1T eksamen våren 2017 løysingsforslag

Transkript

1 1T eksamen våren 017 løysingsforslag Tid: timer Hjelpemiddel: Vanlege skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmålar er tillatne. Oppgåve 1 ( poeng) Rekn ut og skriv svaret på standardform 0, , Oppgåve (1 poeng) Rekn ut 4 ( ) Oppgåve ( poeng) Rekn ut og skriv svaret så enkelt som mogleg Eksamen MAT101 Matematikk 1T Våren 017 Side 1 av 18

2 Oppgåve 4 ( poeng) Løys likningssystemet x y 4 x y y x x x x x x x 4x x x 0 x x 0 Løysinga x1 0 gir y1 0, og løysinga x gir y 0. Likningssystemet har altså løysingane x1 0 y1 x y 0. Oppgåve 5 ( poeng) Løys likninga lg x 0 4 lgx x x 4 1 x 4 1 x Begge løysingane er gyldige, då x 0 for begge løysingane. 4 Eksamen MAT101 Matematikk 1T Våren 017 Side av 18

3 Oppgåve 6 ( poeng) Skriv så enkelt som mogleg 1 x5 x6 x x 1 x x 1 x 1 x 5 x x 6 x x 1 x 1 x x x x x x x x x x x x x x x1 x x x1 x1 x5 x x1 x 5 x 6x5 Bruker nullpunktmetoden og faktoriserer x 6x x som gir x 1 x 5 1 Dette gir x 6x 5 x 1x 5. Eksamen MAT101 Matematikk 1T Våren 017 Side av 18

4 Oppgåve 7 (4 poeng) Ved ein skole les 80 % av elevane aviser på nett, 50 % les papiraviser, og % leser ikkje aviser. a) Systematiser opplysningane gitt i teksten ovanfor i eit venndiagram eller i ein krysstabell. Nedanfor har vi systematisert opplysingane både i Venn-diagram og krysstabell. Løysing krev berre ein av metodane. Venn-diagram: % U = 100 % Leser på nett 48 % % Leser på papir 18 % Krysstabell: b) Bestem sannsynet for at ein tilfeldig vald elev ved skolen les både aviser på nett og papiraviser. Vi ser av tabellen ovanfor at % av elevane ved skolen les både aviser på nett og papiraviser. Sannsynet for at ein tilfeldig vald elev ved skolen les både aviser på nett og papiraviser blir dermed %. Ein elev ved skolen les aviser på nett. På nett Ikkje på nett Sum Papir % 18 % 50 % Ikkje papir 48 % % 50 % Sum 80 % 0 % 100 % c) Bestem sannsynet for at denne eleven ikkje les papiraviser. Vi ser av tabellen ovanfor at 48 % av elevane som les aviser på nett, ikkje les papiraviser. Sannsynet for at denne eleven ikkje les papiraviser, blir dermed 48 % 6 0,6 60 % 80% 10 Eksamen MAT101 Matematikk 1T Våren 017 Side 4 av 18

5 Oppgåve 8 ( poeng) Om ein rettvinkla trekant får du vite: Lengda av den kortaste sida er 0 Differansen mellom lengdene av dei to andre sidene er Kor lang er den lengste sida i denne trekanten? Vi set den lengste kateten lik x og hypotenus lik x. Pytagorassetninga gir x 0 x 400 x x 4x 4 4x 96 x 99 Den lengste sida i trekanten er Oppgåve 9 (4 poeng) Ein funksjon f er gitt ved f x x x x ( ) a) Bestem den gjennomsnittlege vekstfarten til i intervallet Gjennomsnittleg vekstfart er gitt ved f,0 f x f x f x x x x 1 1 f 0 f Den gjennomsnittlege vekstfarten til f i intervallet, 0 er 4. b) Bestem den momentane vekstfarten til f når x Vi deriverer f x og finn f f x x 6x f Den momentane vekstfarten til f når x er. Eksamen MAT101 Matematikk 1T Våren 017 Side 5 av 18

6 Oppgåve 10 ( poeng) I koordinatsystemet ovanfor har vi teikna grafen til ein tredjegradsfunksjon f. Bruk den grafiske framstillinga til å løyse ulikskapane a) fx ( ) 0 Vi ser av grafen til f at f x 0 for x 4. b) f( x) 0 Vi ser at grafen til f stig fram til x 1. Frå x 1 og fram til x søkk grafen. Frå x stig grafen att. Det vil seie at f x 0 for x 1 og for x. Eksamen MAT101 Matematikk 1T Våren 017 Side 6 av 18

7 Oppgåve 11 (8 poeng) Funksjonen f er gitt ved f x x x ( ) 4 a) Bestem nullpunkta til f. x 4x x 1 4 x x 1 x 1 Grafen til f er symmetrisk om ei linje. b) Teikn grafen til f saman med linja i eit koordinatsystem. Grafen til f har ein tangent med stigingstal. c) Bestem likninga for denne tangenten. Teikn tangenten i det same koordinatsystemet som du brukte i oppgåve b). f x x 4 x f 4 0 Vi bruker eittpunktsformelen og finn likskapen for tangenten. 1 0 x y f x f x x x y y x6 Tangenten (blå) er teikna i grafen nedanfor. Eksamen MAT101 Matematikk 1T Våren 017 Side 7 av 18

8 Tangenten frå oppgåve c) skjer linja i punktet P. Grafen til f har ein annan tangent som også går gjennom punktet P. d) Skisser denne tangenten i same koordinatsystem som du har brukt tidlegare i oppgåva. Bestem likninga for tangenten grafisk. Tangenten (raud) er skissert i koordinatsystemet ovanfor. Vi ser at stigingstalet til denne tangenten er, og at tangenten skjer y-aksen i 0,. Likninga for denne tangenten blir dermed y x. e) Gjør berekningar og avgjer om likninga du fann i oppgåve d), er riktig. Likninga vi fann i d), har stigingstal og skjer y-aksen i 0,. Er likninga rett, må desse føresetnadene vere oppfylte. Vi sjekkar stigingstalet: f , dette stemmer. Vi sjekkar konstantleddet. Vi veit at tangenten skal gå gjennom, dette punktet og sjekkar: y ax b b b Vi finn at stigingstalet er, og at konstantleddet er. Likninga i d) er riktig.. Vi bruker Eksamen MAT101 Matematikk 1T Våren 017 Side 8 av 18

9 Oppgåve 1 (5 poeng) a) Bruk PQR Vi finn først sida PQ. PQ 1 PQ PQ ovanfor til å vise at sin0 1 cos0 tan0 41 sin 0 QR PR 1 PQ PR cos 0 tan 0 QR 1 1 PQ Vidare i oppgåva kan du få bruk for nokre av desse trigonometriske verdiane. I ABC er AB, AC 4 og A 0 b) Bestem arealet av ABC. Vi bruker arealsetninga for trekantar og finn arealet av ABC. Areal blir: 1 AB AC sin c) Vis at BC BC BC BC BC 45 BC 5 Eksamen MAT101 Matematikk 1T Våren 017 Side 9 av 18

10 Tid: timer Hjelpemiddel: Alle hjelpemiddel er tillatne, med unntak av Internett og andre verktøy som tillèt kommunikasjon. Oppgåve 1 (7 poeng) Funksjonen f gitt ved f x x x x ( ) 0,0047 0,40 8, 86 x 0,5 viser fyllingsgraden fx ( ) prosent i eit vassmagasin x veker etter 1. januar 016. a) Bruk grafteiknar til å teikne grafen til f. Vi teiknar grafen til f i GeoGebra. Eksamen MAT101 Matematikk 1T Våren 017 Side 10 av 18

11 b) I kor mange veker var fyllingsgraden høgare enn 60 %? Vi legg inn ei linje y 60 og finn skjeringspunkta A og B mellom denne linja og grafen til f ved å bruke verktøyet «Skjæringer mellom to objekt» i GeoGebra, sjå nedanfor. Vi les av og finn at fyllingsgraden er lågare enn 60 % frå,8 veke etter nyttår fram til veke 6,7 etter nyttår, altså i ca. veker. Det vil seie at fyllingsgraden er høgare enn 60 % i ca. 9 veker i løpet av 016. c) I kva veke var fyllingsgraden lågast? Kor stor del av vassmagasinet var fylt då? Vi bruker verktøyet «Ekstremalpunkt» i GeoGebra og finn botnpunktet 1.67, 5.8, sjå punkt C ovanfor. Fyllingsgraden var lågast eit stykke ut i veke 14, og han var då på ca. 5 %. (Legg merke til at veke 1 er frå 0 1, så veke 14 blir i intervallet 1 14 ). Eksamen MAT101 Matematikk 1T Våren 017 Side 11 av 18

12 d) Bestem likninga for tangenten til grafen til f i punktet (, f ()). Kva fortel stigingstalet til denne tangenten om fyllingsgraden i vassmagasinet? Vi bruker verktøyet «Tangenter» i GeoGebra og teiknar tangenten til grafen til f i, f, sjå nedanfor. punktet Likninga for tangenten er y,48 x 7,51. Stigingstalet til tangenten er,48. Dette taler fortel oss at veker etter nyttår er fyllingsgraden i vassmagasinet i ferd med å auke med,48 prosentpoeng i veka. Oppgåve ( poeng) To vaksne og tre barn betaler til saman 50 kroner for billettar til ei kinoframsyning. Ein vaksenbillett kostar 40 kroner meir enn ein barnebillett. Kor mykje kostar ein barnebillett, og kor mykje kostar ein vaksenbillett? Vi lèt x stå for ein vaksenbillett og y for ein barnebillett. Vi set opp to likningar og løyser likningane ved hjelp av CAS i GeoGebra, sjå nedanfor. Ein vaksenbillett kostar 18 kroner, og ein barnebillett kostar 88 kroner. Eksamen MAT101 Matematikk 1T Våren 017 Side 1 av 18

13 Oppgåve ( poeng) Linjediagrammet ovanfor viser korleis andelen daglegrøykarar ved ei bedrift har gått ned i perioden a) Bestem ein lineær modell som tilnærma beskriv utviklinga. Ein lineær modell er gitt på forma y ax b. Vi ser at i løpet av 17 år søkk talet på daglegrøykjarar frå 0 % til 14 %. 16 Stigingstalet a er dermed Ein lineær modell som beskriv utvikling, er då gitt ved y x 0. b) Når vil prosentdelen daglegrøykjarar ved bedrifta vere 5 % ifølgje modellen i oppgåve a)? Vi løyser likninga frå a) og finn: x 0 5 x 5 Ifølgje modellen vil talet på daglegrøykjarar vere 5 % i 05. Eksamen MAT101 Matematikk 1T Våren 017 Side 1 av 18

14 Oppgåve 4 (4 poeng) Ved eit meieri blir det oppdaga ein feil ved ei av maskinene som skrur korkar på kartongane. På kjølelageret er det 00 kartongar med lettmjølk og 100 kartongar med heilmjølk. 5 av kartongane med lettmjølk og 1 4 av kartongane med heilmjølk har ikkje tett kork. Tenk deg at du skal ta ein kartong tilfeldig frå kjølelageret. a) Bestem sannsynet for at kartongen ikkje har tett kork. Vi vel å systematisere opplysingane i ein krysstabell. Kartong med lettmjølk som ikkje har tett kork: Kartong med heilmjølk som ikkje har tett kork: Lettmjølk Heilmjølk Sum Tett kork Ikkje tett kork Sum Frå tabellen ser vi at 105 av 00 kartongar ikkje har tett kork. Sannsynet blir ,5 5% Tenk deg at du tek ein kartong som ikkje har tett kork. b) Bestem sannsynet for at kartongen inneheld lettmjølk. Vi ser av tabellen ovanfor at det er 105 kartongar til saman som ikkje har tett kork. Vidare ser vi at 80 av desse kartongane er lettmjølk. Sannsynet blir dermed ,76 76,% Eksamen MAT101 Matematikk 1T Våren 017 Side 14 av 18

15 Oppgåve 5 ( poeng) Gitt trekanten ovanfor. Bruk CAS til å bestemme s. Vi vel å bruke CAS i GeoGebra og bestemmer s ved hjelp cosinussetninga, sjå nedanfor. I denne oppgåva er det berre den positive løysninga som er mogleg. Det vil seie at 8 s. Eksamen MAT101 Matematikk 1T Våren 017 Side 15 av 18

16 Oppgåve 6 ( poeng) Ein funksjon f er gitt ved Bruk CAS til å f x x ax a x a ( ), 0 vise at grafen til f har eit nullpunkt og eit stasjonært punkt i Pa (, 0) avgjere om P er eit toppunkt, eit botnpunkt eller eit terrassepunkt I linje 1 definerer vi funksjonen f. Linje og viser at grafen til f har eit nullpunkt i a,0. 1 I linje finn vi at den momentane vekstfarten til f er 0 for x a og for x a. I linje 5 og 6 tek vi stikkprøver og sjekkar vekstfarten på begge sider av a. Her er det viktig at vi tek ein stikkprøve mellom 1 og a a. På grunnlag av stikkprøvene ser vi at det stasjonære punktet P a,0 er eit botnpunkt. Eksamen MAT101 Matematikk 1T Våren 017 Side 16 av 18

17 Oppgåve 7 (4 poeng) Figuren ovanfor viser ein halvsirkel med sentrum i B og radius R ein halvsirkel med sentrum i C og radius r ein kvart sirkel med sentrum i A og radius R Dei to halvsirklane tangerer kvarandre i punktet D. Punktet D ligg på linja gjennom B og C. a) Bruk Pytagoras setning til å vise at r R Vi har at AB R, AC R r og BC R r. Bruker CAS og finn r. b) Bruk CAS til å bestemme arealet av det blå området på figuren uttrykt ved R. Vi bestemmer arealet av kvartsirkelen og trekkjer frå dei to halvsirklane, sjå linje og 4. Eksamen MAT101 Matematikk 1T Våren 017 Side 17 av 18

18 Kjelder Oppgåvetekst med grafiske framstillingar og bildar: Utdanningsdirektoratet Eksamen MAT101 Matematikk 1T Våren 017 Side 18 av 18