 6 7 f Det stasjonære punktet har koordinatene (, ). Vi lager fortegnslinje for den deriverte. Vi ser at den deriverte ikke skifter fortegn. Dermed har vi ikke noe ekstremalpunkt, men et terrassepunkt. c f er voksende for, og for,. Aschehoug Side 9 av 47

40 d Vi tegner grafen i GeoGebra. Vi ser at resultatene stemmer. Aschehoug Side 40 av 47

41 4.5 a Vi løser oppgaven med CAS: Vi deriverer først funksjonen før vi bruker verktøyet Faktoriser i verktøylinja på svaret. (4 + )(4 ) f ( ) b Vi finner monotoniegenskapene med CAS. Vi løser først likningen f ( ) 0. Siden må være større enn 0, er det bare for hvor den deriverte skifter fortegn. 4 Funksjonen minker for 0,. 4 Funksjonen vokser for,. 4 Aschehoug Side 4 av 47

42 c Vi ser at vi her har et bunnpunkt for. 4 Dette svaret omformer vi. ln ln + ln Bunnpunktet har altså koordinatene 4.5 a Vi løser oppgaven i CAS:, + ln 4. Aschehoug Side 4 av 47

43 b Vi ser at 00 er et toppunkt, og 00 er produksjonsmengden som gir mest overskudd. Dette overskuddet er 700 kr. Vi tegner grafen i GeoGebra. Vi finner toppunkt med kommandoen Ekstremalpunkt[<Funksjon>, <Start>, <Slutt>]. Størst overskudd ved produksjon på 00 enheter. Da er overskuddet 700 kr a Vi bruker CAS og finner ekstremalpunktet: Aschehoug Side 4 av 47

44 b Vi ser at ekstremalpunktet er et toppunkt. Ballen er høyest etter sekund. Vi finner høyden på ballen a Ballen kom 6,4 meter opp i lufta. At bæreevnen B er proporsjonal med bredden og kvadratet av høyden y, betyr at den kan skrives på formen B ( ) k y, der k er en positiv konstant. Pytagorassetningen forteller oss at + y 0. Det gir y 900. Vi får uttrykket ( ) ( ) B ( ) k 900 k 900. b Siden diameteren av røret er 0,0 cm, må definisjonsmengden være 0,0 B D. c Vi finner først bredden : Aschehoug Side 44 av 47

45 Vi får et toppunkt når 0 7,. Bredden er altså 7, cm når bærekraften er størst. Vi finner y ved hjelp av sammenhengen y kommandoen Løs[ <Likning>, <Variabel> ]: 900. Vi løser likningen i CAS med Høyden må være positiv, og den er altså 4,5 cm når bærekraften er størst a Bredden vil bli b 48. Lengden vil bli l 0. Høyden vil bli h. Volumet er gitt ved ( ) ( 0 ) ( 48 ) V l b h. b Vi løser oppgaven med CAS: Aschehoug Side 45 av 47

46 Vi får toppunktet for 6, siden det er her funksjonen går fra å vokse til minke c Det største volumet blir 888 cm. Det tilsvarer ca.,9 liter. Høyden i esken er 6 cm cm. Lengden i esken blir ( ) Bredden i esken blir 48 ( 6) 48 6 cm. Vi tegner en skisse i GeoGebra: Aschehoug Side 46 av 47

47 4.57 En tredjegradsfunksjon er på formen f ( ) a b c d Ut fra topp- og bunnpunktet, det generelle funksjonsuttrykket og at den deriverte er null i ekstremalpunktene, kan vi nå sette opp fire likninger: Aschehoug Side 47 av 47

48 a + b + c + d a + b + c + d a + b + c a + b + c 0 Vi bruker kommandoen Løs[ <Liste med likninger>, <Liste med variabler> ] i CAS: Vi får funksjonsuttrykket 9 f 8 ( ) stiger, mens minker. Dette ser vi på tallet foran -leddet. Grafen vil derfor ha et bunnpunkt for 0 og 6, mens den vil ha et toppunkt for. f (0) f () 0 f (6) 6 7 Bunnpunkt: ( 0,4 ) og ( 6,7 ). Toppunkt: (,0) g ( ) + g ( ) Vi lager fortegnslinje for den deriverte. Aschehoug Side 48 av 47

49 Vi får et toppunkt for 0. f (0). Toppunkt: ( 0, ) Vi får et bunnpunkt for. f (). Bunnpunkt: (, ). I tillegg har vi et bunnpunkt i randpunktet. ( ) 4.60 a f( ) 0 0 ( ) Nullpunkter: ( 0,0 ) og (,0 ). f. Bunnpunkt: (,). b c f D f ( ),4 f ( ) 6 f ( ) 6 ( ) Aschehoug Side 49 av 47

50 d Grafen vokser:,0,4 Grafen minker: 0, e Vi ser på fortegnslinja at f har et toppunkt for 0 og et bunnpunkt for. f (0) f Toppunktet har koordinatene ( 0,0 ). f () 8 4 Bunnpunktet har koordinatene (, 4). Grafen ser slik ut: Aschehoug Side 50 av 47

51 4.6 Løsninger til oppgavene i boka a Vi ser at funksjonsuttrykket inneholder. Vi kan bare ta kvadratroten av tall som er større eller lik 0. Vi får definisjonsmengden D g 0,. b g ( ) ( 6 ) ( 6) ( ) ( ) Vi får altså to nullpunkter. c g ( ) 6 6 ( ) ( ) g ( ) 6 6 ( ) 6 6 d Vi setter først g ( ) 0. g ( ) 0 0 ( ) 9 Vi lager fortegnslinje: Aschehoug Side 5 av 47

52 e Grafen vokser: 0,9 Grafen minker: 9, f Grafen har et toppunkt for 9. g (9) ,9. g Toppunktet har koordinatene: ( ) Grafen har også et randpunkt når 0 som her er et bunnpunkt. g (0) Bunnpunktet har koordinatene ( 0,0 ). Grafen ser slik ut: Aschehoug Side 5 av 47

53 4.6 Den blå grafen er funksjonen, den oransje er grafen til den deriverte av funksjonen. Dette ser vi fordi den oransje grafen er null der den blå grafen har topp- og bunnpunkt. 4.6 a f( ) f ( ) Vi setter den deriverte lik Vi lager fortegnslinje. Aschehoug Side 5 av 47

54 b Grafen har altså et terrassepunkt når 0. f (0) 0 Punktet har koordinatene ( 0,0 ). f( ) e ( ) ( ) f ( ) e e e Vi setter den deriverte lik 0. e 0 e ln e ln ln Vi lager fortegnslinje. c Grafen har altså et toppunkt når ln. ln f (ln ) ln e ln Punktet har koordinatene ( ln, ln ). f( ) + 4 f ( ) Vi setter den deriverte lik 0. Aschehoug Side 54 av 47

55 f ( ) abc-formel ( ) ( ) 4 ± ± Vi lager fortegnslinje. d Grafen har altså et terrassepunkt når f () Punktet har koordinatene f( ) ln ( ) ( ) f ( ) ln Vi setter den deriverte lik 0. 7, 6. Aschehoug Side 55 av 47

56 f ( ) ( )( ) + 0 Her er bare Vi lager fortegnslinje. 0 + en gyldig løsning siden > 0. Grafen har altså et toppunkt når. Aschehoug Side 56 av 47

57 4.64 a f ln ln ln ln ln ln ln ln ln + ln + Punktet har koordinatene f( ) e ln +,. Vi løser oppgaven med CAS. I denne oppgaven bruker vi kommandoen Nløs. Aschehoug Side 57 av 47

58 Grafen vokser:, 0,6,5, Grafen minker: 0,6,,5 Toppunkt for 0,6 og bunnpunkt for,5. Toppunkt: ( 0,6,,7). Bunnpunkt: (,5, 0,66). b f( ) ln Vi løser oppgaven med CAS. I denne oppgaven bruker vi kommandoen Nløs. Siden oppgaven inneholder den naturlige logaritmen til, vet vi at må være større enn 0, siden vi ikke kan ta den naturlige logaritmen av 0 eller negative tall. Grafen minker: 0,4 Grafen vokser: 4, Bunnpunkt for 4. Bunnpunkt: ( 4, ln 4). Aschehoug Side 58 av 47

59 c Vi løser oppgaven med CAS: Grafen vokser: Grafen minker: Toppunkt for + +,, ,, og for, og bunnpunkt for Aschehoug Side 59 av 47

60 d +,,6 0,59,,6 8 Toppunkt: ( ) + Bunnpunkt:,,08 ( 0,84,,08 ). 8 Vi løser oppgaven med CAS: og (,0 ). Aschehoug Side 60 av 47

61 I tillegg ser vi at vi har et brudd for 0. Grafen vokser:,,,, Grafen minker:,, 0 0,, Toppunkt for, og bunnpunkt for,. Toppunkt: (,,,75) Bunnpunkt: (,,, 75 ) Aschehoug Side 6 av 47

62 4.65 a For å ha et ekstremalpunkt i intervallet a, b må den deriverte være null i intervallet. Det vil si b f: at grafene til den deriverte må ha ett eller flere nullpunkter. Der den deriverte går fra å være positiv (over -aksen) til å være negativ (under -aksen) har vi et maksimalpunkt. Motsatt har vi et maksimalpunkt. f: et maksimalpunkt g: et minimalpunkt h: ingen i: et terrassepunkt, men ingen maksimal- eller minimalpunkt j: ingen i: først et maksimalpunkt, så et minimalpunkt Aschehoug Side 6 av 47

63 g: h: Aschehoug Side 6 av 47

64 i: j: Aschehoug Side 64 av 47

65 k: Aschehoug Side 65 av 47

66 4.66 a b c d Løsninger til oppgavene i boka Hvis er mindre eller lik 0, eller større eller lik 4, vil y-verdien bli 0 eller negativ. Da har ikke rektanglet noen høyde. h y h h h Dette gir oss avstanden fra 0 til. Men bredden er dobbelt så lang siden grafen speiler seg om y-aksen. 4 Dermed blir bredden 4 h. Arealet blir A h b 4 ( ) Ah ( ) h 4 h 4 4 h h Vi løser oppgaven med CAS: Vi ser at Ah ( ) har et toppunkt når 6 h. 5 Aschehoug Side 66 av 47

67 e Størst areal i CAS: 4.67 Siden funksjonen har et bunnpunkt for, vet vi at f () 0. Siden funksjonen har en tangent med stigningstall for, vet vi at f ( ). Dermed har vi to likninger med a og b som ukjente. Vi løser likningssettet i CAS med kommandoen Løs[ <Liste med likninger>, <Liste med variabler> ] a Vi regner ut den siste siden i trekanten med pytagorasetningen : Den siste siden er 50. Arealet av trekanten er Vi finner høyden i trekanten ned på grunnlinja i CAS: Aschehoug Side 67 av 47

68 Vi kaller høyden i det innskrevne rektanglet for y. Arealet av rektanglet blir da A ( ) y. Vi ser at arealet av det innskrevne rektanglet og av de tre små trekantene til sammen blir arealet av den store trekanten. I utregningen slår vi sammen grunnlinjene til de to nederste trekantene på figuren, og de får samlet grunnlinje på 50. Det gir oss følgende likning: ( 4 y) ( 50 ) y + + y 600 Vi løser likningen i CAS, med y som variabel. Vi finner uttrykket for arealet av det innskrevne rektanglet: A ( ) y A ( ) 4 5 A ( ) 4 5 Aschehoug Side 68 av 47

69 b Vi regner ut det største arealet i CAS: Vi har et toppunkt for 5. Det største arealet det innskrevne rektanglet kan ha, er a Kjernen er u ( ) 8. b Den ytre funksjonen er ln u. ( ) Kjernen er u ( ). Den ytre funksjonen er u ( ). c Kjernen er u ( ) Den ytre funksjonen er 6 ( u ( )). f( ) e a ( ) 4 f( ) Kjerne: u u Aschehoug Side 69 av 47

70 Ytre funksjon: 4 4 u ( u ) 4u f ( ) 4 ( ) ( ) ( ) 4 ( ) 8 b ( ) g ( ) + 5 Kjerne: + 5 u + 5 u Ytre funksjon: u ( u ) ( ) ( ) ( 5) ( 5) ( 4 0) ( 5) g ( ) u c ( ) a h () 4+ 5 Kjerne: u u 4 Ytre funksjon: u ( u ) 8u h ( ) ( 5 ) ( ) ( 5 ) ( 5 ) f( ) e Kjerne: u 4 u 4 Ytre funksjon: e u u ( e ) e u b ( ) 4 f ( ) e 4 4 e 4 4e g ( ) e Kjerne: + 8 u + 8 u Ytre funksjon: e u u ( e ) e u Aschehoug Side 70 av 47

71 c ( ) + 8 g ( ) e e ( 8) + 8 ( 8e ) + + ( ) 5e h 4.7 Kjerne: u u Ytre funksjon: 5e u u ( 5e ) h ( ) ( ) ( ) 5e 5e 0e a f( ) 4 5e u Kjerne: u 4 u 4 Ytre funksjon: u ( u ) f ( ) ( 4 ) u b g + ( ) Kjerne: + u + u Ytre funksjon: u ( u ) g ( ) ( + ) + ( + ) + ( + ) u Aschehoug Side 7 av 47

72 c h ( ) ln Kjerne: u ln u Ytre funksjon: u ( u ) h ( ) ln ln ln ln 4.74 a f( ) ln ( ) Kjerne: u u Ytre funksjon: ln u ( ln u) f ( ) ( ) b g ( ) ln ( ) u u Kjerne: u u Ytre funksjon: ln u ( ln u) g ( ) ( ) ( ) h ( ) 4ln c ( ) Kjerne: u u Ytre funksjon: 4 ln u ( u) u 4 ln 4 u u Aschehoug Side 7 av 47

73 h ( ) 4 8 a f( ) b ( ) f ( ) ln ln g ( ) Kjerne: u u Ytre funksjon: u u ( ) u ln c ( ) g ( ) ln ln ln h ( ) a Kjerne: u. Ytre funksjon: 4 5 u u u ( ) ( ) ( ) ( ) h( ) 4 5 ln ln 5 4ln 5 5 f( ) e u ln5 Kjerne: u u Ytre funksjon: e u u ( e ) e u ( ) f ( ) e e e b g ( ) ln ( + ) Kjerne: u + u Aschehoug Side 7 av 47

74 Ytre funksjon: ln u ( ln u) g ( ) ( + ) u c ( ) h ( ) Kjerne: u Ytre funksjon: u 4 4 u ( u ) 4u ( ) ( ) ( ) ( ) h ( ) 4 a f( ) f ( ) 7 ln 7 ln 7 7 b g ( ) 7 Kjerne: u 7 u Ytre funksjon: u ( u ) g ( ) ( 7) u c h 7 ( ) e Kjerne: u 7 u 7 Ytre funksjon: e u u ( e ) e u Aschehoug Side 74 av 47

75 4.78 a h ( ) ( ) 7 ( ) e 7 7 e 7 7e f( ) e Kjerne: u 5 + u + 5 Ytre funksjon: e u u ( e ) ( ) f ( ) e e ( 5) + 5 ( 5e ) + + b ( ) g ( ) ln Kjerne: u ln u Ytre funksjon: u ( u ) e u u c g ( ) ln ln ln ln h ( ) ( ) 4.79 Kjerne: u u Ytre funksjon: u ( u ) h ( ) ( ) a ( ) f( ) ( ) Vi setter f( ) 0 og finner nullpunkt. u Aschehoug Side 75 av 47

76 ( ) 0 ( ) 0 0 b ( ) ( ) f () 4 7 Vi finner så den deriverte. Kjerne: u u Ytre funksjon: u u u ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) 6( ) ( ) ( ) c y f() f () ( ) y 7 54 ( ) 4.80 f () y y 54 8 a ( ) b 4.8 a f( ) 5 Kjerne: u 5 u 5 Ytre funksjon: u u u ( ) f ( ) 5 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f( ) f ( ) 50 0 f ( ) e e Vi setter f( ) 0 og finner nullpunkt. Aschehoug Side 76 av 47

77 e e 0 ( ) ( ) e e 0 e e 0 e 0 e 0 ln e ln 0 ln e ln ln Nullpunkt for ln. b f () ( e ) e ( ) e e ( ) e e Vi lager fortegnslinje. e har et nullpunkt for 0. Dette kan vises slik: e 0 e ln e ln 0 Vi ser at funksjonen går fra å minke til å vokse for 0, og grafen har et bunnpunkt f (0) e e e e Bunnpunktet har koordinatene ( 0, ). 4.8 a Vi løser oppgaven med CAS og finner M (80) : Aschehoug Side 77 av 47

78 b Vi finner den deriverte M (80) med CAS: c 4.8 Svaret i oppgave a forteller at etter tre timer (80 minutter) strømmer det 6,9 kilo gass per minutt inn i beholderen. Svaret i oppgave b forteller at etter nøyaktig tre timer avtar innstrømmingen med 0,9 kilo per minutt, altså den momentane vekstfarten. kt a f( t) 0e 0 Vi får vite at f (5) 78. Det gir oss likningen k e 0 5k 78 0e 0 Vi løser denne likningen i CAS og finner k: Aschehoug Side 78 av 47

79 b Vi setter k 0,0 inn i uttrykket og regner ut f () i CAS: Løsninger til oppgavene i boka c Temperaturen synker med grader i minuttet etter minutter. Vi tegner grafen i GeoGebra: Aschehoug Side 79 av 47

80 4.84 a For at funksjonen skal være gyldig, må logaritmen av 0 eller negative tall. + > 0 ( ) + > 0 Vi lager fortegnslinje: Løsninger til oppgavene i boka + > 0, siden vi ikke kan ta den naturlige Fra fortegnslinja ser vi at D f, 0,. b f( ) ln ( + ) Kjerne: u + u + Ytre funksjon: ln u ( ln u) u f ( ) ( + ) + ( + ) ( ) Vi lager fortegnslinje: Aschehoug Side 80 av 47

81 4.85 Her er ikke funksjonen definert for [,0], så dette intervallet må vi se bort fra. Funksjonen vokser: 0, Funksjonen minker:, a Vi løser likningen i GeoGebra. Vi tegner funksjonen Mt () og linja y 45. Vi bruker verktøyet Skjæring mellom to objekt og klikker på de to grafene. Vi får da dette skjermbildet: Mt ( ) 45 gir t 50,94 5. Aschehoug Side 8 av 47

82 b Vi løser likningen i CAS. Vi bruker her kommandoen NLøs[ <Likning>, <Variabel> ]. c M ( t) 0, 40 gir t 9,68 0,0. Svaret i oppgave a forteller at det strømmer inn 45 kilo gass per minutt etter ca. 5 minutter, i overkant av,5 timer. Svaret i oppgave b forteller at mengden gass som strømmer inn i beholderen per minutt, avtar med 0,4 kilo i minuttet etter ca. 0 minutter. Aschehoug Side 8 av 47

83 4.86 Vi løser oppgaven med CAS: Minimalverdien er ( ) ( ) f( ) ln 8 f () ln 8 ( ) ln 9 8 ln 0 0 Vi finner f ( ). Kjerne: u 8 u Ytre funksjon: ln u ( u) ln u u Aschehoug Side 8 av 47

84 f ( ) ( 8 ) 8 ( ) f () Vi bruker ettpunktsformelen: ( ) ( ) y f() f () 4.88 y 0 y 6 ( ) a f( ) ln ( ) Kjerne: u ln ( ) b Her må vi bruke kjernederivasjon en gang til for å finne u. Kjerne: v v Ytre funksjon: ln v ( ln v) v u ( ) Den deriverte av kjernen blir u. Ytre funksjon: u u u ( ) ( ( )) ( ) ( ( ) ) ( ) f ( ) ln ln ( ln ( ) ) g ( ) e ln + Kjerne: u + Aschehoug Side 84 av 47

85 c Her må vi bruke kjernederivasjon en gang til for å finne u. Kjerne: v + v Ytre funksjon: v ( v ) v u ( + ) Den deriverte av kjernen blir u ' +. u e u e Ytre funksjon: e u ( ) ( ) g + + ( ) e + e e h ( ) + e Kjerne: 4 u + e + Ytre funksjon: u ( ) h ( ) + e 4 + e 4 4e 4 + e e 4 + e 4 4 ( ) 4.89 a f( ) ln ( + ) 4 u 4e u u Løsninger til oppgavene i boka Vi kan bare ta den naturlige logaritmen av tall større enn 0. Dermed må + > 0. + > 0 > > Aschehoug Side 85 av 47

86 b D f, Vi finner ekstremalpunktene i CAS: Funksjonen har et toppunkt for 5. Vi finner tilhørende y-verdi i punktet: c Funksjonen vil aldri komme høyere enn V f 5, ln 6 6 Tangenten skal være parallell med linja 5 ln 6. Vi får denne verdimengden: y. Det vil si at f ( ). Aschehoug Side 86 av 47

87 Vi vet altså at tangenten tangerer grafen til funksjonen i 0. Vi finner f (0) : 4.90 Vi kan nå bruke ettpunktsformelen: y f(0) f (0) 0 ( ) e f 5 y y ( ) ( ) Vi finner den deriverte f ( ) : Kjerne: u u u e u e Ytre funksjon: e u ( ) ( ) f ( ) e e ( ) ( ) e Ettpunktsformelen gir oss y f( ) f ( ) ( ) Vi setter inn uttrykkene for f( ) og f ( ) i formelen: ( ) ( ) ( ) ( ) y e e Vi vet at tangenten går gjennom punktet,. Det vil si at og også inn i formelen: ( ) ( ) e ( ) e y. Dette setter vi Aschehoug Side 87 av 47

88 Denne likningen løser vi med CAS: Vi får fire løsninger: 0,9 0 4,9 Vi finner y-verdiene i CAS: Aschehoug Side 88 av 47

89 Vi får punktene 0,9, 0,58 0,,,9, 0,58 ( ) ( ) ( ) ( ) 4.9 a f( ) ln u v ln f ( ) ( ) ln + (ln ) ln + ln + b g ( ) e u v e g ( ) ( ) e + (e ) e + e e + e ( + )e c h ( ) e u v e h ( ) ( ) e + (e ) e + e e e + ( + )e 4.9 a ( ) e f u v e f ( ) ( ) e + (e ) e + e ( + )e Aschehoug Side 89 av 47

90 b g ( ) e u e v g ( ) (e ) + e ( ) e + e + ( )e c h ( ) e ln u e v ln h ( ) (e ) ln + e (ln ) e ln + e ln e + e ( ln + )e 4.9 a f( ) e u v e f + ( ) ( ) e (e ) + e e ( + )e b g ( ) ln u v ln g ( ) ( ) ln + (ln ) ln + ln + Aschehoug Side 90 av 47

91 c h () + e u a v e ( ) h ( ) + e + + (e ) e + + e + e ( + )e ( + )e + f( ) e u v e ( ) f ( ) ( ) e + e e + e ( )e + b g ( ) 5 e u 5 v e g ( ) (5 ) e + 5 (e ) 5 e + 5 e ( ) 5( )e c h ( ) 4ln 5 u 4 v ln 5 h ( ) (4 ) ln 5+ 4 (ln 5 ) 4 ln (ln 5 + ) Aschehoug Side 9 av 47

92 4.95 a f( ) ( ) ln u ( ) v ln ( ) f ( ) ( ) ln + ( ) (ln ) ( ) ln ( ) + 6 ( ) ln ( ) + ( )(6ln + ) b g ( ) ln ( + ) c u ( ) v ln + ( ) ( ) g ( ) ( ) ln + + ln( + ) ln ( ) + ln ( + ) + + h ( ) e 6 u 6 v e 4 4 ( + ) h ( ) e e (4+ ) e 6 ( ) e e 4 Aschehoug Side 9 av 47

93 4.96 a f() e u v e f ( ) ( ) e + (e ) e + e ( + )e b g ( ) 4ln u 4 v ln g ( ) (4 ) ln + 4 ln 4 ln + 4 4(ln + ) c h ( ) ( ) ln ( ) ( ) d u ( ) v ln ( ) ( ) ( ) ( ) h ( ) ln + ln( ) ln + ( ) ( ) ( ) ( ) ln( ) + i ( ) ln u ln v i ( ) (ln ) + ln + ln ( ) ln Aschehoug Side 9 av 47

94 e j ( ) u f v ( ) j ( ) ( ) + k + + ( ) e u v e ( ) ( ) k ( ) e + e + e e ( ) ( ) e 4.97 a b f( ) (ln ) ln ln u ln v ln f ( ) ln ln + ln ln ( ) ( ) ln + ln ln c f ( ) 0 ln 0 ln 0 Vi lager fortegnslinje for f ( ). Aschehoug Side 94 av 47

95 Vi ser av fortegnslinja at f har et bunnpunkt for. f () (ln) 0 Bunnpunkt: (, 0) 4.98 a f ( ) b ( ) e f( ) 0 ( ) 0 ( ) e 0 Nullpunktene til f er 0 og. Vi løser i CAS: Den deriverte skifter fra positiv til negativ i (,68, 0,840), som dermed er et topppunkt, og fra negativ til positiv i (0,68, 0,48), som dermed er et bunnpunkt. Toppunktet er (,68, 0,840), og bunnpunktet er (0,68, 0,48). Aschehoug Side 95 av 47

96 4.99 a f( ) e u v e ( ) f '( ) ( ) e + e e + e ( + )e Vi lager fortegnslinje for f ( ). Vi ser av fortegnslinja at f har et bunnpunkt for. f ( ) ( ) e e Bunnpunkt: b g ( ) ln u v ln, e g ( ) ( ) ln + (ln ) ln + (ln + ) Vi lager fortegnslinje for g ( ). Vi ser av fortegnslinja at g har et bunnpunkt for g ln ( ) e e e e e Bunnpunkt:, e e. e Aschehoug Side 96 av 47

97 c Funksjonen h har definisjonsmengden D h [0,. h ( ) e u e v h ( ) (e ) + e ( ) e + e e ( + ) h ( ) 0 e ( + ) ,5 Den deriverte av h er ikke lik null for noen -verdi i definisjonsmengden. Den deriverte eksisterer ikke for 0 og er positiv for alle verdier av i definisjonsmengden. 0 er dermed et bunnpunkt. ( ) 0 h 0 e 0 0 Bunnpunkt: (0, 0) 4.00 a Lengden l av grunnlinja i trekanten er. b Høyden h i trekanten er f( ). Arealet av en trekant er gitt ved A g ( ) f( ) g ( ) e e Vi velger u og v og deriverer. l h. Aschehoug Side 97 av 47

98 u 4 v e g ( ) e + e e + e e e (6 )e 8 6 Vi lager fortegnslinje for g ( ). Vi ser av fortegnslinja at g har et toppunkt for 6. Det største arealet trekanten kan ha, er dermed g(6) 6 e 4 e d Trekanten er likebeint når OA AB, dvs. når f( ). Vi definerer funksjonen i CAS, løser likningen og finner det tilhørende arealet: Trekanten er likebeint når,. Arealet av trekanten er da 0,748. Aschehoug Side 98 av 47

99 4.0 a ( ) (5 ), [ 0, 5] f D f u v (5 ) ( ) f ( ) ( ) (5 ) + (5 ) (5 ) (5 ) ( ) + (5 ) (5 ) (5 ) (5 4 ) b Vi lager fortegnslinje for f ( ). c Vi leser av fortegnslinja at f har et toppunkt for 6, 5. Det betyr at det ble høstet flest epler etter ca. 6 dager. 4.0 a f + + ( ) ( 4 ) + 4 u v + ( ) f ( ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4) ( 4 ) (+ 4) (+ ) Aschehoug Side 99 av 47

100 b c g ( ) (5 ) e u (5 ) v e ( ) ( ) ( ) g ( ) (5 ) e + (5 ) e + (5 ) ( ) e (5 ) e ( ) 6 (5 ) (5 ) e ( )(5 ) e ( ) e ln h u e v ln h ( ) e ln + e ln ( ) ( ) e ln e + e 4 ln e + ln ln (4ln + )e ln ln 4.0 a Lengden l og bredden b av esken er like. b l b k Høyden h av esken er. V lbh V( ) ( k ) må være større enn null for at esken skal ha en positiv høyde og dermed svare til en virkelig k eske. For at esken skal ha positive sidekanter, må vi også ha k > 0 <. k Dette gir følgende definisjonsmengde: D V 0,. Aschehoug Side 00 av 47

101 c Vi definerer funksjonen i CAS og finner nullpunktene til den deriverte: d Vi forkaster verdien utenfor definisjonsmengden. Den andre verdien må være ett toppunkt, da vi vet at volumet er null i begge randpunktene for definisjonsmengden (enten høyde lik null eller sidekanter lik null), og at vi må ha et positivt volum av esken mellom disse verdiene. k Volumet er størst mulig for. 6 Vi finner det største volumet i CAS: Det største volumet esken kan ha, er 7 k a 00 S ( ) 000 ln, D S 0, 60 u v ln S ( ) (000 ) ln ln ln ln ln Aschehoug Side 0 av 47

102 b Vi definerer funksjonen i CAS og finner toppunktet: Prisen må være ca. 7 kr for at salgssummen skal bli størst mulig Vi deriverer funksjonen ved hjelp av produktregelen. u u ( ) v k ( ku ( )) u ( ) k+ u ( ) k ku ( ) + u ( ) 0 k u ( ) Dette beviser regelen fra underkapittel 4A ln a f( ) u ln v f ( ) ( ln ) ln ( ) ( ) ln ln Aschehoug Side 0 av 47

103 b g ( ) c u e v e g ( ) ( ) e ( e ) ( e ) e ( ) e ( e ) 4 h ( ) u 4 v h ( ) ( 4 ) ( 4) ( ) ( ) ( 4) e a f( ) u e f ( ) v ( e ) e ( ) ( ) 4 ( )e e e Aschehoug Side 0 av 47

104 b c + g ( ) + u + v + g ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) h ( ) ln u ( + ) ( + ) v ln h ( ) ( ) ln ( ln ) ( ln ) ( ln ) ( ln ) 6 ln ( ln ) 4.08 a f( ) u ln ln v e e Aschehoug Side 04 av 47

105 b c f ( ) ( ) ( ) ( ) ln ( ) ( ) e g ( ) ln e ln ( ) ln ( ) ( ln ) e u e g ( ) h ( ) v ( e ) e ( ) ( ) e e ( )e + h ( ) u + v ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) Aschehoug Side 05 av 47

106 4.09 a f( ) e u v e f ( ) e ln b g ( ) u ln v g ( ) ( ) e ( e ) ( e ) e e ( e ) ( ln ) ln ( ) ( ) c ln ln e h ( ) u e v h ( ) ( e ) e ( ) ( ) e ( ) e 4 ( + )e Aschehoug Side 06 av 47

107 4.0 a b c e f( ) u e v f ( ) ( e ) e ( ) ( ) e e 4 ( )e e g ( ) u e v g ( ) h ( ) h ( ) ( e ) ( ) e ( ) ( ) ( ) e ( ) e ( )e u v ( ln ) ( ln ) ( ) ( ) ( ln ) ( ln ) ( ln ) ( ) (( ln ) ) ( ln ) ln ln ( ln ) 4 Aschehoug Side 07 av 47

108 4. a ( ) f( ) ln u ( ) v ln f ( ) b g ( ) (( ) ) ln ( ) ( ln ) ( ln ) ( ) ln ( ) ( ln ) ( ) 6 ln ( ) ( ln ) ( ) ( ln ) ( ) 6ln + e u v e g ( ) e + + c h ( ) 4 u + + v ( ) e ( ) ( e ) ( e ) ()e ( )e () 4 ( e ) Aschehoug Side 08 av 47

109 h ( ) ( + + ) ( 4 ) ( + + ) ( 4) ( 4) ( + ) ( 4 ) ( + + ) (( + )( ) ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) 4. a b c f( ) + u + v f ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) 5 ( ) f( ) u f ( ) v ( ) ( ) ( ) ( ) + f( ) + u ( ) v + Aschehoug Side 09 av 47

110 4. f ( ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) 6 ( ) + ( + ) ( + ) 6 ( + ) 8 f( ) + 0 ( ) 8 f ( ) 0+ ( ) 8 ( ) 8 f (6) (6 ) a f er en rasjonal funksjon. b Vi deriverer f ved hjelp av brøkregelen. 4 f( ) 5 u 4 v 5 f ( ) ( 4 ) (5 ) 4 ( 5 ) ( 5 ) 4 (5 ) 4 ( ) 0 ( 5 ) ( 5 ) Aschehoug Side 0 av 47

111 c Den deriverte av f har ingen nullpunkter, da et rasjonalt uttrykk med heltallig nevner aldri kan være null. f ( ) > 0 for alle Df. 4.5 a b c f( ) f ( ) ( + ) u v + ( ) ( ) (( + ) ) ( ) ( + ) ( + ) ( ) ( ) 4 ( + ) ( + )( 4 ) 4 ( + ) + + (0 + )( 4 0 ) f (0) 4 e f( ) e u e v e f ( ) ( 0 + ) ( e ) e (e ) ( e ) ( e ) e e (e ) e e e f (0) 0 e 4e f( ) e u 4e v e Aschehoug Side av 47

112 f ( ) ( 4e ) ( e ) ( 4e ) ( e ) ( e ) ( 4e ) ( ) ( e ) ( 4e ) ( e ) ( e ) 4e ( e ) 4 ( e ) e 8 ( e ) 8 4 f (0) 4 ( ) f( ) u + v f ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( )( 5) ( ) ( ) Vi lager fortegnslinje for f ( ). Vi må ha for å unngå null i nevner. Aschehoug Side av 47

113 Vi leser av fortegnslinja at f har et topppunkt for og et bunnpunkt for f () f (5) 8 5 Toppunkt: (,0 ) Bunnpunkt: ( 5,8 ) Løsninger til oppgavene i boka 4.7 Vi tegner trekanten for å visualisere oppgaven. Hjørnene i trekanten har koordinatene ( 0,0 ), (, f( )) og (, f( ) ) Høyden i trekanten har lengden f( ). Grunnlinja i trekanten har lengden. Arealet av trekanten er dermed gitt ved A( ) f( ) f( ) 4, > 0 + Vi definerer arealfunksjonen i CAS og finner ekstremalverdiene for funksjonen: Aschehoug Side av 47

114 Bare den ene verdien er innenfor definisjonsmengden. Arealet er altså størst når. Når arealet er størst, har hjørnene koordinatene ( 0,0 ), (, f () ) og (, f ( ) ) 4 f () + 4 f ( ) ( ) + Når arealet er størst, har hjørnene koordinatene ( 0,0 ), (, ) og (,) a Vi bruker ettpunktsformelen og finner likningen for linja: y y a ( ) y 4 a ( ) y a + 4 a b Linja skjærer -aksen der y 0. 0 a + 4 a a 4 a a 4 A,0 a Linja skjærer y-aksen der 0. y a 0+ 4 a y 4 a ( 0,4 a) B Grunnlinja g i trekanten er OA, med lengde a 4. a Høyden h i trekanten er OB, med lengde 4 a. Arealet av trekanten er dermed gitt ved Aschehoug Side 4 av 47

115 c f g h a 4 f( a) (4 a) a (4 a) (4 a) a (4 a) a Vi løser først oppgaven uten hjelpemidler. Arealet er størst der f har et toppunkt. (4 a) f( a) a f ( a) ((4 a) ) a (4 a) ( a) ( a) (4 ) ( ) (4 ) a a a 4a 6a+ 4a + 6a a 4a a 6 a 4a a (4 + a)(4 a) a Vi lager fortegnslinje for den deriverte. Vi ser av fortegnslinja at f har et bunnpunkt, og dermed minst mulig areal for a 4. Likningen for linja er da y 4+ 4 ( 4) y 4+ 8 Nå løser vi oppgaven med hjelpemidler. Vi definerer funksjonen f i CAS og finner nullpunktene til den deriverte: Aschehoug Side 5 av 47

116 Vi vet at a må være negativ for å gi en trekant, altså a 4. Likningen for linja er da y 4+ 4 ( 4) y u ( ) f( ) u ( ) u ( ) v ( ) v ( ) v ( ) ( ) ( ) f ( ) u ( ) v ( ) + u ( ) v ( ) ( v) ( v ( )) ( ) u v + u v v ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u ( ) u ( ) v ( ) v ( ) ( ) u ( ) v( ) u( ) v ( ) v ( ) v ( ) v ( ) u ( ) v( ) u( ) v ( ) 4.0 a f( ) 4 f ( ) 4 f ( ) b f( ) e f ( ) e f ( ) e Aschehoug Side 6 av 47

117 c f( ) ln f ( ) f ( ) 4. a f( ) ( 4) b c 4. a b c ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) f ( ) X 96 f( ) e f () e f ( ) e 9e f( ) ln f ( ) f ( ) f( ) e ( ) ( ) f ( ) ( ) e + e e + e ( + )e f ( ) e + e e + e + e ( + )e f( ) ln f ( ) ( ) ln + ( ln ) ln + ln + f ( ) ln f( ) ( ln ) ln ( ) ln ln ( ) f ( ln ) ( ln ) ( ) + ln ln f ( ) 4 4 Aschehoug Side 7 av 47

118 4. a at () s () t b c st ( ) 0,0t + 0,50t vt ( ) s ( t) 0,06t +,00t v (,0) 0,06,0,00,0 0,94 + Farten etter,0 s er 0,94 m/s. at ( ) s ( t) 0,t+,00 a(,0) 0,,0 +,00 0,88 Akselerasjonen etter,0 s er st ( ) + 5t 5,0t vt ( ) s ( t) 5 0,0t v(,0) 5 0,0,0 5,0 Farten etter,0 s er 5,0 m/s. at () s () t 0,0 a(,0) 0,0 Akselerasjonen etter,0 s er 0,88 m/s. 0,0 m/s. 4.4 a f( ) f ( ) 6 f ( ) 6 6 Vi lager fortegnslinje for f ( ). Grafen vender den hule siden opp for, og den hule siden ned for,. Vendepunktet er i. Vendepunktet er i (, ). b g ( ) e 5+ c g ( ) e 5 g ( ) e f (). g ( ) er alltid positiv, og grafen til g har ingen vendepunkter og vender alltid den hule siden opp. 4 h ( ) 4 h ( ) 4 h ( ) Aschehoug Side 8 av 47

119 Vi lager fortegnslinje for h ( ). Den andrederiverte skifter aldri fortegn, og grafen til h har derfor ingen vendepunkt. Grafen vender alltid den krumme siden ned. 4.5 a Grafen vender alltid den krumme siden opp. Fortegnslinja ser slik ut: b Grafen har et vendepunkt for, og vender den krumme siden ned før vendepunktet, og den krumme siden opp etter vendepunktet. Fortegnslinja ser slik ut: 4.6 a Grafen vender den hule siden opp for < og den hule siden ned for >. Grafen kan se slik ut: Aschehoug Side 9 av 47

120 b Grafen vender den hule siden opp for < > og den hule siden ned for < <. Grafen kan se slik ut: 4.7 a f ( ) f ( ) 0 0 f har infleksjonspunktet. b f ( ) ln( ) f ( ) 0 ln( ) 0 e 0 + f har infleksjonspunktet. c f ( ) e f ( ) 0 e 0 Likningen f ( ) 0 har ingen løsning, og f har dermed ingen infleksjonspunkter. Aschehoug Side 0 av 47

121 4.8 a Grafen har et vendepunkt for 4,5, og vender den krumme siden opp før vendepunktet. b c Folketallsveksten øker når den andrederiverte av folketallet er positiv, altså de første 4,5 årene. Folketallsveksten er størst når grafen er brattest, dvs. i vendepunktet til grafen. Etter 4,5 år. 4.9 a b c ( ) 0, 005 0, 075 0,50 ht t + t + h ( t) 0, 0075t + 0,50t h ( t) 0, 05t+ 0,50 h () t 0 0 0, 050t + 0,50 t 0 Treet vokser raskest etter 0 år. h (0) 0, , ,50 5,50 Etter 0 år er treet 5,5 m høyt. h (0) 0, ,50 0 0, 75 Etter 0 år vokser treet med 0,75 m/år. 4.0 a Vi definerer funksjonen i CAS og finner når den andrederiverte er null: Vendepunktet på grafen er ( 0,, ). Aschehoug Side av 47

122 b Villsaubestanden vokste raskest etter 0, år, dvs. i 8. c Etter 0, år vokste bestanden med sauer per år. d Vi tegner grafen til N i GeoGebra, med som variabel for å kunne bearbeide funksjonen videre. Vi skriver N ( ) og N ( ). Det gir figuren nedenfor: Vi skriver Ekstremalverdi[N (),5,5]. Dette gir punkt A. Vi skriver Nullpunkt[N (),5,5]. Dette gir punkt B. Vi kan da lese av grafen at bestanden vokser raskest etter 0, år. Da vokser bestanden med sauer per år. Aschehoug Side av 47

123 4. a Vi definerer funksjonen i CAS og finner ekstremalpunktene til den deriverte: Løsninger til oppgavene i boka b Kostnaden øker minst ved en produksjon på 444 enheter. Da er kostnaden på 9 00 kr. c Da øker kostnaden med 89 kr per enhet. 4. a f( ) f ( ) f ( ) f ( ) 0 0 Vendetangenten tangerer i. f 4 8 Tangeringspunkt: Stigningstall:, f 4 Vi bruker ettpunktsformelen og finner likningen for vendetangenten. Aschehoug Side av 47

124 b y f( ) f ( ) ( ) y 4 y y g ( ) 4 g ( ) 4 g ( ) 4 4 g ( ) Vendetangentene tangerer i. Vi ser først på tangenten i. 4 5 g ( ) Tangeringspunkt: 5, Stigningstall: ( ) g 4 4 Vi bruker ettpunktsformelen og finner likningen for vendetangenten. y g ( ) g ( ) ( ) 5 8 y ( ) y + 8 y + Nå ser vi på tangenten i. 4 5 g ( ) ( ) ( ) Tangeringspunkt: 5, g ( ) 4 ( ) + 4 Stigningstall: ( ) Vi bruker ettpunktsformelen og finner likningen for vendetangenten. Aschehoug Side 4 av 47

125 c y g ( ) g ( ) ( ) 5 8 y ( ( ) ) y + 8 y + Vendetangentene har likningene h ( ) e ( ) ( ) 8 y + og h ( ) ( ) e + e e + e ( + )e h ( ) e + e e + e + e ( + )e h ( ) 0 ( + )e 0 Vendetangenten tangerer i. h( ) e e Tangeringspunkt:, e h ( + )e e Stigningstall: ( ) 8 y +. Vi bruker ettpunktsformelen og finner likningen for vendetangenten. y h ( ) h ( ) ( ) y e e y e e e 4 y e e ( ( ) ) 4. a f( ) 4 f ( ) 4 4 f ( ) 4 Vi finner de stasjonære punktene: Aschehoug Side 5 av 47

126 f ( ) ( ) 0 4 ( + )( ) 0 f 4 (0) f (0) f (0) < 0. Det betyr at ( 0,0 ) er et toppunkt. f 4 ( ) ( ) ( ) f ( ) ( ) 4 8 f ( ) > 0. Det betyr at (, ) er et bunnpunkt b c f 4 () f () 4 8 f ( ) > 0. Det betyr at (, ) er et bunnpunkt. ( 0,0 ) er et toppunkt. (, ) og (, ) g ( ) ln g ( ) g ( ) Vi finner de stasjonære punktene: g ( ) 0 0 g() ln g () g () > 0. Det betyr at (, ) er et bunnpunkt. h ( ) e h ( ) ( ) e + e e e ( )e ( ) ( ) ( ) ( ) er bunnpunkter. h ( ) e e e e e ( )e Vi finner de stasjonære punktene: Aschehoug Side 6 av 47

127 h ( ) 0 ( )e 0 h() e h e () ( ) e e h () < 0. Det betyr at, e er et bunnpunkt. 4.4 a Funksjonen er negativ fram til 0,5. Deretter er den positiv. b Funksjonen stiger for < og for >. Den synker for < <. c Grafen vender den hule siden ned for <. Den vender den hule siden opp for >. 4.5 a Grafen vender den hule siden opp for <, 5. Den vender den hule siden ned for >, 5. b Infleksjonspunktet til f er, 5. c Vendepunktet til f er (,5,). d Grafen stiger i vendepunktet, så her er f ( ) positiv. e f vokser raskest for, 5. f Vekstfarten til f er null for 0,5 og for,5. Aschehoug Side 7 av 47

128 4.6 a b f f( ) 0 ( ) 0 0 Nullpunktene til f er 0 og. f ( ) 4 ( ) f( ) 0 ( ) 0 0 f (0) 0 f 6 8 () 8 Vi tar andrederiverttesten på ekstremalpunktene. f ( ) 4 4 f (0) 4 f (0) < 0 f () 4 f () > 0 Toppunkt: ( 0,0 ) 8 Bunnpunkt:, Vi undersøker vendepunktet. f ( ) f 4 () 4 Vendepunktet er,. Aschehoug Side 8 av 47

129 c d f ( ) > 0 når f( ) vokser, dvs. når,0,. f ( ) < 0 når f( ) vender den hule siden ned, dvs. når,. Vi ser derfor av figuren at f ( ) > 0 og f ( ) < 0 samtidig når, a Ved tellingen er t 0. N (0) 000. Det var 000 dyr ved tellingen. Aschehoug Side 9 av 47

130 b Vi definerer funksjonen i CAS og finner ekstremalpunktene. Her døper vi om variabelen til, da GeoGebras kommando Ekstremalpunkt ikke fungerer med andre variabelnavn (versjon ). c Det er flest dyr i bestanden etter ca. år og færrest dyr etter ca. år. Vi finner ekstremalpunktene til den deriverte i CAS: Den deriverte er negativ her, så vi vet at bestanden minket. Bestanden minket raskest etter 7 år. Da minket bestanden med 44 dyr per år. 4.8 a f( ) Nullpunkter: f( ) b ac < 0 Andregradsuttrykket har ingen reelle løsninger, så eneste nullpunkt er 0. Aschehoug Side 0 av 47

131 b f ( ) ( + ) Vi lager fortegnslinje for f ( ). c d Som vi ser av fortegnsskjemaet, er et terrassepunkt. f har dermed ingen topp- eller bunnpunkter. f ( ) + 4 f ( ) f ( ) ( ) ( ) 4 ( ) Vendepunktet til f er 8,. Punktet i oppgave c kalles et terrassepunkt. 4.9 f ( ) ln ( ) + Vi definerer funksjonen i CAS og finner ekstremalpunktene til f ( ) : f ( ) vokser bare i det ene ekstremalpunktet. f( ) vokser raskest for a Funksjonen synker for < 0 og for >. Den stiger for 0< <. Grafen vender den hule siden opp for <. Den vender den hule siden ned for >. Aschehoug Side av 47

132 b Toppunkt i. Bunnpunkt i 0. Vendepunkt i. 4.4 a Først finner vi eventuelle topp- og bunnpunkter. f( ) + f ( ) f ( ) 0 ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) 0 f (0) Nevneren i f ( ) er alltid positiv. Det betyr at f ( ) er negativ for < 0 og positiv for > 0. Det betyr at ( 0,0 ) er et bunnpunkt. Så ser vi på vendepunkter. f ( ) ( + ) Aschehoug Side av 47

133 b f ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) ( + ) 4 ( + ) ( + ) ( + ) 4 ( + ) ( + ) ( + 8 ) 4 ( + ) ( ) ( + ) f ( ) ± ± f f Vendepunktene er, og 4, 4. Vi finner først stigningstallet til vendetangentene. 9 f f Ettpunktsformelen gir likningen til tangentene. Aschehoug Side av 47

134 y f( ) f ( ) ( ) Tangenten i, er 4 y y y 8 8 Tangenten i, er 4 y y y a Grafen vender den hule siden ned for < og den hule siden opp for >. b Vi antar at f() er et tredjegradspolynom på formen Vi deriverer f() to ganger: f ( ) a b c Vi setter inn opplysningene gitt i oppgaven og får: f (0) 0 gir c 0 f ( ) a b c d og f ( ) 6a + b. f () 0 gir 6a + b 0 (og f () 0 gir a+ 4b 0 ) f () 6 gir a + b + d 6 f() må skjære høyere på. aksen enn vendepunktet. Velger konstantleddet d 8: a + b a + b Vi løser likningssettet 6a+ b 0 a+ b og får a og b. Dermed kan f for eksempel se slik ut: f ( ) + 8 Aschehoug Side 4 av 47

135 4.4 4 g g ( ) g ( ) 6 ( ) 8 + ( ) ( ) g ( ) er faktorisert i CAS: Vi lager fortegnslinje. Vi ser av fortegnslinja at grafen til g vender den hule siden opp for < og den hule siden ned for > g( ) ( ) + ( ) + ( ) 6 ( ) Vendepunktet er, f ( ) k( )( + ) k( + + ) a f ( ) k( + ) k( ) Vi lager fortegnslinjer. Aschehoug Side 5 av 47

136 b Vi leser av fortegnslinjene at ekstremalpunktene er og, og at infleksjonspunktet er a Vi velger u og v og deriverer. f( ) 0 e u 0 v e f ( ) ( 0) e + 0 e e + 0 e e 5 e 4 5( ) e b Vi tegner grafen til f ( ) i GeoGebra, og bruker kommandoene Nullpunkt[f,-, ] og Ekstremalpunkt[f,-, ] for å finne ekstremalpunkter (Punkt A og B) og infleksjonspunkter (punkt C, D og E). Se figuren. Vi leser av grafen at ekstremalpunktene er, 4 og, 4. Aschehoug Side 6 av 47