R2 eksamen høsten 2017 løsningsforslag

Transkript

1 R eksamen høsten 017 løsningsforslag DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene a) f x sin3x f x cos3x 3 6cos3x sin x x sin x x sin x x x cos x sin x g x x x b) gx h x x cos x c) h x x cos x x cos x cos x x sin x x cos x x sin x Oppgave (5 poeng) Bestem integralene 3 a) x 3x dx x x x C b) x xe d x Vi bruker delvis integrasjon hvor x 1 x u e u e v x v 1 x x x x e x e 1 dx xe e C Eksamen REA304 Matematikk R Høsten 017 Side 1 av 14

2 c) x x 1 dx Vi bruker integrasjon med variabelskifte hvor du u x 1 du x dx dx x du x x 1dx xu u du u C u C x x 1 C x 1 x 1 C 3 3 Oppgave 3 (4 poeng) Løs de trigonometriske likningene. sin x 1 0, x 0, 1 sinx x k x k x k x k 1 1 k 0 og k 1 gir a) L,,, b) cos 3cos 0, 0, x x x cos x cos x cos x x k x k L, Eksamen REA304 Matematikk R Høsten 017 Side av 14

3 Oppgave 4 (6 poeng) Funksjonen f er gitt ved f x x x sin 3, 1, 5 a) Bestem toppunktene og bunnpunktene på grafen til f. f x har sin største verdi når sin x 1 Da er x k x k x 1k k 0 x 1 k 1 x 3 k x 5 Vi får toppunktene: 1, 5, 3, 5 og fx max f x har sin minste verdi når sin x 1 Da er x k x k x k k 0 x 0 k 1 x k x 4 Vi får bunnpunktene: 0, 1,, 1, 4, min og f x Eksamen REA304 Matematikk R Høsten 017 Side 3 av 14

4 b) Lag en skisse av grafen til f. På grunnlag av topp- og bunnpunktene kan jeg lage en skisse av grafen. c) Bestem arealet av området som er avgrenset av grafen til f, x-aksen og linjene x 0 og x Arealet f x dx sin x 3 dx sin x dx 3dx 0 0 u x du dx 4 4 sin u d u 3d x 0 0 cos x 3x 4 0 cos4 cos 0 3x Eksamen REA304 Matematikk R Høsten 017 Side 4 av 14

5 Oppgave 5 (8 poeng) Gitt punktene A (1, 0, 3), (3,, 1) a) Bestem AB, AC og AB AC. B og 0, 4, 4 AB 3 1, 0, 1 3,, 4 AC 0 1, 4 0, 4 3 1, 4, 1 C. AB AC,, 4 1, 4, 1 18,, 10 9, 1, 5 b) Vis at punktene A, B og 9x y 5z 4 C ligger i planet gitt ved likningen Fra punkt a) har vi at 9, 1, 5 er normalvektor til planet. Punktet A (1, 0, 3) ligger i planet, og for et tilfeldig punkt x, y, z i planet er x 1, y 0, z 3 9, 1, 5 0 9x 9 y 5z x y 5z 4 En linje står normalt på planet a og går gjennom punktet T 11, 7, 5. c) Bestem en parameterfremstilling for linjen. Bestem skjæringspunktet mellom linjen og planet. Siden 9, 1, 5 er normalvektor til planet, er denne også retningsvektor for. Posisjonsvektoren til et punkt x, y, z på linjen er da OP 11, 7, 5 t 9, 1, t,7 t, 5 5t En parameterfremstilling for linjen blir x 11 9t y 7 t z 5 5t Linjen skjærer planet når t 7 t 5 5 5t t 7 t 5 5t 4 107t 107 t 1 Skjæringspunktet får koordinatene , 7 1, 5 5 1, 6, 0 Eksamen REA304 Matematikk R Høsten 017 Side 5 av 14

6 d) Bestem volumet av pyramiden ABCT. V 1 AB AC AT 1 18,, , 7 0, ,, 10 10, 7, Oppgave 6 (3 poeng) Løs differensiallikningen når y 9y 10y 0 y 0 4 og y 0 7 Dette er en andreordens lineær og homogen differensiallikning. Vi setter den karakteristiske likningen lik null. r 9r r r 10 r 1 1 Den generelle løsningen er Startbetingelsene gir 10x x y Ce De og 10x x y 10 Ce De 0 0 y Ce De C D y Ce De 10C D 7 10C D 7 D 10C 7 C 10C 7 4 C 1 D 3 Løsningen blir 10x x y e 3e Eksamen REA304 Matematikk R Høsten 017 Side 6 av 14

7 Oppgave 7 (5 poeng) En aritmetisk tallfølge a n er definert ved at an 3n. s a a a. La n 1 n a) Bruk formelen for summen av en aritmetisk rekke til å vise at s n 3n n, n a1 an 31 3n 3n 1 3n n Sn n n n b) Bruk induksjon til å bevise formelen for s n som er gitt i oppgave a). Trinn 1, Induksjonsgrunnlaget. Vi viser at formelen gjelder for n 1. Når n 1, har vi kun ett ledd på venstre side. Venstre side: S1 a Trinn, Induksjonstrinnet Vi antar at formelen gjelder for n t. 3t t Vi har da St Vi vil nå vise at formelen da gjelder for nt 1. Det betyr at vi må vise at 31 1 Høyre side 1 3 t1 t1 3 t t 1 t 1 3t 6t 3 t 1 3t 5t St 1 Vi vet at St 1 St at 1 3t t 3t t 6 t 1 4 3t 5t St 1 St at 1 3t 1 Vi har dermed vist at formelen gjelder for nt 1. Ifølge induksjonsprinsippet gjelder formelen da for alle verdier av n. Eksamen REA304 Matematikk R Høsten 017 Side 7 av 14

8 Oppgave 1 (4 poeng) Et firma skal sette opp en stolpe. Det gjør de ved å slå stolpen ned i jorda med en pælemaskin. Det første slaget slår stolpen 1 cm ned i jorda. De neste slagene fører stolpen videre nedover, men stadig kortere for hver gang. Det viser seg at lengden som stolpen blir slått ned i jorda, blir redusert med 6,0 % for hvert slag. a) Hvor mange slag må de minst slå for å få stolpen mer enn 1,0 meter ned i jorda? Summen av alle lengdene målt i cm som stolpen blir sått ned i jorda, utgjør en konvergent geometrisk rekke med a1 1 og k 0,94 De må slå minst 1 slag for å få stolpen mer enn 1,0 m ned i jorda. b) Kan firmaet klare å slå stolpen så mye som, meter ned i jorda med denne pælemaskinen? Nei, firmaet kan maksimalt slå stolpen,00 meter ned i jorda, og ikke så mye som, meter. Eksamen REA304 Matematikk R Høsten 017 Side 8 av 14

9 Oppgave (6 poeng) En linje går gjennom punktene (7, 1, 1) A og 1, 6, 1 B. a) Bestem en parameterfremstilling for linjen. AB 1 7, 6 1, 1 1 6, 18, 4 6 1, 3, 4 OP OA t 1, 3, 4 7, 1, 1 t 1, 3, 4 7 t, 1 3 t, 1 4t En kuleflate K har sentrum i origo og radius 5. b) Bestem skjæringspunktet mellom linjen og kuleflaten K. Kuleflaten har likningen x y z 5 Skjæring mellom kule og linje når t t t Et plan er gitt ved : 4x 3y 7 0 Det er to plan som er parallelle med, og som samtidig tangerer kuleflaten K. Eksamen REA304 Matematikk R Høsten 017 Side 9 av 14

10 c) Bestem likningen for hvert av disse planene. La linjen m gå gjennom sentrum av kulen og stå normalt på planet. En normalvektor til planet, 4, 3, 0, er retningsvektor til m. Da har m en parameterfremstilling x 4t y 3t z 0 Linjen m skjærer kulen når Skjæringspunktene får koordinatene 4, 3, 0 og 4, 3, 0. Hvert av de to planene går gjennom ett av disse punktene og har samme normalvektor som. Likningene for planene blir derfor 4 x 4 3 y x 4 3 y 3 0 4x16 3y 9 0 4x 3y 5 4t 3t 0 5 5t 5 t 1 t 1 og 4x16 3y 9 0 4x3y 5 Eksamen REA304 Matematikk R Høsten 017 Side 10 av 14

11 Oppgave 3 (6 poeng) Bestanden av ørret i et bestemt fiskevann avtar med 3,0 % per år. Vi går ut fra at det er ørreter i vannet ved starten av 018. a) Forklar at differensiallikningen gitt ved y 0,03 y, y kan brukes til å bestemme ørretbestanden yt i vannet t år etter starten i 018. y At det er ørreter i år null, altså i 018, gir likningen At bestanden reduseres med 3 % per år gir likningen y 0,03 y siden den deriverte nettopp er lik endringen per år. b) Løs differensiallikningen. Hvor mange ørreter vil det være i vannet i 08? Det vil være ca ørreter i vannet i 018. Den lokale fiskeforeningen ønsker å sette ut et fast antall ørreter i vannet hvert år i ti år framover. Utsettingen starter tidlig i 018 og skjer kontinuerlig over tiårsperioden. Målet er at det ved starten av 07 skal være ørreter i vannet. c) Sett opp og grunngi en differensiallikning som kan brukes til å bestemme hvor mange ørreter de må sette ut hvert år for å nå målet. y 0,03 y k Hvert år i tiårsperioden reduseres bestanden med 3 % samtidig som det legges til et bestemt antall, k. Dette antallet legges til også i 018, slik at nå blir y k. Eksamen REA304 Matematikk R Høsten 017 Side 11 av 14

12 d) Hvor mange ørreter må de sette ut hvert år for å nå målet? De må sette ut ca. 850 ørreter per år. Eksamen REA304 Matematikk R Høsten 017 Side 1 av 14

13 Oppgave 4 (8 poeng) Funksjonen f er gitt ved f x x, x, a) Bruk graftegner til å tegne grafen til f. g x f 1 i samme koordinatsystem som grafen til f. Tegn også inn linjen gitt ved b) Bruk CAS til å bestemme arealet av sirkelsegmentet avgrenset av grafene til f og g. Arealet av sirkelsegmentet er 0,36 Vi dreier dette sirkelsegmentet 360 om x-aksen. Eksamen REA304 Matematikk R Høsten 017 Side 13 av 14

14 c) Bruk CAS til å bestemme volumet av omdreiningslegemet vi da får. Funksjonen F er gitt ved F x r x, x r, r, r 1 Linjen gitt ved G x F 1 skjærer grafen til F i punktene 1, F 1 og 1, 1 F. Området mellom grafene til F og G er et sirkelsegment. Vi roterer dette sirkelsegmentet 360 om x-aksen. d) Vis ved hjelp av CAS at volumet av omdreiningslegemet vi da får, er uavhengig av r. Vi ser av formelen at volumet er uavhengig av r. Kilder Oppgavetekst med grafiske framstillinger og bilder: Utdanningsdirektoratet. Eksamen REA304 Matematikk R Høsten 017 Side 14 av 14