Eksamen S2 høsten 2014 løsning

Transkript

1 Eksamen S høsten 014 løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Oppgave 1 (3 poeng) Deriver funksjonene a) f 3ln 1 3 f 3 1 b) g ln3 1 ln3 g ln 3 1 Oppgave ( poeng) Forklar hvordan vi kan avgjøre om brøken nedenfor kan forkortes, uten å utføre forkortningen Forkort brøken. Hvis brøken kan forkortes, må nevneren være en faktor i telleren. Det betyr at telleren må bli lik null for Jeg vet da at divisjonen «går opp» Jeg dividerer teller med nevner Eksamen REA308 Matematikk S høsten 014 Side 1

2 3 : Brøken kan da forkortes Oppgave 3 (3 poeng) a a a a) Bestem et uttrykk for summen a 1 n Dette er en geometrisk rekke med a1 n a, 1 k og antall ledd lik n n Summen av rekken er a Sn a a a a 1 1 n n1 1 a a a En uendelig geometrisk rekke er gitt ved a 3 b) Begrunn hvorfor rekken konvergerer. Siden kvotienten 1 k ligger mellom 1 og 1, konvergerer rekken. c) Bestem a slik at summen av rekken blir 10. Summen av den uendelige rekken er a a S a S 10 a 10 a Eksamen REA308 Matematikk S høsten 014 Side

3 Oppgave 4 (5 poeng) En funksjon f er gitt ved 3 f 6 9, Df a) Bestem ved regning nullpunktene til f. 3 f Nullpunktene til f er 0 og 3 b) Bestem ved regning eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f. I eventuelle topp- og bunnpunkter er den deriverte lik null. f f 1 3 Det betyr at Jeg tar stikkprøver for å finne fortegnet til den deriverte i aktuelle intervall. f positivt f 1 3 negativt f positivt Jeg lager fortegnslinje Eksamen REA308 Matematikk S høsten 014 Side 3

4 Grafen stiger når 1, grafen synker for 1 3 og grafen stiger for 3 Grafen har toppunkt i Grafen har bunnpunkt i 1, f 1 1, ,4 3, f 3 3, , ,0 c) Bestem ved regning vendepunktet på grafen til f. I vendepunktet er den dobbeltderiverte lik null. f f 6 1 f Vendepunktet har koordinater d) Lag en skisse av grafen til f., f, 3 6 9,8 4 18, Eksamen REA308 Matematikk S høsten 014 Side 4

5 Oppgave 5 (5 poeng) I koordinatsystemet nedenfor ser du grafen til en kostnadsfunksjon K, markert med rødt på figuren. Det er også tegnet inn tre rette linjer. Disse har likningene y 4,46, y 3,43 og y, To av linjene tangerer grafen til funksjonen y K i henholdsvis A og B. Enhetskostnaden ved produksjon av enheter er K. a) Bestem enhetskostnaden ved produksjon av 400 enheter. Enhetskostnaden ved produksjon av 400 enheter, linjen gjennom punktene origo og A 400, K400 K , er lik stigningstallet til den rette. Denne linjen må være gitt med likningen y 4,46 siden det er den av de oppgitte linjene gjennom origo som har størst stigningstall. Enhetskostnaden ved produksjon av 400 enheter er derfor 4,46 kroner per enhet. b) Forklar at grensekostnaden ved produksjon av 400 enheter er,06 kroner per enhet. Grensekostnaden ved produksjon av 400 enheter er lik stigningstallet til tangenten til K i A. Det vil si stigningstallet til linjen gitt ved likningen y, Grensekostnaden ved produksjon av 400 enheter er derfor lik,06 kroner per enhet. c) Bestem den minste enhetskostnaden. Enhetskostnaden ved produksjon av enheter, K, er lik stigningstallet til den rette linjen gjennom punktene origo og P, K. Siden linjen gitt ved y 3,43 tangerer K i B, må dette være linjen med lavest stigningstall gjennom punktene origo og P enhetskostnaden er derfor 3,43 kroner per enhet., K. Den minste Eksamen REA308 Matematikk S høsten 014 Side 5

6 Oppgave 6 (4 poeng) En stokastisk variabel X har følgende sannsynlighetsfordeling: P X a b c Vi får oppgitt at forventningsverdien er E X og at variansen er a) Vis at disse opplysningene gir oss ligningssystemet a b c 1 1 a c 7a 3b 3c Var X. 1 Samlet sannsynlighet er lik 1. Det betyr at abc E X 1a 0b1c a c Var X 1 a 0 b 1 c a b c 7a 3b 3c b) Bestem verdiene av a, b og c. abc 1 c 1a b Det gir a 1 a b 1 1 a b b a 7 a 3b 31ab 7 7a 3b 3 3a 3b 7 4a b a b 1 c 1a b a Vi får løsningene a b c Eksamen REA308 Matematikk S høsten 014 Side 6

7 Oppgave 7 ( poeng) Funksjonen f er gitt ved 3 f 3, Df Bestem hvilke punkter på grafen til f som har tangent med stigningstall lik. Stigningstallet til tangenten er lik den deriverte. Jeg finner derfor 3 f 3 f 3 6 Når tangenten har stigningstall lik, er f Punkter på grafen med stigningstall lik er da 0, 0 0, f f og, f, 3 3,8 1 4, Eksamen REA308 Matematikk S høsten 014 Side 7

8 Tid: 3 timer Hjelpemidler: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave 1 (7 poeng) La være antall produserte og solgte enheter fra en bedrift. Sammenhengen mellom og prisen per enhet er 500 0,1 p a) Bestem et uttrykk for inntekten I. Inntekt er lik pris per enhet multiplisert med antall enheter. Det gir I p 500 0,1 0,1 500 Tabellen nedenfor viser kostnaden ved produksjon av enheter for en del verdier av b) Bruk tabellen til å lage en modell for kostnadsfunksjonen K. Jeg legger dataene fra tabellen inn som punkter i et regneark i GeoGebra hvor er antall produserte enheter, og y er kostnadene når det produseres enheter. Jeg markerer punktene i tabellen, høyreklikker og bruker kommandoen «Lag liste med punkt». Punktene avsettes i grafikkfeltet. Ved kommandoen «RegPoly[ <Liste med punkt>, <Polynomgrad> ]» og polynomgrad, fikk jeg Eksamen REA308 Matematikk S høsten 014 Side 8

9 funksjonen K 0,05 109, som passet godt med punktene fra tabellen og derfor er en modell for kostnadsfunksjonen. O. Bruk O til å bestemme den produksjonsmengden c) Bestem et uttrykk for overskuddet som gir størst overskudd. Overskuddet er lik inntekt minus kostnad. Jeg definerer inntektsfunksjonen og overskuddsfunksjonen i CAS i GeoGebra og får O 0, Jeg finner videre at O 0 for 130. Linje 4 i CAS viser at grafen til O vender sin hule side ned og at O derfor har et toppunkt for 130. En produksjonsmengde på 130 enheter gir størst overskudd. d) Forklar hvorfor løsningen av likningen K I O I K O K I gir samme resultat som i oppgave c). 0 0 O K I K I Eksamen REA308 Matematikk S høsten 014 Side 9

10 Oppgave (5 poeng) En bonde skal gjerde inn kuene sine på et rektangelformet område. Området skal være på 65 m. Bonden skal bruke en 15 m lang steinmur som en del av inngjerdingen. Se skissen nedenfor. a) Vis at en funksjon G som beskriver lengden av gjerdet kan skrives som G når 15 G y 15 hvor y 65 og 15. Lengden av gjerdet Det betyr at 65 y 65 y G b) Bestem hvor langt gjerde bonden må bruke dersom han skal bruke kortest mulig gjerde. Hvilken form har da området til bonden? Regningen i CAS viser at bonden bruker kortest mulig gjerde når 5 meter. Da 65 er y 5 meter. Gjerdet er da 5 45 m15 m 85 m. Området har da form som et kvadrat. Eksamen REA308 Matematikk S høsten 014 Side 10

11 Oppgave 3 (4 poeng) Katrine satte inn kroner på konto hvert år, første gang 1. januar 007 og siste gang 1. januar 010. Innskuddsrenten var hele tiden 3,5 % per år. Alle innskuddene sto urørt. a) Hvor mye hadde Katrine på sparekontoen i banken 31. desember 010? Jeg lager et skjema for å få oversikt over situasjonen Katrines sparebeholdning utgjør en geometrisk rekke med sum Katrine hadde kroner på kontoen Eksamen REA308 Matematikk S høsten 014 Side 11

12 1. januar 011 ble innskuddsrenten satt ned til 3,0 % per år. b) Katrine satte ikke flere penger i banken, men tok i stedet ut kroner hvert år, første gang 1. januar 011 og siste gang 1. januar 014. Hvor mye hadde Katrine på sparekontoen 31. desember 014? Jeg lager et skjema for å få oversikt over situasjonen Katrines samlede uttak utgjorde en geometrisk rekke med sum Samtidig hadde Katrines beholdning fra forrentet seg i fire år Katrines kontobeholdning per var på kroner. Eksamen REA308 Matematikk S høsten 014 Side 1

13 Oppgave 4 (6 poeng) Den amerikanske geofysikeren Marion King Hubbert lanserte i 1956 følgende modell for verdens årlige oljeforbruk: V t Her er 3400e 156e 0,051t 0,051t Vt antall milliarder fat olje som produseres i år t etter For eksempel er V 5 antall milliarder fat som ble produsert i 1935 a) Tegn grafen til V. b) Når vil produksjonen være 10 milliarder fat per år ifølge modellen? Jeg finner skjæringspunktene mellom grafen til V og linjen y 10 grafisk ved kommandoen «Skjæring mellom to objekt». Produksjonen vil ifølge denne modellen være 10 milliarder fat per år, 53 og 105 år etter Det vil si i årene 1983 og 035. c) Hvilket år vil produksjonen være størst? Jeg finner maksimal produksjon grafisk ved kommandoen «Ekstremalpunkt[V,0,140]». Produksjonen vil ifølge denne modellen være størst 79 år etter Det vil si i år 009. d) Hva vil den totale produksjonen av olje være i årene fra og med 1930 til og med 014? Jeg finner samlet produksjon ved kommandoen «integral[v,0,85]».til og med 014 betyr fram til 015 som er 85 år etter Den totale produksjonen i disse årene er på 666 milliarder fat. Eksamen REA308 Matematikk S høsten 014 Side 13

14 Oppgave 5 (6 poeng) Båt-tallene B n er antall prikker i figurene nedenfor. Vi ser at B1 8 og B 15. a) Bestem B 4 Båt-tallet B fordi i forhold til B som har 15 prikker, må vi legge til 6 prikker i den «nederste delen» og 3 prikker i den «øverste delen». I figur B 4 må vi legge til 7 prikker i den «nederste delen» og 4 prikker i den «øverste delen» av B 3 slik at B Mathias ser at han kan dele hver figur i to biter slik at han får en trekant og en del av en større trekant. Ut fra dette ser han at Bn Tn Tn 3 3, der Tn 13 n. b) Bruk dette til å bestemme B 5. B T T 3 T T Eksamen REA308 Matematikk S høsten 014 Side 14

15 Vi kan også regne i CAS c) Bestem en formel for B n uttrykt ved n. B T T 3 1 n 1 n 3 3 n n n3 1 n 1 n 3 n n n n n 3n 4n n 8 n 6 n 4n 3 n 1n 3 Det letteste er å regne i CAS Formelen på faktorisert form blir veldig «brukervennlig». Vi ser for eksempel at B som vi også fikk i oppgave b). Eksamen REA308 Matematikk S høsten 014 Side 15

16 Oppgave 6 (8 poeng) En fabrikk produserer juice i kartonger. Hver kartong skal inneholde ca. 0,33 L juice. I denne oppgaven tenker vi at innholdet i boksene er normalfordelt med forventningsverdi 0,33 L og standardavvik på 0,03 L. a) Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt kartong inneholder mer enn 0,36 L? Sannsynligheten for at en tilfeldig kartong inneholder mer enn 0,36 L er 15,9 %. b) Hvor mange prosent av kartongene vil inneholde mellom 0,3 L og 0,34 L? 6,1 % av kartongene vil inneholde mellom 0,3 L og 0,34 L. Eksamen REA308 Matematikk S høsten 014 Side 16

17 I en kvalitetskontroll inneholdt 5 tilfeldige kartonger gjennomsnittlig 0,9 L juice. c) Sett opp hypoteser og vurder om bedriften i snitt tapper for lite juice på kartongene. Bruk et signifikansnivå på 5 %. Nullhypotesen: H : 0,33 0 Den alternative hypotesen: H : 0,33 1 Sentralgrensesetningen sier at innholdet i 5 kartonger er normalfordelt med 0,33 5 og 0,03 5. Jeg regner ut PInnhold i 5 kartonger 0,9 5 Sannsynligheten, p-verdien, er langt under 5 %. Det betyr at bedriften i snitt tapper for lite juice på kartongene. Bedriften synes det er uheldig at så mange kunder får for lite juice i kartongene: De kan ikke gjøre noe med standardavviket, siden det er bestemt av produksjonsutstyret. Likevel ønsker de at ca. 90 % av alle kartongene skal inneholde mer enn 0,3 L juice. Dette kan de få til ved å i snitt tappe mer juice på hver kartong d) Hva må forventningsverdien være for å få dette til? Jeg prøver meg med forskjellige forventningsverdier. Jeg finner at hvis forventningsverdien er minst 0,359 L, så vil 90 % av alle kartongene inneholde minst 0,3 L. Eksamen REA308 Matematikk S høsten 014 Side 17

18 Kilder Oppgavetekst med grafiske framstillinger: Utdanningsdirektoratet Eksamen REA308 Matematikk S høsten 014 Side 18