Eksamen 1T, Hausten 2012

Transkript

1 Eksamen 1T, Hausten 01 Del 1 Tid: timar Hjelpemiddel: Vanlege skrivesaker, passar, linjal med centimetermål og vinkelmålar er tillatne. Oppgåve 1 (1 poeng) Ei rett linje har stigingstal. Linja skjer x aksen i punktet 3,0. Bestem likninga for linja. Bruker eittpunktsformelen y y ax x der, til linja. Likninga for linja blir 1 1 y 0 x 3 y x 6 x y er eit punkt på linja og a er stigingstalet 1 1 Oppgåve (1 poeng) Løys likninga lg x 3 1 Vi veit at lg10 1. Det må tyde at 7 x 3 10 x 7 x 3,5 Oppgåve 3 (1 poeng) Skriv så enkelt som mogleg ( x) x x x x x x x = x 4 Oppgåve 4 ( poeng) Skriv så enkelt som mogleg x 6x9 x 9 x3 x3 x3 x3 x 3 x 3 Bruker 1. kvadratsetning i teljar og konjugatsetninga i nemnaren. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T hausten 01 LØYSING Side 1 av 14

2 Oppgåve 5 (1 poeng) Skriv så enkelt som mogleg Oppgåve 6 (5 poeng) Funksjonen f er gitt ved f x x x 3 a) Bestem nullpunkta til f ved rekning. Bruker abc formelen og finn nullpunkta. f x x 1 16 x x 3 x 1 1 b) Gi grunn for at grafen av f har eit botnpunkt, og bestem koordinatane til botnpunktet ved rekning. Finn x koordinaten til botnpunktet ved å bruke symmetrilinja, Finn y verdien til botnpunktet: Ser at til dømes i 1, f x 1. f. Det tyder at grafen stig frå x 1 til x 0, altså har vi eit botnpunkt c) Skisser grafen av f i eit koordinatsystem. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T hausten 01 LØYSING Side av 14

3 Oppgåve 7 ( poeng) Løys likninga x x x x x x x x x x x x x x x x x 5 0 x 4 0 x 5 x 4 Oppgåve 8 (4 poeng) I klasse 1A er det 5 elevar. 1 av elevane har valt fysikk neste skuleår. 14 av elevane har valt biologi. 4 elevar har verken valt fysikk eller biologi. a) Systematiser opplysningane ovanfor i ein krysstabell eller i eit venndiagram. Krysstabell: Fysikk Ikkje fysikk Sum Biologi Ikkje biologi Sum Vi vel tilfeldig ein elev frå klassen. b) Bestem sannsynet for at eleven har valt både fysikk og biologi. Vi ser ut frå tabellen at det er 5 elevar som har valt både fysikk og biologi. Sannsynet for at ein tilfeldig elev har dette valet blir Vi vel tilfeldig ein elev som har valt biologi. c) Bestem sannsynet for at eleven også har valt fysikk. Vi har no 14 elevar å velje frå ,0 5 5 Sannsynet for at denne eleven også har valt fysikk blir dermed 5 14 Eksamen MAT1013 Matematikk 1T hausten 01 LØYSING Side 3 av 14

4 Oppgåve 9 (4 poeng) Gitt ABC ovanfor. a) Bestem sina og cos A når a 1, b 13 og c 5. a 1 sina og b 13 c 5 cos A b 13 b) Vis at A A (sin ) cos 1 når a 1, b 13 og c (sin A) cos A c) Vis at A A (sin ) cos 1 for alle trekantar ABC der B 90. a c a c a c (sin A) cos A 1, da Pytagoras gir at b a c b b b b b Oppgåve 10 (3 poeng) Figuren ovanfor viser ein sirkel som er innskriven i eit kvadrat. AC 4 Vis at arealet av det blå området på figuren ovanfor er 8 Set sidekanten lik s. Pytagoras gir s s s 4 8 s Arealet av heile kvadratet blir Arealet av sirkelen blir r 4 Arealet av det blå området blir 8 8 Eksamen MAT1013 Matematikk 1T hausten 01 LØYSING Side 4 av 14

5 Del Tid: 3 timar Hjelpemiddel: Alle hjelpemiddel er tillatne, med unnatak av Internett og andre verktøy som tillet kommunikasjon. Oppgåve 1 (3 poeng) Formelen nedanfor bruker vi for å rekne ut den totale motstanden R i ei parallellkopling med to motstandar R 1 og R R R R 1 a) Bestem R når R 1 5 og R Løyste likninga ved hjelp av CAS-verktøyet i GeoGebra. R 5 7 Brukte kommandoen, Løys[ <Likning>, <Variabel> ] Vi finn at R 35 1 b) Vis at dersom R R 1, vil R R Løyser likninga ved hjelp av CAS-verktøyet i GeoGebra. R R R 1 1 Brukte kommandoen, Løys[ <Likning>, <Variabel> ] Vi har dermed vist at R R1 når R R 1 3 Eksamen MAT1013 Matematikk 1T hausten 01 LØYSING Side 5 av 14

6 Oppgåve (7 poeng) Funksjonen f er gitt ved 3 f x x x 5x 6, x a) Teikn grafen av f. Grafen av f er teikna i GeoGebra. b) Bestem tangenten til grafen av f i punktet 1, 1 f ved rekning. Teikn tangenten i same koordinatsystem som du brukte i a). Vi fann først koordinatane til punktet 1, f 1 punktet og til slutt vart desse punkta brukte i eittpunktsformelen. f 1, f 1 1, f x 3x 4x 5 a f y y a x x 1 1 y 0 6 x 1. Deretter fann vi stigingstalet a til tangenten i y 6x 6 Tangenten er teikna inn i koordinatsystemet i a) Eksamen MAT1013 Matematikk 1T hausten 01 LØYSING Side 6 av 14

7 c) Grafen av f har to tangentar med stigingstal. Bestem likningane for desse to tangentane. Vi fann først x -koordinatane til desse to punkta. Deretter sette vi inn punkta i GeoGebra og fann tangentar ved å bruke kommandoen «Tangentar». 3 x f '( x) for desse x - verdiane er stigingstalet til tangentane lik 4x 5 Brukte CAS i GeoGebra for å løyse denne andregradslikninga: Teikna tangentane i GeoGebra 7 7 La inn tangeringspunkta 1, f1 1, 8 og, f.33, 3,85 og brukte 3 3 kommandoen Tangentar i GeoGebra for å teikne tangentane. Likningane for desse to tangentane er y x 10 og y x 8,5 Eksamen MAT1013 Matematikk 1T hausten 01 LØYSING Side 7 av 14

8 Oppgåve 3 (4 poeng) Gitt ABC ovanfor. a) Bestem vinkelen ved rekning. Trekanten er likebeint. Normalen frå AB gjennom C, dvs. høgda frå C ned på AB, deler då AB på midten. Vi kan då setje 4 cos 11 4 arccos 11 68,7 b) Bestem høgda h ved rekning. Bruker Pytagoras' læresetning og finn h 4 11 h h 10, 11 4 Vi kunne også ha brukt sinus for å finne høgda. h sin68,7 11 h 11sin68,7 h 10, Eksamen MAT1013 Matematikk 1T hausten 01 LØYSING Side 8 av 14

9 Oppgåve 4 (6 poeng) 60 % av bilistane som parkerer på ein parkeringsplass, betaler med kort. Resten betaler med kontantar. a) Bestem sannsynet for at dei 10 første bilistane som parkerer på parkeringsplassen ein dag, betaler med kort. Sannsynet for at dei 10 første betaler med kort blir 10 0,6 0,006 dvs. 0,6 %. Alternativ løysing: Problemstillinga kan sjåast som ei binomisk forsøksrekkje der kvar bilist er eit delforsøk med p 0,6. Bruker sannsynskalkulatoren i GeoGebra: Svar: sannsynet for at dei 10 første bilistane betaler med kort er cirka 0,006 Eksamen MAT1013 Matematikk 1T hausten 01 LØYSING Side 9 av 14

10 b) Bestem sannsynet for at nøyaktig 10 av dei 0 første bilistane som parkerer på parkeringsplassen ein dag, betaler med kort. Bruker sannsynskalkulatoren i GeoGebra n0 og k 10 Sannsynet for at nøyaktig 10 av dei 0 første bilistane betaler med kort er 0,117, dvs. 11,7 %. c) Bestem sannsynet for at meir enn halvparten av dei 50 første bilistane som parkerer på parkeringsplassen ein dag, betaler med kort. Meir enn halvparten av 50 bilister blir frå og med 6 til og med 50. Bruker sannsynskalkulatoren i GeoGebra: Sannsynet for at meir enn halvparten av dei 50 første bilistane betaler med kort er 0,90, dvs. 90, % Eksamen MAT1013 Matematikk 1T hausten 01 LØYSING Side 10 av 14

11 Oppgåve 5 (4 poeng) Petter har sett opp tabellen nedanfor. Han trur han har funne eit mønster. n n a) Vel to etterfølgjande heile tal, og vis ved eit døme at det Petter meinte er rett for tala du har valt. Vi vel tala 1 og Petter har rett for tala 1 og. b) Formuler Petter sin påstand for to etterfølgjande heile tal n og n 1 og vis at han stemmer. Vel tala n og n 1. Påstanden til Petter blir: 1 1 n n n n Viser dette ved å rekne ut venstre side i likninga ovanfor n n n n n n (Brukte 1. kvadratsetning). Venstre side i likning er lik høgre side. Dermed har vi vist at påstanden stemmer for tala n og n 1. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T hausten 01 LØYSING Side 11 av 14

12 Oppgåve 6 (6 poeng) Gitt ABC ovanfor. AB 5 og AC BC 8,0. a) Bestem lengda av BC ved rekning. Vi bruker Pytagoras' læresetning for å finne lengda av BC. 5,0 x 8,0 x Løyser likninga ved å bruke CAS i GeoGebra. Lengda av BC er,4 I DEF er D 30, DE 5,0 og DF EF 8,0. b) Bestem lengda av EF ved rekning. Lagar ei skisse i GeoGebra først. Set EF x. Cosinussetninga gir x x x 5,0 (8,0 ) 5,0 (8,0 ) cos30 Bruker CAS-verktøyet i GeoGebra og får at EF x,7. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T hausten 01 LØYSING Side 1 av 14

13 c) Bestem E ved rekning. Bruker sinussetninga og set opp likninga sine sind DF EF sine sin30 8,0,7,7 Løyser i CAS-verktøyet i GeoGebra E 79 Oppgåve 7 (6 poeng) Ein kasse har ei kvadratisk grunnflate (botn) med side x dm. Høgda i kassen er h dm. Kassen har ikkje lokk. Høgda av kassen og omkrinsen av grunnflata er til saman 30 dm. a) Forklar kvifor 0 x 7,5 Både sidekantane x og høgda h må vere positivt tal i ei praktisk oppgåve. Oppgåveteksten gir at 4xh 30,0 Høgda må vere større enn 0. Det gir 30,0 4x 0 4x 30,0 x 7,5 Det tyder at 0 x 7,5 Eksamen MAT1013 Matematikk 1T hausten 01 LØYSING Side 13 av 14

14 b) Vis at overflata av kassen kan uttrykkjast ved funksjonen O gitt ved O x 15x 10x Set opp eit uttrykk for overflata uttrykt som ein sum av grunnflata og 4 sideflater. (Avgrensingane i a) gjeld) O x x 4 x h x 4 x 30,0 4x x 10x 16x 15x 10 x c) Bestem x slik at kassen får størst mogleg overflate. Kor stor er overflata då? Løyser grafisk i GeoGebra. Teiknar inn funksjonen i sitt definisjonsområde og bruker kommandoen ekstremalpunkt. Får då den største overflata for x 4. Då er overflata O 40 dm. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T hausten 01 LØYSING Side 14 av 14