Eksamen vår 2009 Løsning Del 1

Transkript

1 S Eksamen, våren 009 Løsning Eksamen vår 009 Løsning Del Oppgave a) Deriver funksjonene: ) f f f 3 3 f f 4 ) g e 3 g e g e e g e b) ) Gitt rekka 468 Finn ledd nummer 0 og summen av de 0 første leddene an a S 0 n 0 40 a a ) Gitt den uendelige rekka 4 Avgjør om rekka konvergerer. Finn eventuelt summen. : 4 : :

2 S Eksamen, våren 009 Løsning Dett viser at rekka er geometrisk. Siden k, konvergerer rekka. Summen av rekka er da S 4 k c) Vi har en spesiell terning. På tre av sidene står tallet 7, på to av sidene står tallet 5, og på den siste siden står tallet. La den stokastiske variabelen X være tallet som vises når vi kaster terningen én gang.. Sett opp en sannsynlighetsfordeling for X. P X Bestem forventningsverdi og varians for X E X Var X d) Tre venner handlet frukt. Kari kjøpte kg epler, 3 kg pærer og kg appelsiner. Hun betalte 8 kroner. Per kjøpte kg epler, kg pærer og 3 kg appelsiner. Han betalte 7 kroner. Lise kjøpte kg av hver av fruktsortene. Hun måtte betale 37 kroner. Sett opp et likningssett, og finn kiloprisen for epler, pærer og appelsiner. Setter opp tre likninger der er kilopris for eplene, y er kilopris for pærene og z er kilopris for appelsinene. 3y z 8 y 3z 7 y z 37 Løser likningen y z 37 med hensyn på 37 y z Så settes dette uttrykket inn for y i de to andre likningene.

3 S Eksamen, våren 009 Løsning z 37 y 3y z 8 37 y z y 3z 7 74 y z 3y z 8 37 y z y 3z 7 yz7 y z 34 Vi har nå et likningssett med to ukjente som vi løser. videre er som gir yz7 y 7 z 7 z z 34 3z 7 z 9 y Eplene koster kr per kg, pærene 6 kr per kg og appelsinene 9 kr per kg. e) Grafen til en polynomfunksjon f av tredje grad skjærer -aksen i, og 3 3 og y -aksen i 6 f. y. Bestem funksjonsuttrykket Opplysningene om nullpunkter gir at Skjæringspunktet med y -aksen gir Funksjonsuttrykket blir da f 3 a a 6 a 3 f f a f a f a

4 S Eksamen, våren 009 Løsning Oppgave Gitt funksjonen 3 a) Vis at f 4 4 f er delelig med Setter inn i polynomet er dermed en faktor i polynomet b) Løs likningen f 0 er en faktor i likningen, og vi foretar en polynomdivisjon : Da er Finner nullpunktene til Tredjegradslikningen blir med løsningene:

5 S Eksamen, våren 009 Løsning c) Løs likningen f 3 f 4 4 f 3 4. Gi en grafisk tolkning av resultatet f ,67 6 Når og når 0 er stigningstallet til tangenten til f lik. 6 d) Bestem -koordinaten til vendepunktet på grafen til f. f 3 4 f 6 f

6 S Eksamen, våren 009 Løsning Del Oppgave 3 Anne vil spare for å kjøpe bil. Hun setter inn kroner på en bankkonto i begynnelsen av hvert år. Renten er 6 % per år i hele spareperioden. a) Finn ut hvor mye som står på kontoen rett etter at det fjerde beløpet er satt inn. Sett opp et uttrykk for hvor mye som står på Annes konto rett etter at det n-te beløpet er satt inn. Dette blir en geometrisk rekke med kvotient, k,06 og a n k Bruker sumformelen, Sn a, for en geometrisk rekke og finner k 4,06 S ,06 Det står kroner på kontoen rett etter at det fjerde beløpet er satt inn. Uttrykk for samlet beløp på Annes konto rett etter at det n-te beløpet er satt inn blir S n, ,06 n Bilen hun vil kjøpe, koster kroner. b) Hvor lenge må Anne spare før det er kroner på kontoen? Bruker sumformelen for en geometrisk rekke og løser digitalt. n, ,06 n,8 Anne må spare i år før det er nok penger på kontoen til bilen. Anne ønsker å kunne kjøpe bilen like etter at det 0. beløpet er satt inn. c) Hvor stort beløp må hun da sette inn på kontoen i begynnelsen av hvert år? I denne oppgaven tilsvarer a beløpet hun setter på kontoen hvert år. Bruker sumformelen for geometrisk rekke og finner beløpet ved å løse likningen digitalt. 0,06 a ,06 a Anne må sette inn rett over kroner dersom hun skal ha nok penger til å kjøpe bilen rett etter at det 0. beløpet er satt inn.

7 S Eksamen, våren 009 Løsning Oppgave 4 alternativ Gitt funksjonen 5 f e D f 0,0 a) Tegn grafen til f b) Bestem f, og bruk denne til å finne eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f. Grafisk løsning. Grafen viser at den deriverte funksjonen er 0 for,5, positiv til venstre for,5 og negativ til høyre for,5. Det betyr at f har toppunkt for,5. Grafen viser koordinatene til toppunktet som.5,.5.5,0.66 f. (For å finne nullpunktet til den deriverte funksjonen må du skrive for eksempel nullpunkt[f (),0.,9.9]. Poenget er at du må ha med et intervall han skal søke i. Husk at funksjonen ikke er definert for 0 og 0.) c) Finn ved regning det punktet på grafen til f der f Ved regning: er minst.

8 S Eksamen, våren 009 Løsning f e D f e e f e e f 0, f e e e e f e e e e f e e e f e f ,6,38 f f f Det betyr at f er minst for 3,6 Det betyr at f 3,6 0,448 En bensinstasjon har åpent sju dager i uka. Funksjonen g 50 f er en modell som viser antall solgte enheter av en bestemt vare dager etter at varen blir lagt ut for salg. Salget varer i 0 dager.

9 S Eksamen, våren 009 Løsning d) Hvilken dag er salget størst, og hvilken dag øker salget mest? Salget er størst ved dag (,5). Dette er vist i oppgave b og graf. Salget øker mest ved dag (,38). Dette er vist i oppgave c og graf

10 S Eksamen, våren 009 Løsning Oppgave 4 alternativ På figuren ovenfor har vi tegnet grafen til funksjonen Punktet f 8 for 0 og et rektangel ABCD. A, f ligger på grafen til f og til venstre for B. Punktene B og C har førstekoordinat 6 og punktene C og D har andrekoordinat. Se figuren. a) Bestem lengdene av linjestykkene AB og AD uttrykt med. AB 6 8 AD f b) Vis at arealet av rektanglet kan skrives som 48 F 80 Hva er definisjonsmengden til F? F AB AD D 8 3 F 6 for F F, F 6 for F

11 S Eksamen, våren 009 Løsning c) Bestem det største arealet rektanglet kan få. 48 F F 48 F F 36 0 og F Fma 80 3 d) Undersøk om rektanglet med størst areal også har størst omkrets. O AB AD D F,6 3 8 O 6 6 O 36 6 O 6 O O 4 0 og O Oma ,7 Rektanglet med størst areal er ikke det rektanglet som har størst omkrets.

12 S Eksamen, våren 009 Løsning Oppgave 5 Trekanttall kan illustreres som antall golfballer som danner en trekantfigur. Figuren nedenfor viser de tre første trekanttallene a, a og a 3. S n er summen av de n første trekanttallene. a) Skriv opp de 6 første trekanttallene a, a, a3, a4, a5 og a 6 og de fem første summene S, S, S 3, S 4 og S5 a, a 3, a 6, a 0, a 5, a S, S 4, S3 0, S4 0, S5 35 Nedenfor er et utsnitt av Pascals trekant. Skriv av dette utsnittet i besvarelsen din, og marker der de seks første trekanttallene og de fem første summene Trekanttallene er markert med gult, og Summene er markert med rødt. nn b) Forklar at an n. Bruk dette til å vise at an Det blir lagt til en ny rad med golfballer for hver nye trekant. Raden som legges til inneholder like mange baller som nummeret på trekanten. I trekant nummer 4 blir det for eksempel 4 baller mer enn i trekant nummer 3 altså 0 baller. Det betyr at trekant nummer 4 inneholder 34 0 baller. Det betyr videre at trekant nummer n inneholder n baller. a n er altså lik summen av en aritmetisk rekke med førsteledd lik, sisteledd lik n og antall ledd lik n. Det betyr at førsteledd + sisteledd n nn an antall ledd n

13 S Eksamen, våren 009 Løsning c) Bruk digitale hjelpemidler, og finn summen av de 50 første trekanttallene. n n n n I Pascals trekant er n -te rad gitt ved binomialkoeffisientene... 0 n d) Bruk Pascals trekant og det du fant i a) til å forklare at n an og S n n 3 Siden n -te rad i Pascals trekant er gitt med binomialkoeffisientene, så angir. kolonne nummeret på raden Trekanttallene og summene nummereres fortløpende fra toppen av kolonnene. Ved å sammenlikne kolonnene med trekanttall og med binomialkoeffisienter, ser vi at formlene stemmer

14 S Eksamen, våren 009 Løsning Oppgave 6 Oppgave 6 teller omtrent som 3 delspørsmål. Ledelsen i et fylke ønsker å øke andelen seksere til eksamen. Tidligere har i gjennomsnitt 4,3 % av eksamenskarakterene vært seksere. Etter en omlegging av undervisningsmetodene viste en stikkprøve at 9 av 500 eksamensresultater var seksere. Fylkesledelsen og elevorganisasjonen var uenige i om det gode resultatet skyldtes omleggingen av undervisningsmetodene, eller om det var en tilfeldighet. Bruk dine kunnskaper i statistikk og sannsynlighetsregning, og undersøk spørsmålet nærmere. Gjør rede for hvilke metoder du bruker, og hvilke forutsetninger du legger til grunn. Vi vil sjekke om det gode eksamensresultatet skyldes ren tilfeldighet, eller om det kan skyldes en omlegging av undervisningsmetodene. Setter opp en nullhypotese H 0, som sier at vi ikke kan anta at de nye undervisningsmetodene har hatt innvirkning på antall seksere, og en alternativ hypotese H, som sier at de nye undervisningsmetodene har hatt innvirkning på antall seksere. f) H : 0 Prosentandel seksere til eksamen er p 0,043 g) H : Prosentandel seksere til eksamen er p 0,043 Antar at vi har en binomisk fordeling. Lar X være antall eksamensresultater av de 500 resultatene i stikkprøven som er seksere. Antar at X er binomisk fordelt med p 0,043 og n 500. I stikkprøven ovenfor var det 9 av 500 eksamensresultater seksere, dvs. 5,8 %. Vi skal finne ut om dette resultatet gir grunnlag til å forkaste nullhypotesen. Vi ser jo at 5,8 % er høyere enn 4,3 % som tidligere har vært prosentandelen med seksere. Er dette tilfeldig, eller kan vi med rimelig sikkerhet si at de nye undervisningsmetodene har gitt uttelling? Velger et signifikansnivå på 5 %. Det betyr at det er 5 % sannsynlighet for at vi forkaster H 0 på feil grunnlag. Brukes binomisk fordeling og finner k8500 k 500k P X 9 P X 9 0,043 0,043 0,066 k0 k Vi finner at det er 6,6 % sannsynlighet for at 9 eksamensresultater eller flere i en stikkprøve på 500 eksamensresultater vil være seksere, selv om den virkelige prosentandelen seksere ikke hadde økt. Vi satt et signifikansnivå på 5 %. Det betyr at vi IKKE forkaster nullhypotesen H 0.