Eksamen R2, Våren 2011 Løsning

Transkript

1 R Eksamen, Våren 0 Løsning Eksamen R, Våren 0 Løsning Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeng) a) Deriver funksjonene ) f x sinx fx cosx 4cosx ) gx x cos x gx x cosx x sinx xcos xx sinx h x x 4x 3) u x 4x u x 4 gu u gu u x x h x guu x 4 u x 4x x 4x

2 R Eksamen, Våren 0 Løsning b) Bestem integralene ) x e x dx Vi bruker delvis integrasjon u x u x x v e v e x e x dx x e x e x dx xe x e x C e x x C 5x 3 ) d x x 9 Vi bruker delbrøkoppspalting 5x 3 5x 3 A B A x 3 B x 3 Ax 3A Bx 3B A B x 3A 3B x 9 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 Vi får to likninger med to ukjente A B 5 3A 3B 3 A5B 3 5 B 3B 3 5 3B 3B 3 6B B A 5 A 3 5x 3 3 dx dx 3ln x 3 ln x 3 C x 9 x 3 x 3

3 R Eksamen, Våren 0 Løsning c) Figuren nedenfor viser en sirkel med sentrum i origo og radius lik. Bruk et geometrisk resonnement til å bestemme Forklar hvordan du har tenkt. x dx En sirkel med sentrum i origo og radius har likning y x 0 0 y x Dette gir y x y x Den halvsirkelen som ligger over x - aksen er da gitt ved av halvsirkelen og x - aksen er gitt ved x dx. y x og arealet som er avgrenset Arealet av en sirkel med radius er Vi får derfor at x dx 3

4 R Eksamen, Våren 0 Løsning d) Vi har gitt to vektorer a og b. Forklar og tegn figurer som viser hvordan vektorene kan ligge i forhold til hverandre når ) ab 0 ab a b cos der er vinkelen mellom vektorene. Vi antar at a 0 og b 0. Vi har da ab0 a b cos 0 cos 0 90 Vektorene står normalt på hverandre. 4

5 R Eksamen, Våren 0 Løsning ) ab 0 ab a b sin der er vinkelen mellom vektorene. Vi antar at a 0 og b 0. Vi har da ab0 ab 0 a b sin 0 sin Vektorene er parallelle. (Vektorene kan også ha samme retning.) e) Vi har gitt punktene A,,, B,, 3 og C 3,, Vis ved regning at AB AC står vinkelrett på både AB og AC ex ey ez AB AC , 34, 0, 5, 5 5

6 R Eksamen, Våren 0 Løsning ( AB AC) AB 0, 5, 5,, ( AB AC) AC 0, 5, 5 [,, 3] Siden de to skalarproduktene er lik null, står AB AC står vinkelrett på AB og på AC. f) Bevis formelen ved induksjon: n n Trinn, Induksjonsgrunnlaget Vi skal vise at formelen gjelder for n. Bevis Når n har vi kun et ledd på venstre side. Venstre side 4 Høyre side 3 Formelen gjelder for n. Trinn, Induksjonstrinnet Vi antar at formelen gjelder for n t. Vi har da at t t Vi må vise at formelen gjelder for nt. Vi må altså vise at t t t Bevis t t t t t t t t 4 t Vi har dermed vist at formelen gjelder for nt. I følge induksjonsprinsippet gjelder formelen da for alle verdier av n. 6

7 R Eksamen, Våren 0 Løsning Oppgave (6 poeng) a) Finn den generelle løsningen til differensiallikningen yy 5 der y er en funksjon av x. x x x y ' e e y 5e ye x 5e x x x ye 5e dx 5 x x ye e C 5 y Ce x ) Bestem konstanten i den generelle løsningen når du får vite at y y 0 gir 5 y Ce 5 Ce 5 C 9 C x 0 0 ) Bestem x når 49 y. (Du kan få bruk for at ln6,8 ) 5 9 y e e 54 9e e x 6 x x x x ln6,8 x 0,9 7

8 R Eksamen, Våren 0 Løsning b) Grafen til y har en tangent i punktet (0, ). Finn likningen for denne tangenten. Vi bruker ettpunktsformelen og får y y 0 x 0 Når y gir differensiallikningen oss at y' 5y 5 9. Vi får da y9x y9x 8

9 R Eksamen, Våren 0 Løsning Del Tid: 3 timer Hjelpemidler: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave 3 En fabrikk lager skaft til et kontorstempel. Skaftet ser ut som det omdreiningslegemet vi får når vi dreier grafen til f 360 om x - aksen, der x 3 ( ), 0, 4 f x x e x a) Tegn grafen til f. Finn diameteren til skaftet der skaftet er bredest. Vi tegner grafen til f i GeoGebra for x 0,4 ved å bruke kommandoen Funksjon[*sqrt(x)*e ^ (-x/3), 0, 4]. Vi bruker GeoGebra og finner toppunktet på grafen. 9

10 R Eksamen, Våren 0 Løsning Vi finner først at f,5 0 ved å tegne grafen til den deriverte og finne skjæringspunktet mellom grafen og x -aksen ved å velge Skjæring mellom to objekter. Så finner vi at f,5,49. Se koordinatsystemet nedenfor. Den største diameteren er da,49,98. b) Bestem volumet av skaftet. 4 Volumet av skaftet er gitt ved V f( x) dx. 0 Vi bruker GeoGebra og finner dette volumet ved å bruke kommandoen π *Integral[(f(x))^, 0, 4]. 4 V f x dx 0 ( ), 0

11 R Eksamen, Våren 0 Løsning Oppgave 4 (4 poeng) Vi skal se på en rettvinklet trekant ABC der AB 8 og BC 6. Punktet A halverer AC, A halverer AC og så videre. Punktet B halverer BC, B halverer BC og så videre. Se skissen nedenfor. a) ) Forklar at summen av arealene til trapesene ABBA, AB B A og så videre kan skrives 48 3 Trapesene ABBA, AB B A og så videre har parvis like store vinkler og er derfor formlike. Siden punktet A halverer AC, A halverer AC og så videre og punktet B halverer BC, B halverer BC og så videre, vil BB Arealet av trapeset ABBA er AB A B BB BC 8 og AB AB

12 R Eksamen, Våren 0 Løsning Arealet av trapeset AB B A er AB A B BB AB AB BB AB A B BB AB AB BB Siden linjestykkene blir halvert for hvert nytt trapes, vil arealet av hvert trapes på samme måte være 4 av arealet av det forrige trapeset. Det neste trapeset får derfor areal 3 4. Summen av arealene blir da 48 3 ) Forklar at dette er en geometrisk rekke, og at rekken konvergerer. Dette er derfor en geometrisk rekke fordi hvert ledd er foregående. Rekken konvergerer fordi k,. k ganger så stort som det 4 b) Finn summen til den uendelige rekken, både ved å bruke formelen for sum av en rekke og ved å bruke et geometrisk resonnement. a 48 Summen av den geometriske rekken blir s 64 k. Vi kan også regne se dette geometrisk, ved at summen av alle trapesene utfyller hele trekant ABC. Denne trekanten har areal lik gh

13 R Eksamen, Våren 0 Løsning Oppgave 5 (0 poeng) En rett linje l er gitt ved parameterframstillingen x5t l : y 3 t z 4 t a) Linjen l skjærer xy -planet i punktet A og xz -planet i B. Regn ut avstanden mellom A og B. Punktet A har z - koordinat lik 0. Vi får da 0 4 t t x 5 ( ) 9 y 3 ( ) Punktet A har koordinatene A 9,, 0. Punktet B har y - koordinat lik 0. Vi får da 03t t 3 x 5 ( 3) z 4 ( 3) Punktet B har koordinatene B, 0,. AB 9, 0, 0,, AB 3. 3

14 R Eksamen, Våren 0 Løsning En annen rett linje m er gitt ved parameterframstillingen x s m: y s z s b) Vis at linjene l og m ikke er parallelle. Linja l har retningsvektor r,, og linja m har retningsvektor,, l Dersom linjene er parallelle, er r r 0. (Se oppgave d.) Vi bruker wxmaxima og finner r l r m. l m r. m r v 3,4,. l m Linjene er ikke parallelle. To linjer i rommet som verken er parallelle eller skjærer hverandre, er vindskeive. For vindskeive linjer gjelder denne setningen: Når to linjer l og m er vindskeive, fins det et punkt P på l og et punkt Q på m slik at PQ står vinkelrett på både l og m. Avstanden mellom l og m er definert som PQ. c) Vi lar P være et tilfeldig valgt punkt på l og Q et tilfeldig valgt punkt på m. Vis at vi kan skrive PQ s t 5, s t, s t 3 4

15 R Eksamen, Våren 0 Løsning Vi bruker parameterframstillingen til l og skriver P på formen P 5 t, 3 t, 4 t På samme måte kan vi skrive Q s, s, s Vi får da.. (5 ), (3 ), (4 ) 5,, 3 PQ s t s t s t s t s t s t d) Finn koordinatene til P og Q når PQ står vinkelrett på både l og m. Siden PQ står vinkelrett på både l og m er PQr l 0 og PQr m 0. Vi får da PQr l 0 [ s t 5, s t, s t 3] [,, ] 0 s 4t 0 s t s 4t 6 0 s9t s9t PQr m 0 [ s t 5, s t, s t 3] [,, ] 0 s t 5 s t s t 3 0 3st6 3 9t t 6 6 7t t 6 6t 0 t 0 Vi får da s 9t 90 5, 3, 4 5 0, 3 0, 4 0 5,3,4 P t t t,,,,,,3 Q s s s e) Finn avstanden mellom linjene l og m. PQ 5, 3, 4 3 3, 4, PQ

16 R Eksamen, Våren 0 Løsning Oppgave 6 (8 poeng) Funksjonen f er gitt ved π π f( x) 5sin x 5cos x, x 0, 4 a) Tegn grafen til f. Les av amplituden og perioden til f. Vi tegner grafen til f for x 0,4 i GeoGebra ved å bruke kommandoen Funksjon[- 5sin(π/*x) - 5cos(π/*x), 0, 4]. I koordinatsystemet ovenfor har vi også tegnet grafen til den deriverte (grønn stiplet graf). Vi har brukt den deriverte for finne toppunktet og bunnpunktet til f. (Vi bruker kommandoen Skjæring mellom to objekter og finner nullpunktene til den deriverte som skjæringspunktene mellom grafen til f og x - aksen.) Av punktene som er merket av i koordinatsystemet ovenfor, ser vi at x - aksen er likevektslinja til f, og at amplituden er 7,07. Vi ser også at perioden er 4. 6

17 R Eksamen, Våren 0 Løsning b) Tegn fortegnslinjen til f og bruk denne til å finne eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f. Av grafen til den deriverte (se grønn stiplet graf i koordinatsystemet ovenfor), ser vi at fortegnslinjen til f er som vist nedenfor. Grafen til f har bunnpunkt når x 3 og når x 4. Grafen til f har et toppunkt når x 0 og når x 5. Bunnpunkt 3, f 3 3, 7,07 Bunnpunkt 4, f 4 4, 5 Toppunkt 0, f 0 0, 5 Toppunkt 5, f 5 5, 7,07 Lufttemperaturen g (målt i grader Celsius) gjennom et sommerdøgn er gitt ved π π gx 5sin x 5cos x der x er antall timer etter midnatt. c) Bestem høyeste og laveste temperatur dette døgnet. På hvilke tidspunkter inntreffer disse temperaturene? g x f x Vi tegner grafen til g i samme koordinatsystem som grafen til f. 7

18 R Eksamen, Våren 0 Løsning Vi finner toppunktet og bunnpunktet på grafen til g. Se koordinatsystemet ovenfor. Laveste temperatur er 4,9. Den laveste temperaturen inntreffer klokka Laveste temperatur er 9,. Den laveste temperaturen inntreffer klokka

19 R Eksamen, Våren 0 Løsning Oppgave 7 (0 poeng) Vi har gitt funksjonen f x x e x ( ) 5, x>0 a) Tegn grafen til f. Vi tegner grafen til f i GeoGebra ved å bruke kommandoen Funksjon[5x²e^(-x), 0, 00]. (Vi skal tegne grafen for x 0. Vi må avgrense definisjonsmengden i begge retninger i GeoGebra. 00 er valgt som et vilkårlig høyt tall utenfor skjermbildet.) b) ) Vis at 5 f x x x e x. Hvilke derivasjonsregler har du brukt? u 5x u 0x v e x v e x f x uv uv x x 0 5 f x x e x e x f x 5( x x ) e Vi bruker produktregelen. I tillegg bruker vi kjerneregelen for å derivere x e. 9

20 R Eksamen, Våren 0 Løsning ) Tegn fortegnslinjen til f. Bruk denne til å finne ut hvor f vokser og hvor f avtar. Bestem eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f. Vi tegner grafen til den deriverte i samme koordinatsystem som vi tegnet grafen til f. (Grønn stiplet graf i koordinatsystemet nedenfor.) Ut fra grafen, kan vi sette opp fortegnslinjen for den deriverte, som vist nedenfor. Fortegnslinja viser at grafen til f har et toppunkt for x. f 5 e 0e,7 Grafen har toppunkt,0e,,7 0

21 R Eksamen, Våren 0 Løsning c) Vis ved derivasjon at x x x f( x)dx 5 x e 0x e 0e C Vi deriverer høyre siden og får x x x x x x xe x e e xe e x e f x Dette viser at x x x f( x) dx 5x e 0xe 0e C n a d) Du får vite at lim ( a e ) 0 for n R. a Bruk dette til å bestemme a a 0 lim f ( x)dx a x x x lim f ( x) dx lim 5x e 0xe 0e a a 0 lim a 5a e a 0ae a 0 e ( 0) a 0 a 0 Bildeliste Stempel Foto: Rolf M. Aagaard/Aftenposten/Scanpix