Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Høsten 2014

Transkript

1 Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Høsten 01 Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform , ( ) 6 7,510 5,010,55,010 1,510 1,510 Oppgave (1 poeng) Løs likningen 16 lg lg16 lg lg lg l g lg lg Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Høsten 01 - Løsning

2 Oppgave 3 (1 poeng) Løs likningen lg( 3) lg(3) Oppgave ( poeng) Løs ulikheten 0 Finner nullpunktene til andregradsuttrykket: b b ac a ( ) v Andregradsutrykket er lik 0 for og 1, og kan skrives: ( )( 1) 1 Jeg sjekker så når uttrykket er positivt og negativt ved å velge en -verdi fra hvert av intervallene,,,1 og 1,. 3 : ( 3 )( 3 1) ( 1)( ) 0 : (0 )(0 1) ()( 1) : ( )( 1) ()(1) positiv negativ positiv for, og 1, Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Høsten 01 - Løsning

3 Oppgave 5 ( poeng) I en klasse er det seks gutter og fire jenter. To elever velges tilfeldig til å være med i en spørreundersøkelse. Tegn et valgtre, og bruk dette til å bestemme sannsynligheten for at én jente og én gutt velges ut. 6 6 P(gutt) 6 10 P(jente) 6 10 En kan trekke én gutt og én jente på to måter: først gutten og så jenta, eller først jenta og så gutten P (gutt og jente) Sannsynligheten for at én gutt og én jente velges ut er 8/15. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Høsten 01 - Løsning

4 Oppgave 6 (3 poeng) Ovenfor ser du grafen til en tredjegradsfunksjon f. a) For hvilke verdier av er f() 0? For hvilke verdier av er f () < 0? f() 0 når = 0 og 3. Den deriverte er negativ der grafen synker. f () < 0 når 0 < <. b) Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til f fra = 0 til =. y f() f(0) a 0 0 Den gjennomsnittlige vekstfarten til f fra = 0 til = er -. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Høsten 01 - Løsning

5 Oppgave 7 ( poeng) Trekk sammen og skriv så enkelt som mulig ( 3)( 3) ( 3)( 3) ( 3)( 3) ( 3)( 3) ( 3)( 3) Oppgave 8 (3 poeng) Forklar hvorfor hver av påstandene nedenfor er riktige. a) ,5 5 5 Uttrykket til venstre kan skrives som,5, som er større enn. b) tan51 motstående katet Definisjonen av tangens, tanv, gjelder for rettvinklede trekanter. I en hosliggende katet rettvinklet trekant der den ene vinkelen er 5, må også den siste vinkelen være 5, ettersom Vi har dermed en likebeint rettvinklet trekant. Det betyr at tangensverdien blir lik 1. c) log00 lg Definisjonen av logaritme gir 10 a a. Det gir lg Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Høsten 01 - Løsning

6 Oppgave 9 ( poeng) Gitt ABC. Punktet D ligger på AB og punktet E ligger på AC slik at DE ǁ BC. Se skissen ovenfor. AB = 8, AE = 3 og arealet ABC er 16. a) Bestem AC og AD ved regning. 1 A ABC AB AC 1 8 AC 16 AC 16 AC Ettersom DE og BC er parallelle, blir vinkel ADE og ABC like store. Det samme gjelder vinkel AED og ACB. Trekantene er derfor formlike, og vi kan sette opp følgende uttrykk: AD AB AE AC AD AD 3 6 b) Vis ved regning at BC DE 5 BC AB AC DE AD AE BC DE Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Høsten 01 - Løsning

7 Oppgave 10 (5 poeng) n n1 Karin har lært at det er mulig å bruke derivasjonsregelen ( )' n til å derivere funksjonen f ved f ( ) 1 Hun starter med å skrive f( ) Så deriverer hun f '( ) 1 1 a) Skriv om uttrykket for f () ovenfor, og vis at 1 f'( ) f '( ) Funksjonene g og h gitt ved g ( ) derivasjonsregelen ovenfor. b) Bestem g'( ) og h'( ). og h() kan også deriveres ved å bruke g( ) g'( ) h( ) h'( ) 1 Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Høsten 01 - Løsning

8 Oppgave 1 ( poeng) 0,6,5 5, 7,8 9,6 y Det er en tilnærmet lineær sammenheng mellom størrelsene og y. Se tabellen ovenfor. Bruk regresjon til å bestemme denne sammenhengen. Jeg plotter punktene inn i GeoGebra, ved å skrive (0.6, 50, (.5, 80) osv. i innskrivingsfeltet. Deretter bruker jeg kommandoen beste tilpasset linje. Den beste tilpassede lineære sammenhengen mellom størrelsene og y er y = 9,5 + 00,3. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Høsten 01 - Løsning

9 Oppgave (6 poeng) Grete observerer en bakteriekultur. Funksjonen B gitt ved 3 B( ) 0,1 5, viser antall bakterier B() i bakteriekulturen timer etter at hun startet observasjonene. a) Tegn grafen til B for [0,60] Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Høsten 01 - Løsning

10 b) Bestem toppunktet på grafen og skjæringspunktene mellom grafen og aksene. Jeg finner toppunktet ved å skrive inn kommandoen Ekstremalpunkt[B] i innskrivingsfeltet. Jeg finner skjæringspunktet med -aksen ved å skrive inn kommandoen Nullpunkt[B]. Konstantleddet forteller oss hva skjæringspunktet med y-aksen er. Toppunktet er (31.3, 97871), skjæringspunktet med -aksen er (56.7,0) og skjæringspunktet med y-aksen er (0, ). c) Hva forteller svarene i oppgave b) om bakteriekulturen? 0, ,6 Ved starttidspunktet er det bakterier i kulturen. Antallet stiger opp til en topp på ca , før det begynner å avta. Etter 56 timer og 0 minutter er det ingen bakterier igjen. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Høsten 01 - Løsning

11 d) Bestem den momentane vekstfarten til bakteriekulturen etter 0 timer. Jeg markerer punktet (0, B(0)) på grafen, og bruker kommandoen «tangenter» til å tegne en tangent i dette punktet. Stigningstallet til tangenten er den momentane vekstfarten etter 0 timer. Den momentane vekstfarten etter 0 timer Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Høsten 01 - Løsning

12 Oppgave 3 ( poeng) I en klasse er det 13 gutter og 17 jenter. 8 av guttene og 9 av jentene har tatt trafikalt grunnkurs. Vi velger tilfeldig en elev fra klassen. Eleven har ikke tatt trafikalt grunnkurs. a) Bestem sannsynligheten for at eleven er en jente. Jeg lager en krysstabell: Har tatt trafikalt grunnkurs Har ikke tatt trafikalt grunnkurs Gutt 8 5 Jente 9 8 SUM SUM P (jente ikke trafikalt grunnkurs) 8 13 Vi velger tilfeldig to elever fra klassen. b) Bestem sannsynligheten for at minst én av dem har tatt trafikalt grunnkurs. P(minst én har trafikalt grunnkurs) 1 P (ingen har trafikalt grunnkurs) Regner i CAS i GeoGebra: P (minst én har trafikalt grunnkurs) 0,8 Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Høsten 01 - Løsning

13 Oppgave ( poeng) En tomt har form som vist på figuren ovenfor. Bestem arealet av tomta ved regning. Jeg deler tomta i to ved å trekke opp diagonalen BD. A ABD 70 m80 m 800 m Finner lengden av BD ved å bruke Pytagoras setning. Regner i CAS i GeoGebra. Finner så vinkel C ved å bruke cosinussetningen. Finner så arealet av trekant BCD, og legger sammen med areal av trekant ABD. Arealet av tomta ABCD er ca. 618 m. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Høsten 01 - Løsning

14 Oppgave 5 ( poeng) Gitt to ulike trekanter ABC som er slik at A 0, BC 6,0 cm og AC 9,0 cm. a) Lag en skisse som viser hvordan de to trekantene kan se ut. b) Sett opp uttrykk som du kan bruke til å bestemme lengden av siden AB i hver av trekantene. Bruk uttrykkene til å bestemme de to lengdene. Bruker cosinussetningen. Regner i CAS i GeoGebra: De to mulige lengdene av siden AB er 5,3 cm og 8,5 cm. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Høsten 01 - Løsning

15 Oppgave 6 ( poeng) Funksjonene f og g er gitt ved f( ) a g( ), `0 a) Illustrer grafisk at likningen f( ) g( ) kan ha ingen løsning, én løsning eller to løsninger, avhengig av verdien av a. Jeg tegner de to grafene i GeoGebra. For f() velger jeg en glider for a. f() er den røde linja, mens g() er den blå grafen. Ved å dra i glideren kan vi variere verdien av a. Dette er stigningstallet, og jo større dette tallet er, jo brattere blir linja. Er den negativ, synker linja. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Høsten 01 - Løsning

16 Ved å la a = 0, får vi bare én løsning: Ved å la a = -, får vi bare én løsning: Ved å la a < -, får vi ingen løsning: Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Høsten 01 - Løsning

17 Når a,0 0,, får vi to løsninger. Når a < -, får vi ingen løsninger. Når a = - og a = 0, får vi bare én løsning. Når a,0 0,, får vi to løsninger. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Høsten 01 - Løsning

18 Bestem ved regning verdiene av a slik at likningen f( ) g( ) har ingen løsning en løsning to løsninger a a 0 b b ac a a a ( ) 16 8a a for alle a0 Vi kan ikke finne kvadratrota av negative tall, så vi får heller ingen løsning når 16 8a < a 0 8a 16 a Vi får bare én løsning når uttrykket under kvadratrot er lik 0, dvs. når a = -. Tilfellet når a=0 a 0 1 bare en løsning Når a < -, får vi ingen løsninger. Når a = - og a = 0, får vi bare én løsning. Når a,0 0,, får vi to løsninger. Oppgave 7 ( poeng) Gitt punktene A (0,0), B(5,0) og C (0,). Et punkt P ligger på den rette linjen l som går gjennom punktene B og C. a) Forklar at koordinatene til P kan skrives på formen, 5 Må først finne likningen til den rette linja. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Høsten 01 - Løsning

19 y 0 Finner stigningstallet: a Bruker så ettpunktsformelen: y 0 ( 5) 5 y 5 Dersom punktet P skal ligge på linja l, må y. 5 Koordinatene til P kan derfor skrives som,. 5 b) Bestem ved regning koordinatene til P slik at arealet av ABP blir halvparten så stort som arealet av ABC. Jeg tegner en skisse av de to trekantene i koordinatsystemet: De to trekantene har samme grunnlinje, AB. Høyden i trekant ABC er. For at arealet av trekant ABP skal være halvparten av trekant ABC, må høyden være. Jeg setter y =, og løser likningen: Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Høsten 01 - Løsning

20 Koordinatene til punktet P blir 5, Oppgave 8 ( poeng) Per og Kari er på vei opp trappene i et tårn. Per er hele tiden 5 trappetrinn foran Kari. Når Per er kommet halvveis opp, roper han til Kari: «Når jeg er helt oppe, er du kommet tre ganger så langt som du er nå.» Hvor mange trappetrinn er det i tårnet? Jeg lager et likningssett, der er hvor mange trinn Per har gått når han er halvveis, og y er hvor mange trinn Kari har da gått. y5 3y 5 Jeg løser likningssettet i CAS i GeoGebra: Det er 08 trappetrinn i tårnet. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Høsten 01 - Løsning

21 Oppgave 9 (6 poeng) Figuren ovenfor er sammensatt av et rektangel med lengde og bredde b, og et kvadrat med sider. Figuren har areal lik c. a) Forklar hvorfor må være en løsning av likningen b c Den sammensatte figuren er et rektangel med lengde og bredde b +. Arealet blir da c ( b ) b må derfor være en løsningen av likningen b c Allerede for 000 år siden var babylonerne i stand til å løse andregradslikninger av samme type som likningen i oppgave a). Babylonerne brukte et geometrisk resonnement. De startet med figuren i oppgave a) og tegnet så rektangler og kvadrater som vist nedenfor. b b) Vis at arealet av kvadratet ABCD er gitt ved c b Det lille hvite kvadratet har sidekanter b b Arealet blir da c c Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Høsten 01 - Løsning

22 c) Forklar hvorfor må være den positive løsningen av likningen b b c Firkant ABCD er et kvadrat med sidekant b Arealet kan da skrives som b Ved å sette dette uttrykket lik uttrykket for arealet av ABCD i b), får vi uttrykket over. d) Bruk oppgave c) til å vise at b b c b b c b b c b b c b c b b c b b b c Arealet er positivt Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Høsten 01 - Løsning

23 Bildeliste Tegninger, grafer og figurer: Utdanningsdirektoratet Løsninger: Roar Edland-Hansen, NDLA matematikk. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Høsten 01 - Løsning