Eksamen REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål

Transkript

1 Eksamen REA304 Matematikk R Nynorsk/Bokmål

2 Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del : Hjelpemidler på Del : Framgangsmåte: 5 timer: Del skal leveres inn etter timer. Del skal leveres inn senest etter 5 timer. Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Om oppgaven krever en bestemt løsningsmetode, vil også en alternativ metode kunne gi noe uttelling. Veiledning om vurderingen: Poeng i Del og Del er bare veiledende i vurderingen. Karakteren blir fastsatt etter en samlet vurdering. Det betyr at sensor vurderer i hvilken grad du viser regneferdigheter og matematisk forståelse gjennomfører logiske resonnementer ser sammenhenger i faget, er oppfinnsom og kan ta i bruk fagkunnskap i nye situasjoner kan bruke hensiktsmessige hjelpemidler vurderer om svar er rimelige forklarer framgangsmåter og begrunner svar skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske framstillinger Eksamen REA304 Matematikk R Høst/Haust 00 Side 9 av 6

3 DEL Uten hjelpemidler Oppgave (6 poeng) a) Deriver funksjonene ) f x x ln x ) gx ( ) sin x cos x b) Bestem integralene x ) dx x 3 3 dx der figuren nedenfor viser grafen til f. ) f x 0 c) Løs differensiallikningen: y y y 0 når 0 Eksamen REA304 Matematikk R Høst/Haust 00 Side 0 av 6

4 d) Gitt punktene A, 0, 3, B3,, 4 og C 5, 3, 0 ) Bestem AB og AC ) Bestem AB AC og AB AC AB AC AB AC AB AC 3) Vis at Oppgave (8 poeng) f x x Vi har funksjonen a) Bestem arealet F avgrenset av grafen til f, førsteaksen og linjen x a der a 0. Rektangelet på skissen ovenfor kan deles i to områder med arealene F og F F b) Vis at F g x x Vi skal nå se på funksjonen n, der n er et naturlig tall. Et tilsvarende rektangel som det ovenfor med funksjonen g kan også deles i to områder med arealene G og G. c) Forklar at G n a n d) Bestem G G Eksamen REA304 Matematikk R Høst/Haust 00 Side av 6

5 DEL Med hjelpemidler Oppgave 3 (4 poeng) a) En rekke er gitt ved Sn 35 n Forklar at rekken er aritmetisk, og bruk dette til å vise at Sn n b) Vi skal nå se på en annen rekke Sn n ) Finn et uttrykk for S n. Finn ved regning hvor mange ledd vi minst må ha med for at Sn,45 ) Vi lar nå antall ledd gå mot uendelig. Bestem rekkens sum dersom den finnes. c) Vi ser på en uendelig geometrisk rekke med variabel kvotient x x S x 3 9 ) Bestem konvergensområdet til rekken. Finn et uttrykk for S x. ) Løs likningene S x =4 og S x = d) Bevis formelen n n n n n 360 ved induksjon. 6 Eksamen REA304 Matematikk R Høst/Haust 00 Side av 6

6 Oppgave 4 ( poeng) Alternativ Du skal svare på enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved vurderingen. (Dersom besvarelsen din inneholder deler av begge alternativene, vil bare det du har skrevet på alternativ I, bli vurdert.) Den periodiske funksjonen f er gitt ved fx ( ) sinxsinxcos x, x 0, 4 a) Tegn grafen til f. Bestem perioden. b) Finn nullpunktene til f ved regning. c) Vis ved regning at f x x x '( ) 4 cos cos Bruk f'( x ) til å bestemme topp- og bunnpunkter på grafen til f. d) Finn f''( x ) ved regning. Bruk f''( x ) til å bestemme eventuelle vendepunkter på grafen til f i intervallet x 0, e) Bestem ved regning arealet av det flatestykket som er avgrenset av grafen til f, førsteaksen og linjene x 0 og x Eksamen REA304 Matematikk R Høst/Haust 00 Side 3 av 6

7 Alternativ Vi har tegnet grafen til f x cos x og en tangent til denne i punktet P a, f a. Skjæringspunktene mellom tangenten og koordinataksene er A og B. Se skissen til høyre. a) Vis at likningen for tangenten er y sina xasinacos a b) Bestem koordinatene til punktene A og B. Vis at arealet av OAB er sin cos cos a F OAB a a a a sina c) Forklar at arealet T av det fargelagte området på skissen til høyre kan skrives Ta F OAB d) Tegn grafen til T når a, 5 e) Bestem T min med tilhørende verdi av a. Finn ut hva som skjer med arealet av det fargelagte området når a Eksamen REA304 Matematikk R Høst/Haust 00 Side 4 av 6

8 Oppgave 5 (0 poeng) I 008 var innvandringen til Norge,4 % av folketallet y, mens utvandringen var 0,5 % av y. Dette året ble det født , mens antall døde var Vi antar at disse dataene for befolkningsendringen holder seg konstant noen år. Vi lar innbyggertallet i Norge være y t, der t er antall år etter. januar 009. Det vil si at y 0 er folketallet i begynnelsen av 009, så videre. y er folketallet i begynnelsen av 00, og a) Forklar at befolkningsendringen kan beskrives ved differensiallikningen y 0,009 y b) Bestem folketallet det året befolkningen vokser med c) Finn den generelle løsningen av differensiallikningen ved regning. d) Folketallet i Norge. januar 009 var Bestem konstanten i løsningen av differensiallikningen. e) Hvor lang tid vil det ta, ifølge modellen ovenfor, før innbyggertallet i Norge er ? Eksamen REA304 Matematikk R Høst/Haust 00 Side 5 av 6