DEL 1 Uten hjelpemidler

Transkript

1 DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 7, ,5 4, , ( 4) 8 9, Oppgave (4 poeng) Siv har fire blå og seks svarte bukser i skapet. Én av de blå og tre av de svarte buksene passer ikke lenger. a) Tegn av tabellen nedenfor, og fyll inn tall i de hvite rutene. Blå bukser Svarte bukser Sum Bukser som passer Bukser som ikke passer Sum Siv tar tilfeldig én bukse fra skapet. b) Bestem sannsynligheten for at buksen passer. Vi ser at tabellen at hun har 6 bukser som passer, av ti totalt. 6 0,6 10 Sannsynligheten for at buksen passer er 0,6

2 Siv har tatt en bukse som passer. c) Bestem sannsynligheten for at denne buksen er blå. Vi ser at tabellen at av de 6 buksene som passer er blå. 0,5 6 Sannsynligheten for at denne buksen er blå er 0,5 Oppgave ( poeng) Skriv så enkelt som mulig x 18 ( x 9) x (x ) x x 6x 9 x 6x 9 ( x ) x Oppgave 4 ( poeng) Regn ut og skriv svaret så enkelt som mulig ( ) Oppgave 5 ( poeng) Løs likningen lg x 8 5lgx 1 lg x 5lg x 1 8 lg x 9 9 lg x lg x x 10 1 x 10 1 x 1000

3 Oppgave 6 ( poeng) En rett linje går gjennom punktene (1, ) og (, 5). Bestem likningen for linjen. Finner først stigningstallet: y 5 a x 1 Bruker så ettpunktsformelen: y y a( x x ) 1 1 y ( x 1) y x y x 4 y x 1 y x Likningen for linjen er y x 1 Oppgave 7 ( poeng) Løs likningssystemet x y x y 4 Bruker innsettingsmetoden: Likning 1 gir oss: y x Setter dette inn i likning, og får: x ( x ) 4 x x 4x 4 4 x 4x 0 x(4 x) 0 x 0 eller x 4 Setter så disse verdiene inn i likning 1, og får:

4 x 0 gir oss y 0 x 4 gir oss y 4 6 Likningssystemet har løsningene x 0 og y x 4 og y 6 Oppgave 8 (6 poeng) Funksjonen f er gitt ved f( x) x x, D f a) Bestem koordinatene til eventuelle ekstremalpunkter (topp- og bunnpunkter) på grafen til f ved regning. Finner først den deriverte f (x) x 6x Finner så ekstremalpunktene ved å sette f (x) 0 f (x) 0 x 6x 0 xx ( ) 0 x 0 x f (0) f () Grafen til f har toppunkt i (0,0) og bunnpunkt i (, -4) d) Forklar at f( x) x (x ), og bruk dette til å bestemme nullpunktene til f. Begge ledd i funksjonen f(x) x x inneholder sette en parentes rundt uttrykket og trekke f(x) x ( x ) x, ettersom (x) f x x x. Vi kan x utenfor parentesen, slik at vi får f (x) x ( x ) er lik 0 når x 0 og når x 0 x 0 når x 0 x 0 når x f har nullpunkt i (0,0) og (,0)

5 b) Lag en skisse av grafen til f. Oppgave 9 (1 poeng) Gitt ABC der Bestem cosc. B 90 og sina 7 Jeg lager først en skisse av trekanten: SinA betyr at forholdet mellom motstående side (BC) og hypotenus (AC) er lik 7 7. Cos C er lik forholdet mellom hosliggende side og hypotenus, sett fra vinkel B, men det blir også sidene BC og AC. Forholdet blir derfor det samme som for Sin A: CosC 7

6 Oppgave 10 ( poeng) En firkant har form som vist på figuren ovenfor. Vis at omkretsen av firkanten er 1 17 Vi mangler lengden av den korteste siden. Jeg kaller denne for k. Hvis vi trekker høyden også på den andre siden av trapeset, får vi to trekanter: Jeg bruker Pytagoras setningen på trekanten til høyre, for å finne lengden av den korteste kateten: x x x x x x 9 Jeg finner deretter den korteste kateten i trekanten til venstre: Til slutt bruker jeg Pytagoras setning for å finne den ukjente lengden, k, i trekanten til venstre: k k k k Den ukjente siden har lengde 17. Omkretsen av hele figuren blir da: O

7 DEL Med hjelpemidler Oppgave 1 (8 poeng) Funksjonen f gitt ved f( x) x 48x 16x 00 viser hvor mange tonn fisk fx ( ) det var i en fiskebestand x år etter år 000. a) Tegn grafen til f for x 0,10 Tegner grafen i GeoGebra:

8 b) Bestem grafisk når fiskebestanden var minst. Hvor mange tonn fisk var det i fiskebestanden da? Finner bunnpunktet i GeoGebra ved å skrive inn kommandoen Ekstremalpunkt[f(x)]: Fiskebestanden var minst ca. halvveis ut i 008. Den var da på 51, tonn c) Finn svarene i oppgave b) ved regning. Først deriverer jeg funksjonen:

9 f (x) x 48x 16x 00 f ( x) x 48x 16 0 f ( x) 9x 96x 16 Deretter setter jeg f ( x ) 0, og løser denne likningen i GeoGebra: Jeg får to x-verdier, og regner ut tilhørende y-verdier ved hjelp av GeoGebra: Bunnpunktet er den laveste y-verdien, så vi ser her at vi får samme svar som i b). Fiskebestanden var minst ca. halvveis ut i 008, og var da på 51, tonn d) Regn ut f (5). Bestem den momentane vekstfarten når x 5. Hva forteller disse to svarene om fiskebestanden? Jeg regner ut f(5) i GeoGebra: Den momentane vekstfarten finner jeg ved å regne ut f (5) i GeoGebra:

10 f(5) = 85 forteller oss at fiskebestanden var på 85 tonn i 005 f (5) = -9 forteller oss at fiskebestanden i 005 avtok med en hastighet på 9 tonn i år Oppgave (4 poeng) I en dam er det L vann. Vannmengden minker med 8 % hvert døgn. a) Hvor mye vann vil det være igjen i dammen etter ett døgn? Hvor mye vann vil det være igjen i dammen etter ti døgn? Når vannmengden minker med 8 % i døgnet får vi en vekstfaktor på 0,9. Vi kan dermed sette opp følgende funksjonsuttrykk: V (t) ,9 t t er tid (i døgn) og V er volum (i liter) Jeg regner så ut V (1) og V (10) : 1 V(1) , V (10) , Etter ett døgn er det liter igjen i dammen Etter ti døgn er det 8688 liter igjen i dammen b) Hvor mange døgn vil det gå før det er 5000 L vann igjen i dammen? Jeg setter V (t) 5000, og løser likningen i GeoGebra: Det vil gå litt over 16 og et halvt døgn før det er 5000 liter vann igjen i dammen Oppgave (6 poeng) En undersøkelse har vist at 0 % av alle syklistene i en by sykler uten lys i mørket. Vi velger tilfeldig ti syklister fra denne byen.

11 a) Bestem sannsynligheten for at minst én av de ti sykler uten lys i mørket. P(minst én uten lys) = 1 P(alle med lys) P(minst én uten lys) = 1 0,80 10 P(minst én uten lys) = 0,89 Sannsynligheten for at minst én sykler uten lys i mørket er 0,89 b) Bestem sannsynligheten for at bare den første, den fjerde og den tiende syklisten vi velger, sykler uten lys i mørket. 7 P(første, fjerde og tiende uten lys) 0, 0,8 0,0017 Sannsynligheten for at bare disse tre sykler uten lys er 0,0017 c) Bestem sannsynligheten for at nøyaktig tre av de ti sykler uten lys i mørket. Binomisk sannsynlighet (ikke lenger i læreplanen i 1T) Oppgave 4 ( poeng) Per, Pål og Espen har til sammen 198 mynter. Per har seks ganger så mange mynter som Pål og tre ganger så mange mynter som Espen. Hvor mange mynter har hver av de tre guttene? Jeg lar x være antall mynter Pål har. Da har Per 6x og Pål må ha x mynter. Det gir følgende likning: x 6x x 198 9x 198 x x Pål: mynter Per: 6 1 mynter Espen: 44 mynter Pål har mynter, Per har 1 mynter og Espen har 44 mynter

12 Oppgave 5 ( poeng) Vis at det finnes to ulike trekanter som tilfredsstiller de tre kravene nedenfor. En side i trekanten skal være 5,0 cm En side i trekanten skal være 8,0 cm Arealet av trekanten skal være 17,5 cm Jeg bruker arealsetningen: 1 A 5,0 8,0 sin v 1 5,0 8,0 sin v 17,5 Jeg løser så denne likningen i GeoGebra: I tillegg til denne løsningen, er også ,6 = 118,4 en løsning, ettersom sin( v) sin(180 v ) Både trekanten som har vinkelen 61,6 mellom sidene, og trekanten som har vinkelen 118,4 tilfredsstiller kravene Oppgave 6 (6 poeng)

13 Et område ABCDE har form som vist på figuren ovenfor. a) Bestem arealet av ABE ved regning. ABE er likebeint, så BE AE 6,0m E Bruker arealsetningen: 1 A 6,0 6,0 sin0 9 Arealet av ABE er 9,0m b) Bestem lengden CE ved regning. Bruker cosinussetningen: CE 9 9 cos(85, ) Regner ut i GeoGebra:

14 Jeg får to løsninger, men lengden kan ikke være negativ. Lengden CE er lik 9,m c) Bestem lengden BC ved regning. Bruker cosinussetningen: CE BC BE BC BE cos( B) 9,5 x 6,0 x 6,0 cos(8, ) Regner ut i GeoGebra: Jeg får to løsninger, men lengden kan ikke være negativ. Lengden BC er lik 7,8m Oppgave 7 (8 poeng)

15 En kjegle er innskrevet i en kule. Kulen har sentrum i S og radius R. Grunnflaten i kjeglen har radius r. Høyden i kjeglen er h y, der y er avstanden fra S til grunnflaten i kjeglen. Se skissen ovenfor. Sett r a) Hvor høy er kjeglen? Jeg bruker Pytagoras setning: R r y y y y y h y h 5 h 5,4 Høyden i kjegla er 5,4

16 1 Volumet av en kjegle er gitt ved V r h b) Bestem volumet av kjeglen ved regning. 1 V r h 1 V ( 5) Bruker GeoGebra: Volumet av kjegla er 1,9 Sett nå r x c) Vis at volumet av kjeglen da er gitt ved 1 f( x) x ( 9 x ) Jeg bruker først Pytagoras setning på trekanten: R r y x y y y x 9 x Deretter finner jeg høyden av kjegla uttrykt ved x: h y h 9 x Til slutt finner jeg et uttrykk for volumet av kjegla: 1 V r h 1 V x ( 9 x ) 1 f(x) x ( 9 x )

17 d) Hvor stor må radius og høyde i den innskrevne kjeglen være for at volumet av kjeglen skal bli størst mulig? Hvor stort blir volumet? Jeg tegner grafen til f(x) i GeoGebra, og finner så toppunktet ved å skrive inn kommandoen Ekstremalpunk[f(x),0,]. Jeg velger startverdi 0 og sluttverdi ettersom jeg ser av grafen at toppunktet ligger i dette intervallet: Toppunktet har koordinatene (.8,.51). Det betyr at: r x,8 h 9 x h 9.8 h 4 V,51 Radien må være,8 og høyden må være 4. Volumet blir da,5

18 Bildeliste Fisk: t/nb-no (1.1.01) Andre bilder, tegninger og grafiske framstillinger: Utdanningsdirektoratet