Eksamen REA3026 S1, Høsten 2012

Transkript

1 Eksamen REA306 S1, Høsten 01 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (5 poeng) Løs likningene a) b) lg3 lg3 lg3 lg3 lg3 lg3 Alternativt: c) lg 1 4 lg 1 lg Eksamen REA306 Matematikk S1, Høsten 01 Side 1

2 Oppgave (4 poeng) Vi har gitt funksjonen f 3 3 a) Bestem eventuelle null-, topp- og bunnpunkter på grafen til f. Jeg finner eventuelle nullpunkter ved å sette f Jeg finner eventuelle topp- og bunnpunkter ved å sette f Jeg regner så ut noen verdier for den deriverte for 1, for 1 1 og for 1. f f vokser når 1 f f avtar når 1 1 f f vokser når 1 Vi kan da sette opp fortegnslinjen til f 3 Det betyr at f har toppunkt f og at f har bunnpunkt 1, 1 1, , 1, f 1 1, , Eksamen REA306 Matematikk S1, Høsten 01 Side

3 b) Lag en skisse av grafen til f. Oppgave 3 ( poeng) Løs likningssystemet y 10 8 y1 y 1 y1 y y Oppgave 4 (1 poeng) 4 Lag en formel for uttrykt med y når 3y 3 Eksamen REA306 Matematikk S1, Høsten 01 Side 3

4 3 4 3y 3 3 9y 4 9 y y y y y Eksamen REA306 Matematikk S1, Høsten 01 Side 4

5 Oppgave 5 ( poeng) Harald kjøpte i alt 0 sekker med bjørkeved og granved. En sekk med bjørkeved kostet 83 kroner, og en sekk med granved kostet 65 kroner. Til sammen betalte han 1570 kroner for sekkene. Bestem hvor mange sekker med bjørkeved og hvor mange sekker med granved Harald kjøpte. Jeg lar stå for antall sekker med bjørkeved, og y for antall sekker med granved Harald kjøpte. Opplysningene i oppgaven gir da likningssettet y y 1570 y 0 y y Harald kjøpte 15 sekker med bjørkeved og 5 sekker med granved. Oppgave 6 (4 poeng) Skriv så enkelt som mulig lg 3lgb lg a 5 b a) ab a 5 lgab 3lgb lg lg 5 ab 3lgb lga lgb b lga lgb 3lgb lga 5lgb lga10lgb lg ab 10 b) Eksamen REA306 Matematikk S1, Høsten 01 Side 5

6 Oppgave 7 (4 poeng) a) Skriv opp de åtte første radene i Pascals trekant. b) Bruk Pascals trekant til å bestemme binomialkoeffisientene ,, og I Pascals trekant finner vi binomialkoeffisienten m i rad nummer m hvor øverste rad er rad n nummer 0, og i rutenummer n telt fra venstre. Ruten lengst til venstre er rute nummer 0. Det betyr at 4 1, 5 10, 5 5 og c) I en eske er det åtte papirlapper nummerert fra og med 1 til og med 8. Hvor mange ulike tall med tre siffer kan vi lage med de åtte nummererte lappene? Dette er et ordnet utvalg uten tilbakelegging, det vil si at rekkefølgen betyr noe. Antall tall med tre siffer vi kan lage er 8! ! 5431 Eksamen REA306 Matematikk S1, Høsten 01 Side 6

7 Oppgave 8 ( poeng) Funksjonen f er gitt ved Vis at f 1 f 4 ved å bruke definisjonen av den deriverte. 1 f f 1 f f f f f f f f lim lim lim 0 lim lim lim lim 4 f 0 f Eksamen REA306 Matematikk S1, Høsten 01 Side 7

8 Del Tid: 3 timer Hjelpemidler: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave 1 (6 poeng) Et utleiefirma har 0 kajakker på lager. Av disse er sju gule, åtte røde og fem hvite. Maria og tre venner vil leie hver sin kajakk. Firmaet velger ut fire kajakker tilfeldig fra lageret. a) Bestem sannsynligheten for at Maria og vennene får utdelt to gule, én rød og én hvit kajakk. Dette er en hypergeometrisk sannsynlighetsfordeling P to gule, én rød, én hvit 17,34 % 0 4 Utregning fra GeoGebra: b) Bestem sannsynligheten for at firmaet velger ut fire gule kajakker P fire gule, ingen røde eller hvite 0,7 % 0 4 Utregning fra GeoGebra: Eksamen REA306 Matematikk S1, Høsten 01 Side 8

9 c) Bestem sannsynligheten for at ingen av de fire kajakkene er gule P ingen gule, 4 røde eller hvite 14,76 % 0 4 Utregning fra GeoGebra: Eksamen REA306 Matematikk S1, Høsten 01 Side 9

10 Oppgave (9 poeng) Funksjonen f er gitt ved 1 3 f 3 3 a) Bestem ved regning skjæringspunktene mellom grafen til f og koordinataksene. Jeg definerer funksjonen i GeoGebra. Utregninger i GeoGebra viser at Grafen skjærer y -aksen i punktet 0,0 Grafen skjærer - aksen i punktene 0,0 og 4,5, 0 Eksamen REA306 Matematikk S1, Høsten 01 Side 10

11 b) Tegn grafen til f når,5. Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet 0,3. Jeg tegner grafen til f i GeoGebra for,5 Den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet 0,3, er stigningstallet til den rette linja som går gjennom punktene 0, f 0 0,0 og 3, f 3 3, 4,5 Den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet 0,3 er 1,5. (Se koordinatsystemet ovenfor.) Eksamen REA306 Matematikk S1, Høsten 01 Side 11

12 c) Bruk f til å bestemme eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f. Utregninger i GeoGebra viser at den deriverte er null for 0, og for 3. Den deriverte er positiv, det vil si at grafen stiger når 0 og når 3. Den deriverte er negativ, det vil si at grafen synker når 0 3. Grafen til f har toppunkt 0, f 0 0,0 Grafen til f har bunnpunkt 3, f 3 3, 4,5 d) For hvilke verdier av er den momentane vekstfarten lik 1,5? Jeg løser likningen f 1,5 i GeoGebra Den momentane vekstfarten lik 1,5 når 0,6 og når,4 Eksamen REA306 Matematikk S1, Høsten 01 Side 1

13 Oppgave 3 (7 poeng) Kostnadene f målt i kroner, ved å produsere en bestemt vare er gitt ved funksjonen f 0, der er antall hundre produserte enheter. For eksempel svarer 0 til 000 enheter. Produsenten selger hele produksjonen. Prisen per enhet er 5,00 kroner. a) Forklar at inntektsfunksjonen g er gitt ved g 500 Tegn grafene til f og g i samme koordinatsystem når 0,. Inntekten, g, er lik antall solgte enheter, Vi får g 100 5, Vi tegner grafene til f og g i GeoGebra for 0, 100, multiplisert med pris per enhet, 5,00 kroner. b) Bestem hvor mange enheter som må produseres og selges for at driften skal gå i balanse. Eksamen REA306 Matematikk S1, Høsten 01 Side 13

14 Jeg finner skjæringspunktene mellom grafene til kostnadsfunksjonen og inntektsfunksjonen ved kommandoen "skjæring mellom to objekt" i GeoGebra. Skjæringspunktene mellom kostnadsfunksjonen og inntektsfunksjonen viser at inntekter og kostnader like store, det vil si at bedriften går i balanse, når det produseres og selges 400 enheter og når det produseres og selges 100 enheter. c) Bestem den produksjonsmengden som gir størst overskudd. Hvor stort er det største overskuddet? Jeg finner grafisk toppunktet på overskuddsfunksjonen O f g ved kommandoen "Ekstremalpunkt" i GeoGebra. En produksjonsmengde på enheter gir størst overskudd. Det største overskuddet er på kroner. Eksamen REA306 Matematikk S1, Høsten 01 Side 14

15 Oppgave 4 (8 poeng) En bedrift produserer enheter av en vare A og y enheter av en vare B. Bedriften har funnet ut at det er følgende begrensninger i forbindelse med produksjonen: 39y13 4y50 3y44 5y4 a) Lag et koordinatsystem og marker på figuren det området som er avgrenset av de fire ulikhetene. Vi tegner i GeoGebra Bedriften regner med at vare A kan selges for 840,00 kroner per enhet, mens vare B kan selges for 1500,00 kroner per enhet. b) Hvor mange enheter bør produseres og selges av hvert vareslag dersom salgsinntekten skal bli størst mulig? Hvor stor er den maksimale inntekten bedriften kan oppnå? Inntektsfunksjonen for bedriften blir I, y 840, ,00 y Jeg tegner grafen til inntektsfunksjonen i GeoGebra hvor inntekten er glideren i. Alle punkter som ligger på grafen til inntektsfunksjonen, den røde grafen, gir samme inntekt. Denne grafen parallellforskyves for ulike inntekter inntil den berører det skraverte området som markerer de aktuelle produksjonskombinasjoner av vare A og vare B. Eksamen REA306 Matematikk S1, Høsten 01 Side 15

16 Bedriften oppnår maksimal inntekt når det produseres 6 enheter av vare A og 6 enheter av vare B. Jeg regner ut den maksimale inntekten i GeoGebra Den maksimale inntekten bedriften kan oppnå er kroner. Eksamen REA306 Matematikk S1, Høsten 01 Side 16

17 c) Vis at bedriften er sikret en minsteinntekt på ,00 kroner. Jeg fortsetter å parallellforkyve nivålinjen for inntekt. En produksjon av 16 enheter av vare A og 4 enheter av vare B er den av de aktuelle produksjoner som gir lavest inntekt. Minsteinntekten er på kroner. Eksamen REA306 Matematikk S1, Høsten 01 Side 17

18 Oppgave 5 (6 poeng) En produsent skal lage en rett, lukket sylinder. Høyden h og diameteren d kan variere, men dh 6. Vi setter radius i sylinderen lik. a) Vis at volumet V av sylinderen da kan skrives som 6 V 3 Vis at i denne oppgaven må 0,3. dh6 h6 h6 V G h r h V V For å få en sylinder må radius og høyde være større enn null. Det gir 0 og h 0. h Vi må altså ha 0,3 b) Bruk V til å vise at det største volumet sylinderen kan få, er nøyaktig lik 8. Jeg definerer først volumfunksjonen i GeoGebra (linje 1). Jeg finner toppunktet til volumfunksjonen der den deriverte funksjonen er lik null forutsatt at den deriverte er positiv, grafen stiger, til venstre for punktet og den deriverte er negativ til høyre for punktet (linje,3 og 4). Jeg kan ikke bruke løsningen 0 fordi denne løsningen ligger utenfor definisjonsområdet. Sylinderen får sitt største volum når. Linje 5 viser at: Det største volumet sylinderen kan f å er 8. Eksamen REA306 Matematikk S1, Høsten 01 Side 18