S1 eksamen våren 2017 løsningsforslag

Transkript

1 S1 eksamen våren 017 løsningsforslag Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (5 poeng) Løs likningene a) x 5x 0 xx ( 5) 0 x 0 x 5 0 x 0 x 5 x b) x x x 3 c) 4lg( x 15) 8 4lg( x 15) lg( x 15) lg( x15) x x Eksamen REA306 Matematikk S1 våren 017 Side 1 av 1

2 Oppgave (6 poeng) Skriv uttrykkene så enkelt som mulig a) 1 1 a 1 Fellesnevner blir ab. a b ab 1 b 1 a a 1 b a a 1 b 1 ab ba ab ab ab b) 4a b a 6 4 ab 1 a b 64 a b a a c) lg 3alg a lg a lg 3 lg a 3lg a lg a lg 3 (1 3 )lg a lg 3 Oppgave 3 (3 poeng) To familier skal på kino. Familien Hansen kjøper tre barnebilletter og to voksenbilletter. De betaler 90 kroner for billettene. Familien Sørensen kjøper fem barnebilletter og tre voksenbilletter. De betaler 460 kroner. a) Sett opp to likninger som kan brukes til å bestemme prisen på én barnebillett og én voksenbillett. x: Barnebillett. y: Voksenbillett 3xy 90 (I) 5x3y 460 (II) Eksamen REA306 Matematikk S1 våren 017 Side av 1

3 b) Hvor mye koster én barnebillett, og hvor mye koster én voksenbillett? Ordner på likning (I): y 90 3x y 90 3x 90 3x 3 y 145 x, Setter inn i likning (II): 3 5x 3145 x x 435 x x x x 5 1 x 5 x y 145 x Barnebilletten koster 50 kroner, og voksenbilletten koster 70 kroner. Eksamen REA306 Matematikk S1 våren 017 Side 3 av 1

4 Oppgave 4 ( poeng) Løs ulikheten x x 3 Først ordner vi ulikheten: x x 3 0 og finner nullpunktene til x x 3. b b 4 ac ( ) ( ) 4 1 ( 3) x a x 3 x 1 Tester så uttrykket x x 3 for x-verdiene -, 0 og 4 for å sjekke om vi får positivt eller negativt svar: x : ( ) ( ) x 0 : x 4 : Vi tegner fortegnsskjema (trengs egentlig ikke, vi har de opplysningene vi trenger, over): 0 0 x x 3 for x, 1 3, (eller: x 1 x 3) Vi finner at Oppgave 5 (4 poeng) a) Skriv opp de sju første radene i Pascals talltrekant Eksamen REA306 Matematikk S1 våren 017 Side 4 av 1

5 b) Bestem 6 3 og 4. Den første finner vi på sjuende rad, posisjon 4, markert med oransje. Den andre finner vi på femte rad, posisjon 3, også markert med oransje. Vi får altså: og 4 6 I elevrådet er det fire jenter og to gutter. Blant disse skal det trekkes ut tilfeldig tre personer som skal representere skolen. c) Bestem sannsynligheten for at det blir to jenter og én gutt som skal representere skolen. Du kan få bruk for denne formelen: m n m Hypergeometrisk fordeling: k r k P( X k) n r M elementer i D. n m elementer i D. r elementer trekkes tilfeldig. X er antall elementer som trekkes fra D. Her skal det trekkes av den sorten det er 4 av (jenter), og 1 av den sorten det er av (gutter). Det blir en hypergeometrisk sannsynlighet med: m 4 k n 6 r 3 Leser fra tabellen i a) ved utregningen og får for sannsynligheten for at det blir to jenter og én gutt: PX ( ) Eksamen REA306 Matematikk S1 våren 017 Side 5 av 1

6 Oppgave 6 (4 poeng) Et område i planet er avgrenset av de tre ulikhetene y x 1 y x 4 y 0 a) Skraver området i et koordinatsystem. Skriver først alle ulikhetene med y på venstre side: y x y x y x4 y Det betyr at det aktuelle området skal ligge over linja y x, kalt f på figuren nedenfor, og over linja y x 4, kalt g på figuren nedenfor. Samtidig skal det ligge under x-aksen. Tegner de to nevnte linjene inn i et koordinatsystem (kalt f og g på figuren nedenfor) og skraverer området over hver linje som samtidig ligger under x- aksen. Dette er det området som oppfyller alle ulikhetene. Eksamen REA306 Matematikk S1 våren 017 Side 6 av 1

7 b) Bestem den minste verdien størrelsen y x kan ha dersom (x, y) skal ligge i det skraverte området. Setter y x k, som da skal ha så liten verdi som mulig. Løser likningen med hensyn på y: y x k y x k 1 k y x Dette er ei rett linje med stigningstall 1. Velger punktet (4, 0) som startpunkt og tegner linja ved å bruke stigningstallet. Dette gir figuren nedenfor: Når k synker, vil konstantleddet til linja synke, og linja flytter seg nedover. Den laveste verdien for k vil derfor inntreffe når linja går gjennom punktet (3, 1), skjæringspunktet mellom linjene f og g, altså når x = 3 og y = -1. Setter disse verdiene inn i formelen for likningen og får som minste verdi for k: 1 k y x 1 k k k 5 k 5 Eksamen REA306 Matematikk S1 våren 017 Side 7 av 1

8 Den minste verdien for y x innenfor det aktuelle området er altså 5. Alternativt kan oppgaven løses ved å sjekke hva koordinatene til hjørnepunktet. y x blir ved å sette inn Eksamen REA306 Matematikk S1 våren 017 Side 8 av 1

9 Oppgave 7 (7 poeng) Figuren viser grafen til en andregradsfunksjon f sammen med tangenten t til grafen i punktet (, f()). a) Bestem f(0) og f(4). Leser av y-verdiene for x = 0 og x = 4 på figuren: f(0) 4, f (4) 0 b) Bestem likningen til tangenten t. Tangenten skjærer y-aksen for y 6, som blir konstantleddet. Ser at tangenten synker med én enhet for hver enhet i positiv x-retning. Det betyr at stigningstallet er 1. Likningen for tangenten blir: y x 6 c) Bestem f'(1) og f '(). Grafen til f har toppunkt for x 1. Da er f '(1) 0. Vi vet fra før at tangenten til grafen for x har stigningstall lik 1. Da er f '() 1 d) Bestem funksjonsuttrykket til f. Funksjonen kan skrives som f( x) a( x x )( x x ), der x1 og x er nullpunktene til 1 funksjonen, dvs. x 1 og x 4 ved å se på figuren. Da kan funksjonen skrives f( x) a( x )( x 4). Bruker nå at f (0) 4 fra figuren og får: Eksamen REA306 Matematikk S1 våren 017 Side 9 av 1

10 f(0) 4 a(0 )(0 4) 4 a ( 4) 4 8a 4 8a a Funksjonen blir da: 1 1 f( x) ( x )( x 4) ( x 4x x 8) 1 1 ( x x 8) x x 4 Alternativt: Setter f( x) ax bx c. Bruker at Bruker så at f (0) 4, som gir: f(0) a0 b0 c c 4. Da får vi f( x) ax bx 4 f (4) 0, som gir: f(4) a 4 b a 4b 4 0 (I) Deriverer funksjonen: f '( x) ax b ax b Bruker så at f '(1) 0, som gir: f '(1) a1 b a b 0 og videre ba (II) Setter (II) inn i (I): 16a 4 ( a) a 8a 4 8a 4 8a a 1 Dette gir videre: b a 1 1 Funksjonen blir da: f( x) x x 4 Eksamen REA306 Matematikk S1 våren 017 Side 10 av 1

11 Oppgave 8 ( poeng) Et område er skravert i koordinatsystemet. Bestem tre ulikheter som til sammen avgrenser dette området. Den loddrette grenselinja er x 4. Området ligger til venstre for linja, som betyr at x 4. Den nederste grenselinja går gjennom punktene (1, ) og (3, 1). Stigningstallet for linja blir da: a Ettpunktsformelen gir videre: y x 1 x y x x Det skraverte området ligger over denne linja, som betyr at: 1 5 y x y x 5 Ser at den øverste linja går gjennom punktet (0, 3) og øker med 1 for hver enhet vi går i positiv x-retning. Da er konstantleddet 3 og stigningstallet 1. Linja blir da: y x 3 Det skraverte området ligger under denne linja, som betyr at: y x 3 Eksamen REA306 Matematikk S1 våren 017 Side 11 av 1

12 Oppgave 9 (3 poeng) Figuren nedenfor viser grafen til en rasjonal funksjon f. Grafen har asymptotene x 1 og y 3. ax b Funksjonsuttrykket til f kan skrives på formen fx ( ) cx 1 Bestem a, b og c. Ser at f (0) 6. Det gir: a0 b b f(0) b 6 c b 6 ax 6 Da har vi at fx ( ) cx 1 Ser også at f () 0. Det gir: a 6 a 6 f() 0 c 1 c 1 a 6 (c 1) 0(c 1) 0 c 1 a 6 0 a 6 a 6 a 3 3x 6 Da har vi at fx ( ). cx 1 Når vannrett asymptote er y 3, vet vi at f( x) 3 når x. Når x, kan vi se bort ifra 6 i telleren og 1 i nevneren på funksjonen, for de blir så små i forhold til leddene med x i. Da får vi, når x : ( ) 3 x fx cx 3 3 c 3 c c 3 c 3c c 1 Eksamen REA306 Matematikk S1 våren 017 Side 1 av 1

13 Oppgave 1 (8 poeng) Vi antar at konsentrasjonen av CO i lufta var 80 ppm (parts per million) i året Siden den gang har konsentrasjonen økt. Tabellen nedenfor viser utviklingen av CO-konsentrasjonen for noen utvalgte år mellom 1870 og 000. År CO konsentrasjon (ppm) Hvor mye CO konsentrasjonen har økt siden 1800 (i ppm) La x være antall år etter a) Bruk regresjon til å bestemme en funksjon som tilnærmet beskriver hvordan CO-konsentrasjonen har økt siden Bruker 1800 som nullnivå for CO-konsentrasjonen, dvs. at vi bruker tallene i tabellen direkte. Skriver tallene inn i regnearket på Geogebra inkludert en kolonne med x antall år etter 1870 og en kolonne med hvor mye CO-konsentrasjonen har økt siden 1800, som i oppgavetabellen. Markerer kolonnene med økning i CO-konsentrasjon og x og velger Regresjonsanalyseverktøyet. Eksamen REA306 Matematikk S1 våren 017 Side 13 av 1

14 Velger eksponentiell modell. Modellen som passer bra med måleverdiene, ble: fx ( ) 4,55 1,0 x der x er antall år etter 1870, og fx ( ) er økningen i CO- konsentrasjonen siden Se figuren til høyre. Eksamen REA306 Matematikk S1 våren 017 Side 14 av 1

15 En modell for konsentrasjonen av CO i lufta x år etter 1870 er gitt ved Kx ( ) 80 5,0 1,0 x b) Bruk graftegner til å tegne grafen til K. Skrev funksjonen inn i inntastingsfeltet i Geogebra, se rød graf nedenfor. c) Bestem konsentrasjonen av CO i 050 dersom utviklingen følger modellen K. År 050 er ( ) år = 180 år etter 1870, dvs. x = 180. Skrev inn punktet (180, K (180)) i inntastingsfeltet i Geogebra, se punktet A i figuren i figuren i b). CO- konsentrasjonen i år 050 blir 531 ppm etter modellen i b). d) Bruk CAS til å bestemme når CO konsentrasjonen blir 45 ppm, dersom utviklingen følger modellen K. Skrev inn likningen Kx ( ) 45 i CAS i Geogebra og brukte verktøyet NLøs, se figuren. CO-konsentrasjonen blir 45 ppm 155 år etter 1870, dvs. år 05 etter modellen i b). e) Bestem den momentane vekstfarten til K for x = 10. Hva forteller dette svaret oss? Skrev inn Tangent (10, K) i inntastingsfeltet og fikk tangenten g til K for x = 10, se figuren i oppgave b). Den momentane vekstfarten er lik stigningstallet til tangenten, altså 1,48. Det forteller oss at CO-konsentrasjonen øker med 1,48 ppm per år 10 år etter 1870, dvs. år Alternativt kan vi skrive K (10) i CAS. Eksamen REA306 Matematikk S1 våren 017 Side 15 av 1

16 Oppgave (8 poeng) Simon passerer 10 lyskryss på vei til skolen. Lyskryssene virker uavhengig av hverandre. Det er grønt lys i 4 s hvert minutt i hvert av lyskryssene. a) Begrunn at vi kan se på dette som et binomisk forsøk med p = 0,40. Det er grønt lys i 4 av 60 sekunder. Sannsynligheten for å få grønt lys i et av lyskryssene er da: 4 4 0, Siden lyskryssene har samme sannsynlighet for å få grønt lys og er uavhengige av hverandre, vil dette være et binomisk forsøk med p = 0,40. b) Bestem sannsynligheten for at Simon får grønt lys i nøyaktig fem kryss. Åpner sannsynlighetskalkulatoren i Geogebra, velger Binomisk sannsynlighet, n = 10 og p = 0,40. Svaret på oppgaven er da P (X = 5) i tabellen til høyre, dvs. at sannsynligheten for at Simon får grønt lys i nøyaktig fem kryss, er 0,. c) Bestem sannsynligheten for at Simon får grønt lys oftere enn rødt lys. Det betyr at Simon må få flere enn 5 grønne lys, dvs. at 6 X 10 i sannsynlighetskalkulatoren, se figuren i b). Sannsynligheten for å få grønt lys oftere enn rødt lys er altså 0,166. d) Bestem sannsynligheten for at han får grønt lys i tre kryss etter hverandre og rødt lys i alle de andre kryssene. Sannsynligheten for å få grønt lys i for eksempel de tre første kryssene etter hverandre (og rødt på resten) er: ,4 (1 0,4) 0, Samme sannsynlighet vil det være for grønt lys i kryss nr., 3 og 4, og så videre. I alt er det 8 muligheter for å få tre grønne lys etter hverandre (og rødt på resten). Total sannsynlighet for å få tre grønne lys etter hverandre og rødt på resten blir da: ,4 (1 0,4) 0,014. Eksamen REA306 Matematikk S1 våren 017 Side 16 av 1

17 Oppgave 3 (4 poeng) En kennel tar imot både hunder og katter. De har plass til 0 hunder og 30 katter. Hver hund krever 45 min med stell hver dag. Hver katt krever 30 min med stell hver dag. Kennelen kan høyst bruke 4 arbeidstimer per dag til stell av dyrene. La x være antall hunder og y antall katter som er i kennelen en dag. a) Sett opp ulikheter som beskriver situasjonen ovenfor. Skraver området som tilfredsstiller ulikhetene, i et koordinatsystem. Antall av både hunder og katter må være positivt eller null. Dette gir x 0 og y 0. Antall hunder må være mindre enn 0, som gir x 0. Antall katter må være mindre enn 30, som gir y 30. Maksimalt 4 arbeidstimer gir maksimalt arbeidsminutter. Da må: 45x 30y x 0 0 y 30 Skriver ulikhetene inn i inntastingsfeltet i Geogebra. Det mørkeste området på figuren nedenfor blir da det området som tilfredsstiller alle ulikhetene. De daglige utgiftene til mat er 100 kroner for en hund og 50 kroner for en katt. Kennelen tar 350 kroner per døgn for en hund og 00 kroner per døgn for en katt. b) Hvor mange hunder og hvor mange katter bør kennelen ha i opphold per døgn for å få maksimal fortjeneste? Hvor stor er fortjenesten da? Inntekten I kan skrives som: Eksamen REA306 Matematikk S1 våren 017 Side 17 av 1

18 ( ) x (00 50) y I 50x 150y I Skriver dette inn i Geogebra slik at det blir en glider av I: Linja f på figuren er linja for konstant inntekt I. Ser at inntekten er størst når antall hunder er størst mulig, dvs. at x 0. Bruker CAS til å regne ut hvor mange katter y det er når x 0 ved hjelp av linja c: 45x30y 1440, se figuren over. Inntekten er altså størst når det er 0 hunder og 18 katter. Fortjenesten blir da i kroner: I 50x 150y Eksamen REA306 Matematikk S1 våren 017 Side 18 av 1

19 Oppgave 4 (4 poeng) Funksjonen f er gitt ved 3 f x 4x ax b x 7 Grafen til f har et toppunkt i (3, 3). a) Vis at dette gir oss likningene 6ab 648 9a3b 678 f(3) a 3 b a 3b 7 3 9a 3b a3b 678 Eksamen REA306 Matematikk S1 våren 017 Side 19 av 1

20 Toppunktet betyr at f '(3) 0. Bruker CAS til å løse oppgaven. Det gir: Den siste linja er det samme som 6ab 648 b) Bruk CAS til å bestemme a og b. Se utklippet i a). Løsningen er: 4 a, b 14 3 Sjekker for sikkerhets skyld at grafen har toppunkt i (3, 3) (og ikke et bunnpunkt) ved å tegne grafen til 3 4 f x 4x x 14 x 7 3 Eksamen REA306 Matematikk S1 våren 017 Side 0 av 1

21 Sjekker ved å bruke verktøyet Ekstremalpunkt. Løsningen er altså riktig. Kilder: Oppgavetekst med grafiske framstillinger og bilder: Utdanningsdirektoratet. Eksamen REA306 Matematikk S1 våren 017 Side 1 av 1