Eksamen S2 høsten 2016 løsning

Transkript

1 Eksamen S høsten 016 løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene 3 a) f 5 f 3 5 b) g g c) h e e 1 1 e 1 e 1 e e e e e h Oppgave (4 poeng) Løs likningene 3 a) Eksamen REA308 Matematikk S høsten 016 Side 1

2 b) ln Oppgave 3 (7 poeng) Funksjonen f er gitt ved 3 f 6 3 a) Begrunn at divisjonen : Jeg setter inn i funksjonsuttrykket. 3 f Dette betyr at divisjonene går opp! b) Bestem nullpunktene til f. Vi utfører polynomdivisjonen : Vi finner så nullpunktene til f går opp, uten å utføre divisjonen Vi får at f 4 4. Eksamen REA308 Matematikk S høsten 016 Side

3 Nullpunktene til f er og 4. c) Bestem eventuelle topp- og bunnpunkt på grafen til f. 3 f 6 3 f 3 1 f 6 1 I eventuelle topp- og bunnpunkt er den deriverte lik null. f Jeg tar dobbeltderiverttesten. f 6 1 f negativt f positivt Grafen har toppunkt i Grafen har bunnpunkt i 3 0, 0 0, , 3 f. 4, 4 4, 0 f. d) Bestem det eventuelle vendepunktet på grafen til f. Vi løser likningen f Vi har et vendepunkt med koordinater e) Lag en skisse av grafen til f., f, 3 6 3, 16 Eksamen REA308 Matematikk S høsten 016 Side 3

4 Oppgave 4 (4 poeng) En bedrift produserer en vare. De totale kostnadene K ved produksjon av enheter kan skrives på formen Vi får vite at K a b c kostnadene er 3000 når det produseres 10 enheter kostnadene er 8000 når det produseres 0 enheter grensekostnadene ved produksjon av 10 enheter er 350 a) Forklar at dette gir oss likningssystemet 100a 10b c a 0b c ab350 K a b c a b c K a b c a b c K a10 b 350 0a b 350 b) Løs likningssystemet. 100a 10b c 3000 c a10b Det gir 400a 0b a10b a10b a b 500 b a 0a b 350 0a a a 150 a 15 b c Eksamen REA308 Matematikk S høsten 016 Side 4

5 Oppgave 5 (3 poeng) a) Bruk sumformelen for en aritmetisk rekke til å finne et uttrykk for summen 1 3 n Rekken er aritmetisk med a1 1 og an n. Da er a 1 1 an 1 n n n Sn n n. b) Vis hvordan du kan argumentere for resultatet i oppgave a) ved å bruke figuren nedenfor. Uttrykket 1 3 n svarer til summen av de røde kulene hvor det er n røde kuler, her 6, på den nederste linjen og også n linjer. Når vi legger til en grå kule på den nederste linjen og fyller på med grå kuler slik at vi får n kuler til sammen på hver linje, vil vi ha like mange grå kuler som røde kuler. Antall kuler til sammen er n n 1. Antall røde kuler blir da n n1. Eksamen REA308 Matematikk S høsten 016 Side 5

6 Oppgave 6 (4 poeng) Sannsynlighetsfordelingen for en stokastisk variabel X er gitt ved denne tabellen t r 1 0 P X t 0,1 0,3 0, p a) Forklar hvorfor p må være lik 0,4. Samlet sannsynlighet er 1. 0,1 0,3 0, p1 p1 0,6 0,4 b) Bestem r dersom E 1. E 1 r0,1 1 0,3 00, p1 r 0,1 0,3 0, ,8 0,3 0,5 r 5 0,1 0,1 c) Vi setter nå r 5. Bestem E og Var X. E 50,1 10,3 00, 0,4 Var X 0,5 0,3 0, , , , 0 0,4,5 0,3 1,6 4,4 Eksamen REA308 Matematikk S høsten 016 Side 6

7 Oppgave 7 (5 poeng) På figuren har vi tegnet grafen til en kostnadsfunksjon K (blå graf) og en inntektsfunksjon I (rød graf). Her er K de daglige kostnadene ved å produsere og selge enheter. Både kostnader og inntekter er regnet i kroner. På samme figur har vi også tegnet inn to tangenter til grafen til K. Disse er gitt ved g h , a) Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge daglig for at den skal ha et overskudd? Produksjonen må da ligge mellom 100 og 400 enheter daglig. b) Bestem grensekostnaden ved produksjon og salg av 100 enheter. Grensekostnaden her er lik stigningstallet til h, altså lik 6,5. c) Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge for at overskuddet skal bli størst mulig? Grafene til funksjonene I og g er parallelle for 50. Da er I K Overskuddet er størst når det produseres og selges 50 enheter daglig.. Eksamen REA308 Matematikk S høsten 016 Side 7

8 Oppgave 8 (4 poeng) I denne oppgaven kan du få bruk for tabellen over standard normalfordeling i vedlegg 1. Vi har to stokastiske forsøk: På en flervalgsprøve med 3 oppgaver er det tre alternative svar på hver oppgave. Bare ett svar er riktig. Ole har ikke øvd til prøven, så han krysser av et tilfeldig svar på hver oppgave. La X 1 være antall rette Ole får. En frøpakke består av 100 frø. Spireevnen er oppgitt til å være 80 %. Lise sår alle de 100 frøene. La X være antall frø som spirer. Nedenfor er det tegnet inn fire normalfordelinger. Avgjør hvilken som gir best tilnærming til X 1, og hvilken som gir best tilnærming til X. Begrunn svarene dine. 1 3 X 1 er antall suksesser i en binomisk forsøksrekke med np 3 og n p1 p 3. Her er både n p og X 1 er tilnærmet normalfordelt og. 3 3 Normalfordeling D gir beste tilnærming for X 1. og n 1 p større enn 10, X er antall suksesser i en binomisk forsøksrekke med np 1000,8 80 og np 1 p 1000,8 0, Her er både n p og n 1 p større enn 10, og X er tilnærmet normalfordelt 80 og 4 hvor 99,6 % av arealet under kurven til X ligger i området , altså i området 68 til 9. Normalfordeling A gir beste tilnærming for X. Eksamen REA308 Matematikk S høsten 016 Side 8

9 Eksamen REA308 Matematikk S høsten 016 Side 9

10 Tid: timer Hjelpemidler: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave 1 (6 poeng) En bedrift skal produsere et skap formet som en rett prisme. Skapet skal ha kvadratisk bunn, og volumet skal være 800 L. Materialet til sideflatene og toppen koster 30 kroner/m. Materialet til bunnen koster 450 kroner/m. a) Vis at de totale materialkostnadene er gitt ved 736 K 680, 0 der er lengden på sidene i bunnen, målt i meter. 0,8 Volumet er 0,8 m. Da er høyden i prismet. 0,8 K Lengden på sidene i bunnen må være positiv. Eksamen REA308 Matematikk S høsten 016 Side 10

11 b) Bruk graftegner til å tegne grafen til K. c) Bestem slik at materialkostnadene blir lavest mulig. Jeg brukte kommandoen "Ekstremalpunkt(K, 0.1, 5)" og fant punktet B på grafen som viser at materialkostnaden blir lavest med 0,81 m. Eksamen REA308 Matematikk S høsten 016 Side 11

12 Oppgave (5 poeng) Ved en trafikkstasjon er sannsynligheten p 0,5 for at en tilfeldig person består teoriprøven for førerkort. a) En dag skal 10 personer ta teoriprøven. Bestem sannsynligheten for at minst 7 av disse greier prøven. Dette er en binomisk forsøksserie b) En uke skal 100 personer ta teoriprøven. Bestem sannsynligheten for at minst 70 av disse greier prøven. Myndighetene har mistanke om at elever fra en bestemt kjøreskole jukser. Av de 100 siste elevene fra denne kjøreskolen besto 60 teoriprøven. c) Bruk hypotesetesting til å avgjøre om disse tallene støtter mistanken om juks. Bruk signifikansnivå på 5 %. Nullhypotesen: H : 0 p 0,5. Elevene jukser ikke. Den alternative hypotesen: H : 1 p 0,5. Elevene jukser. Jeg bruker sannsynlighetskalkulatoren for å finne sannsynligheten for at så mange elever rent tilfeldig kan bestå prøven. Sannsynligheten er 6,6 % for at 60 eller flere elever av 100 rent tilfeldig skal bestå prøven. Det er større enn signifikansnivået. Konklusjonen er derfor at nullhypotesen fortsatt gjelder. Det er ikke grunnlag for å tro at eleven fusker. Eksamen REA308 Matematikk S høsten 016 Side 1

13 Oppgave 3 (7 poeng) En bedrift produserer og selger en vare. Bedriften regner med at den daglige etterspørselen E p er gitt ved 341 p E p for p 4, 16 der p er prisen i kroner per enhet. a) Bestem inntekten I uttrykt ved p. I p E p p 341 p p 341p p b) Hvilken pris gir høyest inntekt? 3 Utregningen viser at en pris per enhet på 10,66 kroner gir maksimal inntekt. De daglige kostnadene ved å produsere og selge enheter er nedenfor viser kostnadene for noen -verdier. K kroner. Tabellen c) Bruk blant annet tallene i tabellen til å vise at en god modell for overskuddsfunksjonen er gitt ved 3 O p p 5,37p 341p 356 Jeg foretok regresjonsanalyse og fikk et funksjonsuttrykk for K. Eksamen REA308 Matematikk S høsten 016 Side 13

14 d) Bestem den prisen som gir størst overskudd. Hvor mange enheter må bedriften produsere da? Vi får størst overskudd med en pris på 1,6 kroner per enhet. Bedriften må da produsere 18 enheter. Eksamen REA308 Matematikk S høsten 016 Side 14

15 Oppgave 4 (6 poeng) Remine skal kjøpe leilighet. Hun må låne kroner. Banken tilbyr henne et annuitetslån med årlig rente på,40 % og en nedbetalingstid på 5 år. Det er én termin per år. Første terminbeløp skal betales ett år etter at hun får lånet. a) Bestem terminbeløpet. Remine frykter en renteøkning. Hun kan klare å betale et terminbeløp på maksimalt kroner. b) Bruk CAS til å bestemme hvor høy renten kan være dersom Remine skal klare å betjene lånet. Renten kan maksimalt være 3,4 %. Hun vurderer å betale ned lånet på kortere tid. c) Bruk CAS til å bestemme antall terminer dersom den årlige renten er,40 % og terminbeløpet er kroner. Remine får 1 terminer med terminbeløp på kr og en termin med terminbeløp litt over halvdelen av kr Eksamen REA308 Matematikk S høsten 016 Side 15

16 Eksamen REA308 Matematikk S høsten 016 Side 16

17 Kilder Oppgavetekst med grafiske framstillinger: Utdanningsdirektoratet Eksamen REA308 Matematikk S høsten 016 Side 17