S1 eksamen våren 2016 løysingsforslag

Transkript

1 S1 eksamen våren 016 løysingsforslag Tid: timar Hjelpemiddel: Vanlege skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmålar er tillate. Oppgåve 1 (4 poeng) Løys likningane a) x x x x 1 x x 1 x b) lg(4x ) lg lg(4 x) lg7 4x 7 4x 7 4x 4 x 1 Oppgåve (4 poeng) Skriv uttrykka så enkelt som mogleg a) x x x 1x 1 4x 1x 9 ( x 4x 4) x 1 4x 1x 9 x 1x 1 x 1 x 4 Eksamen REA06 Matematikk S1 våren 016 Side 1 av 18

2 b) ab ab ab ( 6) ( ) 8 5 a b a b ab Oppgåve ( poeng) Eit rektangel med sider x og y har areal 6 og omkrins 11. a) Set opp eit likningssystem som svarar til opplysningane ovanfor. Areal: xy 6 Omkrins: xy 11 b) Bestem lengda av sidene i rektangelet ved å løyse likningssystemet. xy 6 6 x y 6 y 11 y 1 y 11 y y 1 y 11y y 11y y 11 5 y 4 y y x 4 x y y 4 Den eine sida i rektangelet må vere 4 og den andre sida må vere. Eksamen REA06 Matematikk S1 våren 016 Side av 18

3 Oppgåve 4 ( poeng) Løys ulikskapen 5x x 0 Vi finn først nullpunkta. x 5 x 0 x 0 5 x 0 x 0 x 5 Faktoriseringsformelen gir 5x x xx 5 Vi brukar forteiknsskjema og finn når xx Vi finn at 5x x 0 for x 0,5 Oppgåve 5 (4 poeng) a) Skriv opp dei 7 første radene i Pascals taltrekant. Bestem Brukar taltrekanten til å bestemme resultat markert med oransje.) (Markert med lyseblå, 7 trinn ned, fire trinn inn, Eksamen REA06 Matematikk S1 våren 016 Side av 18

4 b) Beskriv ein praktisk situasjon der du får bruk for 7 4. I praksis snakkar vi om kor mange kombinasjonar av fire element du kan setje saman ut frå sju element til saman. Eit døme kan vere å setje opp eit lag på 4 spelarar på eit sandvolleyballag, og det er 7 spelarar å velje mellom. Det er då 5 ulike lagkombinasjonar som kan setjast opp. Oppgåve 6 ( poeng) Ein type pinkode består av fire siffer. Det er ikkje lov å la koden byrje med 0. a) Kor mange slike pinkodar finst det? Dette er eit ordna utval med tilbakelegging. Du har 9 ulike val for første siffer, og 10 ulike val for dei neste siffera ulike kombinasjonar. b) Kor mange pinkodar finst det som ikkje brukar same siffer fleire gongar? Dette er eit ordna utval utan tilbakelegging. Du har 9 ulike val for første siffer, 9 ulike val for andre siffer, 8 ulike val for det tredje sifferet og 7 ulike val for det siste sifferet ulike kombinasjonar. Oppgåve 7 (4 poeng) Funksjonen g er gitt ved g x ax b x c Følgjande opplysningar er gitt om grafen til g Den har vertikal asymptote x 1. Den skjer x-aksen i x. Den skjer y-aksen i y 4. a) Bestem funksjonsuttrykket til g. Brukar opplysningane til å setje opp nokre likningar. Grafen av funksjonen har vertikal asymptote når nemnaren er lik null x c 0 når x 1 1 c 0 c 1 Skjeringa med y-aksen gir Eksamen REA06 Matematikk S1 våren 016 Side 4 av 18

5 g 0 4 a0 b 4 0 c b 4 1 b 4 Skjeringa med x-aksen gir g() 0 a b 0 c ab0 b 4 a Funksjonsuttrykket blir g x x 4 x 1 b) Teikn grafen til g med asymptotar i eit koordinatsystem. Markerer kjende punkt (A og B), og finn horisontal asymptote x 4 x 4 0 lim g x lim lim x x x x x 1 x x x x Linja x er horisontal asymptote. Reknar ut punkta symmetri for å finne C og D.,,8 og 4, 4 4,4 C g D g. Vi kan også bruke Eksamen REA06 Matematikk S1 våren 016 Side 5 av 18

6 Oppgåve 8 (6 poeng) Ei bedrift produserer ei vare. Dei reknar med at kostnadene K ved å produsere x einingar av vara per dag er K x 0,1x 0x 1000, 0 x 00 a) Bestem den gjennomsnittlege vekstfarten til K i intervallet 0, 100 Gjennomsnittleg vekstfart til K i intervallet er K 0, K b) Bestem K 100. Kva fortel dette svaret oss? Kx 0,1x 0 0,x 0 K100 0, Svaret seier at stigningstalet til tangenten til grafen når x 100 er 50, som betyr at når bedrifta produserer 100 einingar, kostar det 50 kr å produsere éi ekstra eining (går ut frå at det er kroner, sjølv om det ikkje står i oppgåva). Bedrifta sel vara for 60 kroner per eining til ein butikk som kjøper alt bedrifta greier å produsere. c) Kor mange einingar må bedrifta produsere per dag for å få størst mogleg overskot? Vi finn overskotsfunksjonen ved å trekke kostnadene frå inntektene O x I x K x O x 60x 0,1x 0x ,1 x 0x 1000 O x har sin maksimale verdi i definisjonsområdet. Størst mogleg overskot oppnår vi når Overskotsfunksjonen er ein andregradfunksjon med negativt andregradledd, og vi kan difor finne eit toppunkt der den deriverte er lik null. O x 0,1 x 0 0,x 0 x Set O 0 0,x 0 0 0,x 0 x 150 Bedrifta kan vente seg størst overskot ved ein produksjon av 150 einingar. Eksamen REA06 Matematikk S1 våren 016 Side 6 av 18

7 Oppgåve 9 (6 poeng) Funksjonen f er gitt ved f x x x, 1 x 5 a) Bestem nullpunkta til f. f x 0 x x 0 x x x 0 x b) Bestem eventuelle topp- og botnpunkt på grafen til f. Set f x 0 f x x x x 6x x 6x 0 x x 0 x 0 x Faktoriseringsformelen gir fx x x Vi brukar forteiknsskjema for å sjå kva tid funksjonen stig og fell. Vi tek stikkprøvar for x- verdiar mindre enn 0, x-verdiar mellom 0 og og x-verdiar større enn. 0 0 Botnpunkt: Toppunkt: 0, f 0 0,0, f,,9 c) Lag ei skisse av grafen til f. Markerer nullpunkt, topp og botnpunkt (A, B og C). Eksamen REA06 Matematikk S1 våren 016 Side 7 av 18

8 d) Bestem likninga for linja som tangerer grafen til f i punktet 1, 1 Finn stigningstalet til tangenten f Finn f Brukar eittpunktsformelen y y a x x y 7 4 x 1 7 y 4x 4 5 y 4x 1 1 f. Eksamen REA06 Matematikk S1 våren 016 Side 8 av 18

9 Tid: timar Hjelpemiddel: Alle hjelpemiddel er tillate, med unntak av internett og andre verktøy som tillét kommunikasjon. Oppgåve 1 (5 poeng) Fire personar er med i eit terningspel. Kvar deltakar kastar ein terning tre gongar i første runde. Sannsynet for at ein bestemt deltakar får minst éin seksar i løpet av dei tre kasta, er p. a) Vis at p 0,41 Vi har eit binomisk sannsyn med to moglege utfall, anten seksar eller ikkje seksar. Sannsynet for kvart kast er den same er P seksar 1. Alle delforsøk er uavhengige. 6 Sannsynet for at ein deltakar får minst éin seksar er 5 p 1 P (ikkje seksar) 1 6 Reknar i CAS GeoGebra b) Bestem sannsynet for at berre dei to første deltakarane får minst éin seksar i løpet av første runde. Sannsynet for at dei to første deltakarane får minst éin seksar og dei to siste deltakarane ikkje får minst éin seksar er P føste får seksar p (1 p ) Reknar i CAS GeoGebra Sannsynet er ca. 0,059 = 5,9 %. c) Bestem sannsynet for at nøyaktig to av deltakarane får minst éin seksar i løpet av første runde. Vi brukar sannsynskalkulatoren for binomisk fordeling i GeoGebra med n 4 forsøk. Eksamen REA06 Matematikk S1 våren 016 Side 9 av 18

10 Sannsynet for at nøyaktig to deltakarar får minst éin seksar i løpet av første runde, er ca. 5,7 %. Oppgåve (6 poeng) Tabellen nedanfor viser produksjonen av norsk oppdrettslaks i nokre år frå 1997 til 01. Årstal Produsert laks, i tonn (t) a) La x vere talet på år etter Framstill tala i tabellen ovanfor i eit koordinatsystem. Bestem ein eksponentiell modell som passar bra med tala i tabellen. Kor mange prosent veks produksjonen per år? La verdiane inn i rekneark i GeoGebra, og valde regresjonsanalyse med eksponentiell modell. Eksamen REA06 Matematikk S1 våren 016 Side 10 av 18

11 Regresjonen gir modellen 1, % 8,% f x 755 1,08 x som gir ein årleg vekst på I resten av oppgåva vil vi bruke modellen fx b) Når vil produksjonen passere t? Definerer funksjonen i GeoGebra, og løyser likninga ,08 x Eksamen REA06 Matematikk S1 våren 016 Side 11 av 18

12 Produksjonen vil passere tonn,8 år etter 1997, det vil seie heilt på slutten av 019. c) Kva tid vil produksjonsveksten for første gong vere større enn t per år? Deriverer funksjonen i GeoGebra, og løyser likninga Produksjonsveksten vil først vere større enn t per år etter om lag 17 år, det vil seie i årsskiftet 01/014. Eksamen REA06 Matematikk S1 våren 016 Side 1 av 18

13 Oppgåve (7 poeng) Ein fiskebutikk lagar fiskekaker av typane A og B. Tabellen nedanfor viser mengda av torsk og sei per kilogram fiskekaker for kvar av dei to typane. Type Torsk Sei A 0,6 kg 0, kg B 0,4 kg 0,4 kg Ei veke har butikken tilgang til 00 kg torsk og 00 kg sei. Dei veit frå tidlegare erfaringar at dei ikkje får seld meir enn 550 kg fiskekaker. La x vere talet på kilogram dei produserer av type A, og y vere talet på kilogram dei produserer av type B. a) Grunngje at ulikskapane nedanfor passar med opplysningane. x 0 y 0 xy 550 0,6x0,4 y 00 0,x0,4 y 00 Talet på kg av type A og B må begge vere større eller lik null. Summen av talet på kg av A og B må vere mindre enn eller lik 550 kg. Summen av talet på kg torsk i type A og B må vere mindre enn eller lik 00 kg. Summen av talet på kg sei i type A og B må vere mindre enn eller lik 00 kg. b) Skraver det området ulikskapane avgrensar, i eit koordinatsystem. Vi teiknar dei lineære funksjonane i GeoGebra, og brukar kommandoen «Skjering mellom to objekt» for å finne kryssingspunkta. Så brukar vi kommandoen «Mangekant» til å Eksamen REA06 Matematikk S1 våren 016 Side 1 av 18

14 markere området som ulikskapane avgrensar. Ved innkjøp betalar butikken 55 kroner per kilogram for torsk og 5 kroner per kilogram for sei. Butikken har i tillegg faste kostnader på 5000 kroner per veke. Fiskekakene blir selde for 70 kroner per kilogram for type A og 61 kr per kilogram for type B. c) Butikken lagar og sel x kg av type A og y kg av type B. Forklar at fortenesta er gitt ved 0x5y 5000 Vi finn fortenesta ved å trekke kostnadene frå inntektene. Vi brukar CAS i GeoGebra til å rekne ut fortenesta for type A og type B Fortenesta for x kg av type A er 0 kr per kg og for y kg av typen B er fortenesta 5 per kg, Eksamen REA06 Matematikk S1 våren 016 Side 14 av 18

15 trekker vi frå fast utgift, blir fortenesta 0x5y 5000 d) Kva er den største fortenesta butikken kan få? Set fortenesta lik null og teiknar funksjonen 0x 5y i GeoGebra. Forskyv linja opp i det skraverte området og finn punktet C 400,150 der fortenesta er størst. Reknar ut fortenesta i CAS Den største fortenesta butikken kan få er kr per veke. Eksamen REA06 Matematikk S1 våren 016 Side 15 av 18

16 Oppgåve 4 (6 poeng) Salsprisen P i kroner per kilogram for eit bestemt fiskeslag er gitt ved P x 0,5x 10x 60, 0 x 8 Der x er talet på tonn fisk som seljast per veke. a) Forklar at den totale inntekta I frå fiskesalet ei veke er gitt ved I x 1000 x P x Den totale inntekta er talet på tonn som seljast, x, multiplisert med salsprisen i kroner per kg, P x, multiplisert med 1000 for å få salsprisen per tonn. b) Bruk grafteiknar til å bestemme kva fiskemengd som gir størst inntekt. Kor stor er inntekta då? Teiknar grafen av funksjonen med kommandoen «Funksjon, Start, Slutt», og finn toppunktet A med kommandoen «Ekstremalpunkt». Størst inntekt oppnår ein ved sal av 4,56 tonn fisk, inntekta er då ca kr. Eksamen REA06 Matematikk S1 våren 016 Side 16 av 18

17 Ein annan modell F for prisen per kilogram er gitt ved F x 0,5x ax 60, 0 x 8 der a er eit positivt tal. For ein bestemt verdi av a blir inntektene størst når det seljast t. c) Bruk CAS til å bestemme denne verdien av a. Finn funksjonen for inntekta på same måte som i a). Deriverer funksjonen i CAS. Vi veit at det er størst inntekt når x, set difor den deriverte lik null i dette punktet for å finne a. Sjekkar at grafen har toppunkt ved å sjå om x- verdiar mindre enn gir positiv funksjonsverdi for den deriverte funksjonen, og x- verdiar større enn gir negativ funksjonsverdi for den deriverte funksjonen. For å få størst inntekt når x, må a Eksamen REA06 Matematikk S1 våren 016 Side 17 av 18

18 Biletliste Bilete, teikningar og grafiske framstillingar: Utdanningsdirektoratet Eksamen REA06 Matematikk S1 våren 016 Side 18 av 18