Eksamen REA3028 S2, Høsten 2011

Transkript

1 Eksamen REA08 S, Høsten 0 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (4 poeng) a) Deriver funksjonene ) f f 4 ) g e g e 6e ) h e h e e h e 4) i ln 4 i 4 4 b) Vi har gitt rekken 470 Bestem a n og S n Rekken er aritmetisk da an a n d 4 d d a 4 n 4 n n n a an 4 n n 5n Sn n n Eksamen REA08 Matematikk S, Høst 0 Side

2 c) Løs likningen 4 når, Uttrykket på venstre side i likningen danner en geometrisk rekke med a og k. Siden a k ligger mellom og, er rekken konvergent og har sum S k. Vi får da d) Vi har gitt polynomfunksjonen f a ) Bestem a slik at divisjonen : 4 Divisjonen går opp hvis f går opp. 4 er et nullpunkt for f a 4 0 a 4 ) Utfør divisjonen, og skriv f som et produkt av førstegradsfaktorer for denne a - verdien. : Jeg faktoriserer andregradsuttrykket ved å bruke nullpunktmetoden Eksamen REA08 Matematikk S, Høst 0 Side

3 Dette viser at f 4 e) Vi har gitt rekken 79 7 Skriv opp S, S, S, S 4 og bestem S 00 S S 7 8 S S S S n 00 n f a der a 0 f) For en funksjon f har vi gitt at ) Tegn fortegnslinjen til f. Bruk denne til å bestemme -verdien til topp- og bunnpunkt på grafen til f. Bestem også hvor grafen til f stiger og synker. 0 f når 0 eller når 0 Når er negativ og er positiv og er positiv og Når Når Vi får fortegnslinjen negativ. Siden 0 negativ. Siden 0 positiv. Siden 0 a, blir f a, blir f a, blir f negativ. positiv. negativ. Fortegnslinjen viser at grafen til f har toppunkt for og bunnpunkt for Eksamen REA08 Matematikk S, Høst 0 Side

4 Grafen til f stiger når, Grafen til f synker når,, ) Bestem f f a f a f a f a. Bruk denne til å bestemme -verdien til vendepunktet. f 0 Grafen til f har vendepunkt for g) Sannsynlighetsfordelingen til en stokastisk variabel X er gitt ved 0 P X p p Bestem E og Var uttrykt ved p. n E X P X i p p 0 p i i i 0 Var X P X i p p p p p p p p p pp p p Eksamen REA08 Matematikk S, Høst 0 Side 4

5 Del Tid: timer Hjelpemidler: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave (8 poeng) For å få ungdom til å studere realfag, tenker vi oss en ny ordning for studiefinansiering. Betingelsene er som følger: Lånet er rente- og avdragsfritt i studietida. Studenten betaler bare avdrag og ikke renter når studiene er avsluttet. Studenten betaler første avdrag på kroner ett år etter at studiet er avsluttet. Deretter skal de årlige avdragene økes med 5 % hver år. En student skal låne i alt kroner. a) Hvor stort blir det. avdraget og det 8. avdraget? Det. avdraget har vokst med 5 % i forhold til det. avdraget, og det 8. med 5 % 7 ganger. Jeg regner i GeoGebra. Det. avdraget blir på kroner og det 8. avdraget blir på 07 kroner. b) Hvor mye betaler studenten tilbake i alt i løpet av de 8 første avdragene? Samlet tilbakebetaling blir summen av en geometrisk rekke med ledd n 8. Jeg regner i GeoGebra. a 5000, k,05 og antall I løpet av de 8 første avdragene betaler studenten tilbake 4 7 kroner. Eksamen REA08 Matematikk S, Høst 0 Side 5

6 c) Hvor mange år vil det ta før hele lånet er tilbakebetalt? Jeg finner ut hvor mange ledd den geometriske rekken i b) må inneholde for at summen skal bli lik Jeg regner i GeoGebra. Hele lånet er tilbakebetalt 9 år etter at studiet er avsluttet. d) Hvor stort blir det siste avdraget? Det siste avdraget er differansen mellom samlet lån og summen av de 8 første avdragene. Jeg regner i GeoGebra. Det siste avdraget er på 8 04 kroner. Oppgave (8 poeng) En modell for antall harer innenfor et lukket område er gitt ved N t 700 C e kt der t er antall år etter at tellingen begynte, og k 0. Ved to tellinger fant man ut at N og N a) Bruk resultatet av de to tellingene til å vise at C 00 og k 0, Jeg bruker GeoGebra. Eksamen REA08 Matematikk S, Høst 0 Side 6

7 Utregningene viser at C00 og at k 0, b) Finn ved regning hvor lang tid det tar før det er 650 harer i området. Jeg regner i GeoGebra. Det tar litt over 8 år før det er 650 harer i området. c) Tegn grafen til N. Hvor mange harer vil det være i området når det har gått lang tid? Jeg tegner grafen til N i GeoGebra. Grafisk ser det ut som at antall harer nærmer seg, og stabiliserer seg, på en øvre grense på 700 harer når det har gått lang tid. Dette kan vi også se av funksjonsuttrykket 0, t 00 N t e 700. Når t blir veldig 0,t e stor, vil nevneren i ledd nummer bli veldig stor, og brøken vil gå mot null. Funksjonen vil nærme sg 700 som genseverdi. Det vil være 700 harer i området når det har gått lang tid. Eksamen REA08 Matematikk S, Høst 0 Side 7

8 d) Bruk blant annet kjerneregelen til å bestemme N 5. Hva forteller svaret oss? N t 0,t 0,t ,t 0,t e 0,t 0,t N t e e N t e e N t 66e Svaret forteller oss at etter 5 år så vokser harebestanden med harer i året. Eksamen REA08 Matematikk S, Høst 0 Side 8

9 Oppgave 4 (6 poeng) I et spill kastes to vanlige terninger. Premien i spillet avgjøres av samlet sum øyne på de to terningene. Hvis summen er eller, er premien 00 kroner. Hvis summen er 9 eller 0, er premien 50 kroner. Hvis summen er 7 eller 8, er premien 5 kroner. Hvis summen er 6 eller mindre, er det ingen premie. Det koster 0 kroner å delta i ett spill. La X være nettogevinsten i ett spill, det vil si premien fratrukket 0 kroner. a) Forklar at PX 5 6 Skjemaet til høyre viser mulige utfall for summen av antall øyne ved kast ved to terninger. Vannrett gul rad viser antall øyne på terning nummer, og loddrett gul kolonne viser antall øyne på terning nummer. Skjemaet viser at av 6 utfall gir premie på 5 kroner. Fratrukket innsatsen på 0 kroner blir nettopremien 5 kroner for disse utfallene. Det betyr at PX 5 6 b) Skriv av tabellen nedenfor, og fyll ut det som mangler PX c) Vil det i lengden lønne seg å spille dette spillet? Gjør beregninger som understøtter svaret ditt. Jeg regner ut forventningsverdien til X EX , Forventningsverdien viser at i det lange løp vil nettogevinsten per spill være,6 kroner. Det vil i lengden lønne seg å spille dette spillet. Eksamen REA08 Matematikk S, Høst 0 Side 9

10 Oppgave 5 (6 poeng) Mattilsynet kontrollerer blant annet kvaliteten på matvarer. På landsbasis har det vist seg at gjennomsnittlig 5 % av pakningene av en bestemt type mat har for dårlig kvalitet. I et distrikt planlegger Mattilsynet å kontrollere 0 pakninger med denne maten. Vi ser på kontrollen som et binomisk forsøk med n 0 og p 0,5. a) Bestem sannsynligheten for at akkurat 8 av de kontrollerte pakningene har for dårlig kvalitet. Jeg bruker sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra. Jeg velger binomisk fordeling med n 0 og p 0,5. Jeg velger intervall med nedre grense og øvre grense lik 8. Sannsynligheten for at akkurat 8 pakninger har for dårlig kvalitet er 0,5 %. b) Bestem sannsynligheten for at minst 0 av pakningene har for dårlig kvalitet. Jeg velger nå høyresidig med nedre grense lik 0. Sannsynligheten for at minst 0 av pakningene har for dårlig kvalitet er 4,4 %. I kontrollen viser det seg at av de 0 pakningene ikke oppfylte kvalitetskravene. Mattilsynet vil undersøke om dette høye tallet kan skyldes tilfeldigheter, eller om det virkelig er slik at mer enn 5 % av pakningene har for dårlig kvalitet i dette distriktet. Vi lar p være sannsynligheten for at en tilfeldig utvalgt pakning har for dårlig kvalitet. Eksamen REA08 Matematikk S, Høst 0 Side 0

11 c) Bruk hypotesetesting, og vurder om kontrollen gir grunnlag for å påstå at kvaliteten på denne matvaren er dårligere i dette distriktet enn ellers i landet. Bruk et signifikansnivå på 5 %. Jeg setter opp to hypoteser. Nullhypotesen, H 0 : Kvaliteten på denne matvaren er ikke dårligere i dette distriktet enn ellers i landet. Sannsynligheten for at en pakning har for dårlig kvalitet er 5 %. Alternativ hypotese, H: Kvaliteten på denne matvaren er dårligere i dette distriktet enn ellers i landet. Sannsynligheten for at en pakning har for dårlig kvalitet er større enn 5 %. Forutsatt at nullhypotesen gjelder, viser sannsynlighetskalkulatoren at sannsynligheten er 5,57 % for at det rent tilfeldig kan være eller flere pakninger med for dårlig kvalitet i testen. Dette er større enn signifikansnivået. Det er ikke grunnlag for å hevde at kvaliteten på denne matvaren er dårligere i dette distriktet enn ellers i landet. Eksamen REA08 Matematikk S, Høst 0 Side

12 Oppgave 6 (8 poeng) Ifølge én modell vil størrelsen på Statens pensjonsfond utland ("Oljefondet") følge funksjonen gitt ved f 6 8, e 0,76 Her er antall år etter 996, og a) Hvor stort vil Oljefondet være i 0 ifølge modellen? Jeg definerer f er størrelsen på Oljefondet i milliarder kroner. f i GeoGebra. År 0 er 6 år etter 996. I 0 vil oljefondet ifølge modellen være på 96 milliarder kroner. b) Bruk kjerneregelen og regelen for derivasjon av en brøk til å vise at f f f f f 4694,6 e 8,e 0,76 0,76 0,76 0,76 6 8, e 6 8, e 0,76 8,e 0,76 0,76 08,e 6 8,e 0,76 0,76 8,e 6 0,76 8,e 0,76 8,e 4694,6 e 8,e 0,76 0,76 0,76 c) Bestem f 4. Hva forteller dette tallet oss? Jeg regner i GeoGebra. Tallet forteller at i år 000 er den årlige veksten i Oljefondet ifølge modellen på 5, milliarder kroner. Eksamen REA08 Matematikk S, Høst 0 Side

13 d) En økonom sier at oljefondet alltid vil vokse. Forklar hvordan vi ut fra den gitte modellen kan støtte denne uttalelsen. 0,76 Når vokser, vil uttrykket e bli stadig mindre, nevneren vil bli større ved 0,76 e økende verdier for, og brøken vil bli mindre. Det betyr at i uttrykket f 6 8, e 0,76, så vil nevneren avta mot når blir stadig større, og f vil alltid vokse mot en øvre grense som er 6 milliarder kroner. e) Bestem hvilket år Oljefondet har størst vekst ifølge denne modellen. Jeg tegner grafen til f og finner toppunktet grafisk. Oljefondet har sterkest vekst i det 0. året etter 996, i år 005. Eksamen REA08 Matematikk S, Høst 0 Side