Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 2013

Transkript

1 DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform , ,510 7, , Oppgave (1 poeng) Løs likningssystemet x3y7 5xy8 Velger å løse likningen 5xy 8 med hensyn på y. y 8 5 x : 5 y x4 Setter uttrykket vi fant for y inn i den andre likningen, og løser denne likningen med hensyn på x. 5 x 3 x x x x x 19 4x15x38 x Videre er 5 y x 4 når x gir det 5 y 4 1

2 Oppgave 3 ( poeng) Skriv så enkelt som mulig x 16 x 8x16 x4 x4 x 4 x 4 x 4 x 4 For å faktorisere teller brukte vi konjugatsetningen, a ba b a b, og for å faktorisere nevner brukte vi. kvadratsetning, a b a b a ab b. Oppgave 4 ( poeng) Bestem likningen for den rette linjen i koordinatsystemet ovenfor. En rett linje er gitt på formen y ax b, der a er stigningstallet til linjen og b er konstantleddet dvs. der linjen skjærer y aksen Linjen ovenfor skjærer y aksen i 3 og har stigningstall a Likningen for linjen blir: y x 3

3 Oppgave 5 (3 poeng) Sorter uttrykkene nedenfor etter stigende verdi. Vis eller forklar hvordan du har tenkt sin50 1 da verdien til sin50 er større enn 0 motstående katet sinv. I tillegg er vinkelen mindre enn 180. Det betyr at hypotenus I følge definisjonen a 1 3 lg150 3 fordi lg100 lg10 og lg1000 lg evt fordi 16 4 og 5 5 Oppgave 6 ( poeng) I en eske er det tre røde og to blå kuler. Sondre trekker tilfeldig to av kulene. Bestem sannsynligheten for at de to kulene han trekker, har samme farge. Han kan enten trekke to blå kuler. Sannsynlighet for dette er:

4 Eller han kan trekke to røde kuler. Sannsynlighet for dette er: Sannsynligheten for at de to kulene han trekker, har samme farge er dermed , Oppgave 7 (8 poeng) Funksjonen f er gitt ved f x x 4x 5 a) Bestem nullpunktene ved regning. Bruker abc formelen og finner nullpunktene til f. f x x x 4 6 x x x 1 b) Bestem koordinatene til eventuelle ekstremalpunkter (topp- eller bunnpunkter) på grafen til f ved regning. Alternativ 1. Ved bruk av symmetrilinje. Grafen til f er en parabel. Symmetrilinja er gitt ved b 4 4 x a 1 f Symmetrilinja går gjennom ekstremalpunktet på grafen. Sjekker om det er et topp- eller bunnpunkt ved å sette inn x verdier til venstre og høyre for symmetrilinja. f f Funksjonsverdiene er lavere på begge sidene av f. Det må bety at, 9. Alternativ. Ved å sette f x 0 4 f x x x 4 0 x er et toppunkt. Sjekker stigningstallet til f på begge sider av x.

5 f Det betyr at grafen stiger til venstre for x. f Det betyr at grafen synker til venstre for x. Det betyr at grafen til f har et toppunkt i, f, 9 c) Lag en skisse av grafen til f. Markerer punktene jeg har funnet ovenfor. Tegner grafen. d) Bestem likningene for tangenten til f i punktet 1, f 1 ved regning. Tegn tangenten i samme koordinatsystem som du brukte i oppgave 7 c). Bruker ettpunktsformelen y y ax x. Stigningstallet a f og y f y 8 x 1 y x 8 y x Likningen for tangenten blir: y x 6 Tangenten er tegnet i samme koordinatsystem som grafen til f.

6 Oppgave 8 (4 poeng) Ovenfor ser du to halvsirkler. Den ene har sentrum i O og radius OA r, den andre har sentrum i D og radius AD. a) Vis at AC r Finner AC ved hjelp av Pytagoras læresetning. AC r r AC AC r r AC r AC r b) Vis ved regning at arealet av området som er markert med blått på figuren ovenfor, er lik arealet av AOC. Finner arealet av AOC, arealet av kvartsirkelen med AC som sirkelbue og arealet av halvsirkelen med AD som radius. Arealet av AOC : r r r r Arealet av kvartsirkel med r som radius: 4 Areal av halvsirkel med AC AD som radius: AD 1 1 r 1 r r 4 4 Ved å betrakte figuren ser vi at området som er markert med blått på figuren ovenfor, er lik arealet av AOC. Vi kan også vise dette ved regning. Areal av kvartsirkel Areal av AOC : r r r r 4 4 Areal av blått område: Areal av halvsirkel Arealet av området vi fant rett ovenfor. r r r r 4 4

7 DEL Med hjelpemidler Oppgave 1 ( poeng) I en rettvinklet trekant er den lengste kateten 4,0 cm. En av vinklene i trekanten er 60. Bestem lengden av den korteste kateten og hypotenusen i denne trekanten ved regning. Dette er en trekanten der hypotenusen er dobbel så lang som den korteste kateten. Vi kan da sette opp følgende likning: x 4,0 x 4x x 4,0 3x 16,0 x x 16,0 3 16,0 3 Den korteste kateten er,3 cm lang. 4,0 x,3 3

8 Oppgave (6 poeng) Gitt ABCD ovenfor. a) Bestem lengden av diagonalen BD ved regning. Finner lengden BD ved å anvende sinussetningen. BD 5,0 sin60 sin38, 5,0 BD sin60 sin38, BD 7,0 b) Bestem arealet av firkanten ved regning. Finner arealet av ABD ved hjelp av arealsetningen for trekanter. 1 ADDBsinBDA der BDA , 81,8 1 5,0 7,0 sin 81,8 17,3 For å finne arealet av BDC finner vi først BCD ved å bruke cosinussetningen. 7,0 6,0 4,0 4,0 6,0 cos BCD 36,0 16,0 49,0 cosbcd 48,0 BCD 86,4 Bruker så arealsetningen for å finne arealet av BDC 1 6,0 4,0 sin86,4 1,0 Arealet av firkanten blir 17,3 1,0 9,3

9 Oppgave 3 (4 poeng) 4000 menn og 6000 kvinner deltar i en undersøkelse. Det viser seg at 8 % av mennene og 1 % av kvinnene som deltar i undersøkelsen, er fargeblinde. a) Regn ut hvor mange fargeblinde personer det er som deltar i undersøkelsen, og bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person som deltar i undersøkelsen, er fargeblind. Antall fargeblinde personer i undersøkelsen: , , Det deltar 380 fargeblinde personer i undersøkelsen. Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person som deltar i undersøkelsen, er fargeblind blir: ,038 3,8 % Tenk deg at vi samler de fargeblinde personene som deltar i undersøkelsen, i en gruppe. Fra denne gruppen velger vi tilfeldig én person. b) Bestem sannsynligheten for at vi velger en kvinne. Det er i alt 60 kvinner som er fargeblinde. Sannsynligheten for at vi velger en kvinne fra denne gruppen blir , Oppgave 4 (4 poeng) En undersøkelse viser at én av tre personer som bor i Oslo, ønsker å flytte fra byen. Vi velger tilfeldig 100 personer som bor i Oslo. a) Bestem sannsynligheten for at nøyaktig 30 av de 100 personene ønsker å flytte fra byen. Her antar vi en binomisk situasjon. Vi finner sannsynligheten for at nøyaktig 30 av de 100 personene ønsker å flytte fra byen ved å bruke binomialformelen Bruker CAS i GeoGebra og finner

10 Det er ca. 6,7 % sannsynlighet for at akkurat 30 av de 100 personene ønsker å flytte fra byen. b) Bestem sannsynligheten for at mellom 30 og 50 av de 100 personene ønsker å flytte fra byen. Bruker binomisk fordeling i sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra, se nedenfor. Finner at det er 7,3 % sannsynlighet for at mellom 30 og 50 av de 100 personene vil flytte fra byen. Oppgave 5 (4 poeng) I en undersøkelse ble 1000 personer spurt om ferievanene sine. En av fem svarte at de ville trene i ferien. 1 % av mennene og 16 % av kvinnene svarte at de ville trene i ferien. a) Sett opp et likningssystem som du kan bruke til å bestemme hvor mange menn og hvor mange kvinner som deltok i undersøkelsen det er vist til ovenfor. Lar m stå for antall menn og k for antall kvinner. Antall personer som vil trene er Vi kan da sette opp følgende likninger: 5 mk1000 0,1m0,16k00 b) Hvor mange menn og hvor mange kvinner deltok i undersøkelsen? Løser likningen i CAS verktøyet i GeoGebra. Det deltok 800 menn og 00 kvinner i undersøkelsen.

11 Oppgave 6 (8 poeng) Funksjonen h gitt ved 3 h t 3,5t 50t 170t 700 Var en god modell for hjortebestanden i en kommune i perioden Ifølge modellen var det a) Tegn grafen til h for t 0, 10 ht hjort i kommunen t år etter 1. januar Tegner grafen i GeoGebra. Bruker kommandoen Funksjon[funksjon, start, slutt]. b) Når var hjortebestanden størst, og hvor mange hjort var det i kommunen da? Bruker kommandoen Ekstremalpunkt[polynom] i GeoGebra og finner toppunktet på grafen til h. Finner at hjortebestanden var størst litt ut i 199. Den var da på 867 dyr.

12 c) Løs ulikheten ht 850 grafisk, og forklar hva løsningen forteller om hjortebestanden. Legger inn en linje y 850 i samme koordinatsystem som grafen til h. Finner skjæringspunktene mellom denne linjen og grafen til h ved å bruke kommandoen Skjæring mellom to objekt. Hjortebestanden er større enn 850 dyr fra midten av 1991 til rett før d) Bestem h 4. Hva forteller svaret om hjortebestanden? Løser i CAS verktøyet i GeoGebra. h4 74 Det betyr at hjortebestanden er i ferd på å avta med 74 dyr per år

13 Oppgave 7 (6 poeng) Ovenfor ser du et rektangel ABCD som er innskrevet i en sirkel. Sirkelen har sentrum i S. a) Bestem radius i sirkelen dersom rektangelet skal ha lengde 10,0 og bredde 5,0. Bruker Pytagoras læresetning. 10,0 5,0 r Bruker CAS i GeoGebra og finner Vi er bare interessert i den positive løsningen. Radius i sirkelen er 5,6 Et rektangel med lengde x er innskrevet i en sirkel med radius 10. b) Vis at arealet av det innskrevne rektangelet kan skrives som A x x x Finner et uttrykk for halve bredden b av rektangelet: b x 10 b 100 x b 100 x Arealet av rektangelet er dermed gitt ved x b x 100 x 4x 100 x

14 c) Bestem det største arealet rektangelet kan ha. Bestem lengden og bredden i dette rektangelet. Finner det største arealet rektangelet kan ha ved å tegne grafen til A og finner den høyeste funksjonsverdien. Bruker kommandoen Ekstremalpunkt[Funksjon, start, slutt] Finner at det største arealet rektangelet kan ha er 00. Lengden er da 7,07 14,14 og bredden er 100 7,07 14,14 Vi har altså et kvadrat. Oppgave 8 ( poeng) Start med en brøk c d. Legg til 7 ganger brøkens nevner i både teller og nevner. Du får da en ny brøk. Trekk den nye brøken fra den opprinnelige brøken. Det uttrykket du nå får, skal være lik 8. Hva må verdien av brøken c d da ha vært? c 7d c 7d Den nye brøken blir d 7d 8d c c Nytt uttrykk d c c d c d d 8d 8d 8d 8d Løser likningen 7c 7d 8 8d 7c 7d 64 d 8d d 0 7c 71d 7c 71d d d c 71 d 7

15 Kilder for bilder, tegninger osv. Hjort: ( ) Tegninger, grafer og figurer: Utdanningsdirektoratet Løsninger, løsningsfigurer og grafer Stein Aanensen/NDLA