Funksjoner S2 Oppgaver

Transkript

1 Funksjoner S Funksjoner S Oppgaver. Derivasjon... Den deriverte til en konstant funksjon... Den deriverte til en potensfunksjon... Den deriverte til et produkt av to funksjoner... 4 Den deriverte til en kvotient (brøk)... 4 Kjerneregelen... 5 Den deriverte til eksponentialfunksjoner og logaritmefunksjoner... 6 Likningen for tangenten i et punkt på grafen Funksjonsdrøfting... 8 Drøfting av polynomfunksjoner... 8 Krumningsforhold og vendepunkter... 1 Drøfting av logaritmefunksjoner Drøfting av sammensatte funksjoner Tolke den deriverte i modeller av praktiske situasjoner Økonomiske optimeringsproblemer Modellering Bestemte integraler og arealer under kurver... 6 Aktuelle eksamensoppgaver du finner på NDLA... 7 Øvingsoppgaver Stein Aanensen og Olav Kristensen/NDLA 1

2 Funksjoner S. Derivasjon Den deriverte til en konstant funksjon..1 Deriver funksjonene a) f 5 b) y e c) g 5 d) 3 5 h Den deriverte til en potensfunksjon.. Deriver funksjonene a) f b) y 5 c) 7 g 5 d) y 5

3 Funksjoner S..3 Deriver funksjonene. a) 0 f 1 b) y 5 c) g 5 d) y 1..4 Deriver funksjonene a) 3 f 5 4 b) y 3 5 c) g t t 5t d) f 3 3

4 Funksjoner S Den deriverte til et produkt av to funksjoner..5 Deriver funksjonene a) f b) y 3 1 c) 3 g 3 Den deriverte til en kvotient (brøk)..6 Deriver funksjonene. a) f 1 b) 1 y c) g 6 4

5 Funksjoner S..7 Deriver funksjonene. a) f b) y 1 Kjerneregelen..8 Deriver funksjonene. a) f 4 3 b) y 4 3 c) 3 g 3..9 Deriver funksjonene a) f 4 b) f 5

6 Funksjoner S..10 Deriver funksjonene. a) f b) y Den deriverte til eksponentialfunksjoner og logaritmefunksjoner..11 Deriver funksjonene a) ln f e b) y e ln c) g e ln..1 Deriver funksjonene a) f ln b) y c) g e d) f e 3 6

7 Funksjoner S Likningen for tangenten i et punkt på grafen...13 Funksjonen f er gitt ved 3. a) Finn f f b) Finn ved regning likningen for tangenten i (1, f (1)). c) Tegn grafen til f og tangenten i et koordinatsystem...14 Funksjonen f er gitt ved f a) Finn den momentane vekstfarten til funksjonen i punktene 0,, 1, 3 og,. b) Finn likningene for tangentene i de tre punktene. c) Tegn grafen til f og de tre tangentene i et koordinatsystem. d) Ser du noen sammenheng mellom fortegnet til den momentane veksthastigheten og forløpet til grafen? 7

8 Funksjoner S.3 Funksjonsdrøfting Drøfting av polynomfunksjoner.3.1 Finn ved regning når grafen til funksjonen Finn også eventuelle topp- og bunnpunkter. Tegn grafen. f 1 16 stiger og når den synker..3. Finn ved regning, når grafen til funksjonen eventuelle topp- og bunnpunkter. Tegn grafen. f 3 stiger og når den synker. Finn også.3.3 Finn ved regning, når grafen til funksjonen 3 også eventuelle ekstremalpunkter. Lag en skisse av grafen. < f stiger og når den synker. Finn Finn ved regning, når grafen til funksjonen f 3 eventuelle stasjonære punkter. Lag en skisse av grafen. stiger og når den synker. Finn også Finn ved regning når funksjonen f vokser, og når den avtar. 3 3 Finn også eventuelle topp- og bunnpunkter. Lag en skisse av grafen. 8

9 Funksjoner S.3.6 Finn ved regning når funksjonen 3 f 3 vokser, og når den avtar. Finn også eventuelle topp- og bunnpunkter. Lag en skisse av grafen..3.7 Figuren viser grafen til en funksjon f. Tegn fortegnslinjene til f og f. 9

10 Funksjoner S.3.8 Gitt en funksjon g. Fortegnet til funksjonsuttrykket og den deriverte av funksjonen varierer som vist nedenfor Skisser i et koordinatsystem hvordan grafen til g kan se ut..3.9 Ved en bedrift blir det produsert treningsdresser. Ledelsen ved bedriften har funnet ut at overskuddet i kroner er gitt ved funksjonen treningsdresser som produseres pr år. O ,4 der er antall Hvor mange treningsdresser er det mest lønnsomt for bedriften å produsere per år? 10

11 Funksjoner S.3.10 Vi skal lage en eske uten lokk av en rektangelformet papplate med sider 50 cm og 40 cm. Vi gjør dette ved å klippe ut et kvadrat med side i hvert hjørne. Deretter bretter vi opp kantene og får en eske med høyde. Se figuren nedenfor. a) Finn et uttrykk for volumet av esken som en funksjon av. b) Finn ved regning hvilken verdi av som gir størst volum av esken. c) Hva blir det største volumet til esken? 11

12 Funksjoner S.3.11 For de to funksjonsuttrykkene nedenfor skal du ved regning i CAS finne nullpunktene, summen av nullpunktene og produktet av nullpunktene a) f 7 1 b) g 4 Gjør det samme med den generelle andregradsfunksjonen h a b c. Stemmer resultatet med det du fant for funksjonene f og g? Krumningsforhold og vendepunkter.3.1 Figuren viser grafen til en funksjon f. a) Finn fortegnslinjene til f, f og f b) Hva forteller fortegnslinjene? 1

13 Funksjoner S.3.13 Funksjonen f er gitt ved f 3 Df 3,5. 6 a) Drøft monotoniegenskapene til f b) Finn ved regning eventuelle stasjonære punkter. c) Drøft krumningsforholdene til f. d) Regn ut eventuelle vendepunkter e) Finn ved regning likningene til eventuelle vendetangenter. f) Lag en skisse av grafen og tegn vendetangenten til f Funksjonen h er gitt ved h 3 ( ) 6 1 a) Finn h ( ) b) Tegn fortegnslinja til h ( ) c) Finn vendepunktet. d) Finn likningen for vendetangenten e) Lag en skisse av grafen til h med vendetangenten. 13

14 Funksjoner S.3.15 Funksjonen f er gitt ved f a) Finn ved regning når funksjonen vokser og når den avtar. b) Finn koordinatene til topp- og bunnpunktene. c) Drøft krumningsforholdene. d) Finn vendepunktene. e) Lag en skisse av grafen. Drøfting av logaritmefunksjoner.3.16 Funksjonen f er gitt ved f ln. a) Bestem definisjonsområdet til f. Finn nullpunktene. b) Drøft monotoniegenskapene til f og finn eventuelle topp- eller bunnpunkter. c) Drøft krumningsforholdene til f. Finn eventuelle vendepunkter. d) Tegn en skisse av grafen. 14

15 Funksjoner S Drøfting av sammensatte funksjoner.3.17 Funksjonen f er gitt ved f e. a) Bestem definisjonsområdet til f. Finn nullpunktene. b) Drøft monotoniegenskapene til f og finn eventuelle topp- eller bunnpunkter. c) Drøft krumningsforholdene til f. Finn eventuelle vendepunkter. d) Tegn en skisse av grafen Du skal nå gjøre oppgave.3.17 ved hjelp av CAS-verktøy. Funksjonen f er gitt ved f e. a) Bestem definisjonsområdet til f. Finn nullpunktene. b) Drøft monotoniegenskapene til f og finn eventuelle topp- eller bunnpunkter. c) Drøft krumningsforholdene til f. Finn eventuelle vendepunkter. d) Tegn en skisse av grafen b Funksjonen g er gitt ved g a e hvor a og b er positive tall. a) Bestem definisjonsområdet til g. Finn nullpunktene. b) Drøft monotoniegenskapene til g og finn eventuelle topp- eller bunnpunkter. c) Drøft krumningsforholdene til g. Finn eventuelle vendepunkter. d) Tegn grafen til g når a 1 og b. 15

16 Funksjoner S Tolke den deriverte i modeller av praktiske situasjoner.3.0 Aleksander driver med svømming. Han har notert hvor mye han hadde trent hver dag de åtte første ukene i år. Han fant at lengden på treningen Treningslengden er i minutter. er ukenummer, dvs. at T per dag var gitt ved funksjonen 3 T 0, ,9 T er treningsmengden ved starten av uke. a) Når trente Aleksander mest? Hvor mange minutter trente han da? b) Når sank treningslengden per dag mest? 16

17 Funksjoner S.4 Økonomiske optimeringsproblemer.4.1 Kostnadene en bedrift har ved å produsere antall enheter av en vare er gitt ved 0, , 1000 K a) Finn grensekostnaden, K 500. Forklar hva dette svaret forteller oss. Varene selges for 860 kroner per enhet. b) Finn et uttrykk for inntekten, I og bestem grenseinntekten. c) Finn et uttrykk for overskuddet O i kroner. d) Bruk derivasjon til å finne hvilken produksjon som gir størst overskudd..4. En bedrift produserer og selger en vare. De totale kostnadene enheter av varen per dag er gitt ved K kroner ved produksjon av 3 0,01 0,08 10, , 100 K Inntekten i kroner ved salg av enheter av varen er 550 5, 0, 100 I a) Ved hvilken produksjon vil kostnader og inntekter være like store? b) Undersøk om det lønner seg å øke produksjonen når 50. Bedriften vil tilpasse produksjonen slik at overskuddet O blir størst mulig. c) Bruk derivasjon til å finne den produksjonen som gir størst mulig overskudd per dag. Hvor stort er dette overskuddet? 17

18 Funksjoner S.4.3 Eksamen S, våren 011 (bortsett fra oppgave e) En bedrift produserer og selger enheter av en vare per uke. De ukentlige produksjonskostnadene K er K 0, , 0, 1000 Salgsprisen på varen er 300 0,1 P Både K og P er gitt i kroner. a) Finn et uttrykk I for bedriftens inntekt I per uke. b) Tegn grafen til kostnadsfunksjonen K og grafen til inntektsfunksjonen I i det samme koordinatsystemet. c) For hvilke verdier av går bedriften med overskudd? d) 1) Vis at uttrykket for overskuddsfunksjonen O kan skrives som O 0, ) Undersøk hva må være for at overskuddet skal bli størst mulig. 3) Hva er prisen for varen når overskuddet er størst? Hvor stort er overskuddet da? e) Bruk grensekostnad og grenseinntekt til å bestemme hva må være for at overskuddet skal bli størst mulig, både grafisk og med regning. 18

19 Funksjoner S.4.4 En bedrift produserer en vare A. Etterspørselen varierer bare med prisen p kroner per enhet. Etterspørselen er antall enheter som selges og er gitt ved funksjonen e p p der p 60 Bedriften innretter produksjonen slik at det produseres like mange enheter som det selges a) Finn et uttrykk for inntekten I som funksjon av p. b) Bestem den prisen som gir størst inntekt. Hvor stor er inntekten ved denne prisen? Kostnadene i kroner ved produksjonen er gitt ved ,06 K der er antall produserte enheter. c) Bestem et uttrykk for kostnaden K som funksjon av p. d) Bestem et uttrykk for overskuddet O som funksjon av p. e) Hvilken pris gir størst overskudd? Hvor stort er det maksimale overskudd? 19

20 Funksjoner S.4.5 Kostnadene en bedrift har ved å produsere antall enheter av en vare er gitt ved 0, , 300 K a) Bestem et uttrykk for enhetskostnaden E. b) Bestem et uttrykk for grensekostnaden K. c) Tegn grafene til enhetskostnaden og grensekostnaden i samme koordinatsystem. Hva kan du si om skjæringspunktet mellom grafene?. d) I bunnpunktet på grafen til E er E 0 Du skal nå vise at enhetskostnadene er lavest når E K. K 1) Sett E og finn et uttrykk for E ) Bestem når E 0. Hva har du funnet nå? ved å bruke kvotientregelen for derivasjon e) Bestem den minste verdien for enhetskostnadene ved regning 0

21 Funksjoner S.5 Modellering.5.1 Tabellen under viser utslipp av svoveldioksid til luft i Norge for noen utvalgte år fra 1981 til 003 Årstall SO i 1000 tonn 136,4 104,0 37,0 33, 7,1 3, Bruk eksponentiell regresjon i et digitalt verktøy til å finne et funksjonsuttrykk som passer med punktene. La være antall år fra 1980 og S utslippet av svoveldioksid i tusen tonn. Plott punktene og tegn grafen til uttrykket du finner..5. Tabellen viser bruk av tid på hjemme-pc i perioden 1994 til 003 i minutter. Årstall Tid i minutter a) Bruk eksponentialregresjon i et digitalt verktøy til å finne et funksjonsuttrykk som passer med punktene. La være antall år fra 1994 og Plott punktene og grafen til uttrykket du finner. T bruk av tid på hjemme-pc. b) Bruk modellen du fant i a) og finn ut hvor mye tid som vil bli brukt på hjemme-pc i 010 og 00. c) Vurder gyldigheten av teorien fram i tid. 1

22 Funksjoner S.5.3 Punktene i koordinatsystemet nedenfor viser fem observasjoner av lufttrykket målt i millibar på fem ulike høyder over havet. a) Finn en matematisk modell som beskriver luftrykket målt i millibar. Norges høyeste fjell, Galdhøpiggen, ligger 469 meter over havet. b) Hva blir lufttrykket på Galdhøpiggen dersom vi bruker modellen vi fant i a?

23 Funksjoner S.5.4 Tabellen viser temperaturen i et kjøleskap de første timene etter et strømbrudd. Antall timer etter strømbruddet Antall grader i C 4,0 4,4 6,0 8,9 1,5 17,9 a) Bruk eksponentialregresjon i et digitalt verktøy til å finne et funksjonsuttrykk som passer med punktene. La være antall timer etter strømbruddet og punktene og tegn grafen til uttrykket du finner. b) Vurder gyldigheten til modellen framover i tid. Begrunn svaret ditt. T temperaturen i kjøleskapet. Plott La oss nå anta at vi får greie på at temperaturen i kjøleskapet etter timer er 0,0 C, etter 6 timer er den 1, C og etter 30 timer er temperaturen i kjøleskapet 1,5 C. c) Bruk logistisk regresjon i et digitalt verktøy til å finne et funksjonsuttrykk T opplysningen du nå har fått sammen med det du vet fra tidligere. L som passer med d) Marker datamaterialet fra tabellen ovenfor som punkter i et koordinatsystem. Tegn grafen til den logistiske funksjonen du fant i c) i samme koordinatsystem. e) Vurder gyldigheten til denne modellen framover i tid. Begrunn svaret ditt. 3

24 Funksjoner S.5.5 Sol Sikke ville finne ut hvordan en solsikke i hagen vokste fra uke til uke. Hun målte høyden til solsikken hver uke i 8 uker. De observerte verdiene ser du i tabellen nedenfor. Etter uker Høyde i cm a) Plott punktene i et koordinatsystem og finn et funksjonsuttrykk som passer til punktene. b) Vurder gyldigheten til modellen du fant i a). Sol Sikke fortsatte å måle solsikken sin 4 uker til. Høydene ser du i tabellen nedenfor. Etter uker Høyde i cm c) Bruk logistisk regresjon i et digitalt verktøy og finn et funksjonsuttrykk S som passer til punktene. d) Marker datamaterialet fra tabellen ovenfor som punkter i et koordinatsystem. Tegn grafen til den logistiske funksjonen du fant i c) i samme koordinatsystem. e) Vurder gyldigheten til modellen du fant i c) 4

25 Funksjoner S.5.6 Antall hjort har økt kraftig i et område. Tabellen viser antall hjort for enkelte år i perioden Årstall Antall år etter 1973, t Antall hjort i, N a) Finn en logistisk funksjon N t som passer med tallene i tabellen. b) Marker datamaterialer fra tabellen ovenfor som punkter i et koordinatsystem. Tegn grafen av den logistiske funksjonen du fant i a) i samme koordinatsystem. c) Hva er bæreevnen til hjortebestanden i dette området? 5

26 Funksjoner S.6 Bestemte integraler og arealer under kurver.6.1 En fabrikk produserer nå 500 enheter per måned av en vare. Bedriften vil satse på et nytt marked og regner med at produksjonen vil øke med % per måned de to kommende årene. Etter måneder er produksjonen, V, av varen gitt ved V 500 1,0 a) Bruk digitalt verktøy og finn hva den samlede produksjonen av varen vil være de neste årene? b) Finn en tilnærmingsverdi for samlet produksjon ved å regne ut hele arealet avgrenset av grafen til V, - aksen, y - aksen og linjene 0 og En bedrift slipper i dag ut 100 tonn av en klimagass per måned. Bedriften har som målsetting å redusere dette utslippet med 4 % per måned de neste månedene. a) Hvor stort er det månedlige utslippet, K, av klimagassen om 1 år dersom bedriften klarer målsettingen sin? b) Finn samlet utslipp, S, de neste tre årene ved å bruke et digitalt verktøy..6.3 Ved produksjon av en vare er etterspørselen per uke gitt ved 0, , 5 E e, der 1 betyr uke 1, er uke osv. a) Finn etterspørselen av varen etter 6 uker. b) Finn ved regning hvor mange uker det går før etterspørselen er på 160 enheter i uka. c) Finn samlet etterspørsel, S, i hele definisjonsområdet. 6

27 Funksjoner S Aktuelle eksamensoppgaver du finner på NDLA Bruk farger og marker de eksamensoppgaver du har regnet! Jo mere farger, jo bedre eksamenskarakter! Oppgaver del 1 Oppgaver del Høst 015 1, og 7 1, og Vår og 5 1, og 5 Høst 014 1, 4 og 5 1, og 4 Vår og 5 3 og 4 Høst og 4 1, 3, og 4 Vår og 5 1, og 5 Høst 01 1 og 6 og 3 Vår 01 1a og 1c 4 Høst 011 1a og 1f 3 og 6 Vår 011 1a 3 og 6 Høst 010 1a 4.(alt 1 og alt ) Vår 010 1a, 1d og 1e 5 og 6(alt 1 og alt ) Høst 009 1a, 1d og 1f 4(alt 1 og alt ) Vår 009 1a, 1e og 4(alt 1 og alt ) 7