Eksamen matematikk S1 løsning

Transkript

1 Eksamen matematikk S1 løsning Oppgave 1 (3 poeng) Løs likningene a) b) lg lg lg4 lg lg4 lg lg må være større enn null fordi den opprinnelige likningen inneholder logaritmen av Løsningen er = Eksamen MAT306 Matematikk S1 Våren løsning

2 Oppgave (3 poeng) ABC er rettvinklet. Et punkt P på AC er plassert slik at PA AB PC CB. Vi setter PC og CB y. a) Forklar at likningssystemet nedenfor kan brukes til å regne sidene i trekanten. y30 PA AB PC CB y 10 0 y y30 Bruker Pytagoras' setning: AC AB CB 10 0 y y b) Bestem og y ved å løse likningssystemet. y y y y 30 5 y 5 Eksamen MAT306 Matematikk S1 Våren løsning

3 Oppgave 3 (4 poeng) Skriv så enkelt som mulig a) a 1 a 1a 1a 1 b) a a a a a a a a a a 4 a 3b 1 3ab b b 4 a 3 ab a 6 Oppgave 4 (7 poeng) Funksjonen f er gitt ved 3 f 6 9 4, Df. a) Bestem f 3 f f b) Bestem eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f. Setter f ( 4 3) Vi vet nå at uttrykket er lik null når 3 og når 1. Det er bare for disse verdiene av at andregradsuttrykket skifter fortegn. Vi tar stikkprøve for - verdier mindre enn 1, - verdier mellom 1 og 3 og for - verdier større enn 3. Vi bruker det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene Vi setter inn 0 Vi setter inn Vi setter inn 4 og finner: og finner: " " positivt 1 3 " " negativt og finner: " " positivt Eksamen MAT306 Matematikk S1 Våren løsning

4 Vi kan da sette opp fortegnslinjen - verdier Toppunkt: 1, f 1 1,0 Bunnpunkt: 3, f 3 3, 4 c) Bestem likningen til tangenten til grafen i punktet 0, 0 0, f 0 0, 4 f. Stigningtallet til tangenten er lik den deriverte i tangeringspunktet: f Bruker ettpunktsformelen: y y a y y49 y94 d) Grafen til f har en annen tangent som er parallell med tangenten du fant i oppgave c). Bestem tangeringspunktet for denne tangenten. f Tangeringspunktet til tangenten er i punktet 4, f 4 4,0 Eksamen MAT306 Matematikk S1 Våren løsning

5 Oppgave 5 (4 poeng) Et område D er bestem av ulikhetene y5 y1 1 a) Skraver området D i et koordinatsystem. Tegnet linjene y 5, y 1 og 1 i et koordinatsystem. Markerte området hvor y 5 y1 1 b) Bestem punktet, Setter inn i hjørnene i området: Punktet,3 gir: 3 y Punktet 1,6 gir: 3 y Punktet 1,0 gir: 3 y y i området D slik at 3y blir størst mulig. Punktet,3 gjør 3y størst mulig. Eksamen MAT306 Matematikk S1 Våren løsning

6 Oppgave 6 (3 poeng) En bedrift regner med at kostnadene i kroner ved å produsere enheter av en vare per dag er gitt ved 0, , 0,400 K Bedriften selger alle varene de produserer for 00 kroner per enhet. a) Forklar at overskuddet O per dag er gitt ved O 0, Overskudd er inntekt minus kostnader: O I K 00 0, O O 0, b) Bestem den produksjonsmengden som gir størst overskudd per dag. Hva blir det største overskuddet? Størst mulig overskudd oppnås når funksjonen har toppunkt. O 0, O 0,5 100 O 0 0, O 00 0, Andregradsleddet er negativt, derfor har overskuddsfunksjonen et toppunkt. Størst overskudd oppnås ved produksjon av 00 enheter, da er overskuddet 5000 kr. Eksamen MAT306 Matematikk S1 Våren løsning

7 Oppgave 7 (6 poeng) I oppgave 7 nedenfor kan du få bruk for disse formlene: I en boks ligger det 3 røde og 4 blå kuler. Thomas skal trekke tilfeldig ut 3 kuler uten tilbakelegging. a) Bestem sannsynligheten for at av de 3 kulene han trekker, er røde P røde kuler, 1 blå b) Bestem sannsynligheten for at han trekker ut flere røde enn blå kuler. Flere røde enn blå betyr eller 3 røde kuler. P røde kuler, 1 blå P3 røde kuler Thomas skal så trekke tilfeldig ut 3 kuler med tilbakelegging. Eksamen MAT306 Matematikk S1 Våren løsning

8 c) Bestem sannsynligheten for at av de 3 kulene han trekker, er røde. Bruker binomisk modell, fordi det er like stor mulighet for rød kule i hvert trekk 3 p, n 3, 7 P røde kuler Oppgave 8 (4 poeng) Funksjonene f, g, h og k er gitt ved f h g k 6 1 På figuren nedenfor er det tegnet grafen av to av disse funksjonene. a) Hvilken funksjon gir graf A? Begrunn svaret. Graf A er en rasjonal funksjon med vertikal asymptote i 1. Dette stemmer for g og h. Horisontal asymptote er i. 3 lim g lim lim h lim 1 Graf A tilhører funksjonen h(). Eksamen MAT306 Matematikk S1 Våren løsning

9 b) Hvilken funksjon gir graf B? Begrunn svaret. Graf B er en polynomfunksjon av 3. grad med toppunkt for 1og bunnpunkt for 1. Sjekker de to funksjonene med å derivere og sette den deriverte lik null. 3 f f f Graf B tilhører funksjonen k(). k k k Oppgave 9 ( poeng) Løs likningen Setter 3 u u u u 1 7 u u 4 u 3 u Logaritmen til et tall er alltid positivt, vi forkaster den negative løsningen lg 4 lg3 Eksamen MAT306 Matematikk S1 Våren løsning

10 Oppgave 1 (6 poeng) En undersøkelse viser at 70 % av norske arbeidstakere er fornøyde med den utdanningen de har valgt. I en ungdomsskoleklasse er det 30 elever. a) Bestem sannsynligheten for at akkurat 1 av elevene kommer til å bli fornøyde med utdanningen de velger. Dette er en binomisk situasjon med p 0,7. Jeg bruker sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra. Sannsynligheten for at akkurat 1 av elevene er fornøyd med utdanningen er 15,73 %. b) Bestem sannsynligheten for at minst 5 av elevene kommer til å bli fornøyde med utdanningen de velger. Dette er en binomisk situasjon med p 0,7. Jeg bruker sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra. Eksamen MAT306 Matematikk S1 Våren løsning

11 Sannsynligheten for at minst 5 av elevene blir forøyde med utdanningen er 7,66 %. I klassen er det 15 gutter og 15 jenter. Blant disse skal det trekkes ut 6 elever som skal delta i en undersøkelse. c) Bestem sannsynligheten for at det blir trukket ut flere jenter enn gutter. Dette er en hypergeometrisk fordeling med to grupper som ikke overlapper. Flere jenter enn gutter betyr 4,5 eller 6 jenter. Bruker sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra. Eksamen MAT306 Matematikk S1 Våren løsning

12 Sannsynligheten for at flere jenter enn gutter blir trukket ut er 3,6 %. Eksamen MAT306 Matematikk S1 Våren løsning

13 Oppgave (6 poeng) En bedrift produserer en bestemt vare. Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom antall produserte enheter av varen per uke og de totale kostnadene. Antall produserte enheter per uke, Totale kostnader i kroner, K a) Bestem en andregradsfunksjon K som med god tilnærming kan brukes til å beregne kostnadene K. Hva blir kostnadene i en uke der det produseres 0 enheter? La verdiene fra tabellen inn i regneark GeoGebra Brukte kommandoen "RegPoly[ <Liste med punkt>, <Polynomgrad> ] Fikk funksjonen Markerte punktet 0, f 0 K 0,13 7, se punkt A på grafen. Kostnadene for 0 enheter er 4813 kr. Varen selges for 50 kroner per enhet. Eksamen MAT306 Matematikk S1 Våren løsning

14 b) Bestem hvor mange enheter bedriften må produsere og selge for å få overskudd. Definerer inntektsfunksjonen I 50 Tegner grafen til overskuddsfunksjonen O I K Jeg bruker kommandoen "Nullpunkt[<polynom>]" og finner når overskuddet er null. Se punktene L og M på grafen. Bedriften får overskudd når grafen til overskuddsfunksjonen ligger over -aksen. Bedriften får overskudd når det produseres mellom 17 og 1194 enheter (Se punktene L og M). c) Bestem det største overskuddet som bedriften kan oppnå med denne prisen. Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge for å få størst mulig overskudd? Bruker kommandoen "Ekstremalpunkt[ <Polynom> ]" for O og får toppunket N (se grafen i b). Størst mulig overskudd oppnås ved produksjon av 660 enheter, det totale overskuddet er da 3814 kr. Eksamen MAT306 Matematikk S1 Våren løsning

15 Oppgave 3 (6 poeng) En smed skal bearbeide et metallstykke. Metallet lar seg bearbeide bare når temperaturen er 150 C eller høyere. Temperaturen T, målt i grader celsius, er gitt ved T 470 0,95 30 der er tiden, målt i minutter, etter at metallstykket blir tatt ut av ovnen. a) Bruk graftegner til å tegne grafen til T. Bestem temperaturen til metallet idet det blir tatt ut av ovnen. Temperaturen til metallet idet det blir tatt ut av ovnen er 500 grader Celsius. b) Hvor lang tid har smeden på seg til å bearbeide metallstykket? Hva er temperaturen i rommet der smeden arbeider? Temperaturen må være 150 eller høyere. Smeden har 6,6 minutter på seg. Temperaturen i metallet vil nærme seg temperaturen i rommet når blir stor. Vi ser at når blir stor, vil T gå mot 30 grader, fordi 0,95 da går mot null. Temperaturen i rommet er 30 grader. c) Smeden ønsker 10 min ekstra tid til å bearbeide metallet. Hva må i så fall temperaturen i metallet være når han starter bearbeidingen? Eksamen MAT306 Matematikk S1 Våren løsning

16 Ti minutter ekstra blir 36,6 minutter. Temperaturfunksjonen må da gi 150 grader etter 36,6 minutter. Da må faktoren foran 36,6 0,95 endres. Vi kaller denne faktoren for y og løser likningen 0 Starttemperaturen må være 7850,95 30 C 815 C Eksamen MAT306 Matematikk S1 Våren løsning

17 Oppgave 4 (6 poeng) En bedrift lager esker av kvadratiske pappstykker med side lik 6 dm. Dette gjør de ved å klippe ut hjørner som vist nedenfor og brette langs de stiplede linjene. a) Forklar at volumet V, målt i kubikkdesimeter, til hver eske er gitt ved 3 V , 0, 1,5 l 6 4, b 6, h V l bh V V ( ) 3 V b) Bruk CAS til å bestemme slik at volumet blir størst mulig. Bestem dette største volumet. Jeg skriver likningen inn i GeoGebra, og setter den deriverte lik null. Løsningen =,37 er ikke i definisjonsområdet, så jeg bruker bare løsningen =0,63. Finner størst volum ved å løse V 0,63. For å sjekke om dette er et toppunkt, undersøker jeg fortegnet til den deriverte på hver side av punktet Eksamen MAT306 Matematikk S1 Våren løsning

18 Størst volum er lik 10,4 dm 3. Bedriften skal også lage andre esker der de bruker kvadratiske pappstykker med side lik a dm. De klipper og bretter på samme måte som ovenfor. c) Bruk CAS til å vise at det maksimale volumet til disse eskene er a. Jeg finner den nye funksjonen ved å ta lengde ganger bredde ganger høyde l a, b a 4, h V( ) a a 4 3 a V 8 6 a a, 0, 4 For å finne den største verdien for volumet deriverer jeg funksjonen og setter den deriverte lik null. Løsning nummer to (linje 3 i bildet nedenfor)er ikke i definisjonsområdet, da dette er mer enn a/4, så den ser jeg bort fra. Jeg kan fjerne absoluttverditegnene, fordi a er definert positiv. Jeg undersøker om punktet er et toppunkt med å sette inn verdier mindre enn og større Eksamen MAT306 Matematikk S1 Våren løsning

19 enn for å sjekke at punktet er et toppunkt. Velger a 3 3 a 3a Maksimalt volum er a Eksamen MAT306 Matematikk S1 Våren løsning

20 Bildeliste Bilder, tegninger og grafiske framstillinger: Utdanningsdirektoratet Løsninger: Elisabet Romedal, NDLA matematikk. Eksamen MAT306 Matematikk S1 Våren løsning