Eksamen REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål

Transkript

1 Eksamen REA30 Matematikk R1 Nynorsk/Bokmål

2 Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del : 5 timar: Del 1 skal leverast inn etter timar. Del skal leverast inn seinast etter 5 timar. Vanlege skrivesaker, passar, linjal med centimetermål og vinkelmålar. Alle hjelpemiddel er tillatne, med unntak av Internett og andre verktøy som tillèt kommunikasjon. Framgangsmåte: Du skal svare på alle oppgåvene i Del 1 og Del. Der oppgåveteksten ikkje seier noko anna, kan du fritt velje framgangsmåte. Om oppgåva krev ein bestemt løysingsmetode, vil også ein alternativ metode kunne gi noko utteljing. Rettleiing om vurderinga: Poeng i Del 1 og Del er berre rettleiande i vurderinga. Karakteren blir fastsett etter ei samla vurdering. Det betyr at sensor vurderer i kva grad du viser rekneferdigheiter og matematisk forståing gjennomfører logiske resonnement ser samanhengar i faget, er oppfinnsam og kan ta i bruk fagkunnskap i nye situasjonar kan bruke formålstenlege hjelpemiddel vurderer om svar er rimelege forklarer framgangsmåtar og grunngir svar skriv oversiktleg og er nøyaktig med utrekningar, nemningar, tabellar og grafiske framstillingar Eksamen REA30 Matematikk R1 Vår 011 Side av 16

3 DEL 1 Utan hjelpemiddel Oppgåve 1 (18 poeng) 500 = + 8 er a) Vis at den deriverte til funksjonen ( ) O ( ) = 3 O b) Deriver funksjonane 1) f ( ) = 3ln( ) ) g( ) = 3 e c) Vi har gitt polynomfunksjonen 3 f ( ) = ) Vis at f (1) = 0. Bruk polynomdivisjon til å faktorisere f ( ) i førstegradsfaktorar. ) Løys ulikskapen f ( ) 0 d) Mengda av lava som sprutar ut per time ved eit vulkanutbrot, kan tilnærma beskrivast ved eit funksjonsuttrykk ft. () Funksjonsverdiane er målte i tonn, og t er talet på timar etter byrjinga av utbrotet. Du får vite at: f f f ( ) (0) = 300, (10) = 0 og 10 = 10 Kva kan du seie om vulkanutbrotet på grunnlag av desse opplysningane? e) Skriv så enkelt som mogleg a lg ( a b) + lg ( ab ) + lg 3 b Eksamen REA30 Matematikk R1 Vår 011 Side 3 av 16

4 f) Skriv så enkelt som mogleg g) Ei linje l har parameterframstillinga = 1+ t l : y = + t Eit punkt P ( 4, 1) ligg utanfor linja. Rekne ut avstanden frå P til linja l. h) Eit linjestykke AB har lengd 10 cm. Konstruer ein Δ ABC der C = 90 og AC = 7 cm Oppgåve (6 poeng) I ein ABC er A = 90. Ein sirkel med sentrum i S er skriven inn i trekanten. Sidene AC og BC tangerer sirkelen i punkta D og E. Linja gjennom B og S skjer DE i F. Sjå skissa til høgre. Du får oppgitt at DC = EC. Vi set ABC = v, BCA= u og BFE = a) Forklar at u+ v = 90 og at DEC = 90 u b) Forklar at v FBE = og at BEF = 90 + u c) Vis at = 45 Eksamen REA30 Matematikk R1 Vår 011 Side 4 av 16

5 DEL Med hjelpemiddel Oppgåve 3 (7 poeng) Vi har eit rett prisme der lengda av grunnflata er fire gonger så stor som breidda. Volumet er 3 00 cm. Vi set breidda lik cm. Sjå skissa. 50 a) Vis at h = b) Vis at overflata O av prismet kan skrivast ( ) = + O c) I oppgåve 1 a) i Del 1 viste du at O ( ) =. Bruk den deriverte til å finne den minste overflata O som prismet kan ha. Kva er lengda, breidda og høgda no? 3 Vi har eit anna rett prisme der lengda av grunnflata er tre gonger så stor som breidda. Volumet 3 er 00 cm. d) Finn den minste overflata som dette prismet kan ha. Eksamen REA30 Matematikk R1 Vår 011 Side 5 av 16

6 Oppgåve 4 (4 poeng) På ein skole er det 350 elevar. 150 av dei er gutar. Ei undersøking viser at 100 gutar og 180 jenter har med seg matpakke kvar dag. Éin elev blir trekt ut tilfeldig. La A og B vere dei to hendingane A: Eleven er ein gut. B: Eleven har med seg matpakke kvar dag. a) Forklar med ord kva vi meiner med PA ( B). Finn dette sannsynet. b) Finn sannsyna PB ( ) og PBA. ( ) Er dei to hendingane A og B uavhengige? Oppgåve 5 (9 poeng) Punkta A(, 1) og B( 5, 3) er gitt. a) Finn AB og rekne ut AB. Vektoren AC = 1, ] er gitt. b) Bestem koordinatane til punktet C. c) Rekne ut AC BC og kommenter svaret. Ei rett linje l går gjennom punktet P ( 3, 4) og er parallell med AC. d) Finn ei parameterframstilling for linja l. e) Finn koordinatane til punktet der l skjer y -aksen. Punktet Q( 8, 6) er gitt. Ein vektor QR har lengda 10, og R er eit punkt på linja l. f) Bestem koordinatane til R. Eksamen REA30 Matematikk R1 Vår 011 Side 6 av 16

7 Oppgåve 6 ( poeng) Du får oppgitt at ein funksjon f er definert for 0, 10. Funksjonen er kontinuerleg, men ikkje deriverbar i =, og ikkje kontinuerleg i = 5. Teikne ei skisse som viser korleis grafen til f kan sjå ut. Oppgåve 7 (6 poeng) I denne oppgåva skal vi undersøkje påstanden: Alle primtal som er større enn, kan skrivast som differansen mellom to kvadrattal. a) Skriv av og fyll ut tabellen Primtal Naturlege tal Kvadrattal Differanse p n 1 n n n n n I tabellen er p primtal, og n1 og n er naturlege tal, slik at: n1 + n = p n 1 n = 1 p+ 1 p 1 b) Vis at vi kan skrive: n1 = og n = c) Bevis at påstanden i ruta ovanfor er riktig. Eksamen REA30 Matematikk R1 Vår 011 Side 7 av 16

8 Oppgåve 8 ( 8 poeng) Matematikaren Arkimedes (ca f.kr.) studerte figuren du ser nedanfor. Det kvite området på figuren kallar vi skomakarkniven. Området er avgrensa av ein ytre halvsirkel og to indre halvsirklar. Dei to indre halvsirklane, som er fargelagde på figuren, har sentrum i D og E. Dei indre halvsirklane har radius R og r. Punkta D, C og E ligg på linjestykket AB. a) Vis at lengda av sirkelbogen AB er lik summen av lengdene av dei to sirkelbogane AC og CB. På figuren er CH AB. b) Forklar at ACH er formlik med HCB. c) Bruk dette til å vise at CH = R r d) Vis at arealet av ein sirkel med diameter CH er lik arealet av skomakarkniven. Eksamen REA30 Matematikk R1 Vår 011 Side 8 av 16

9 Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del : 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter timer. Del skal leveres inn senest etter 5 timer. Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Framgangsmåte: Du skal svare på alle oppgavene i Del 1 og Del. Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Om oppgaven krever en bestemt løsningsmetode, vil også en alternativ metode kunne gi noe uttelling. Veiledning om vurderingen: Poeng i Del 1 og Del er bare veiledende i vurderingen. Karakteren blir fastsatt etter en samlet vurdering. Det betyr at sensor vurderer i hvilken grad du viser regneferdigheter og matematisk forståelse gjennomfører logiske resonnementer ser sammenhenger i faget, er oppfinnsom og kan ta i bruk fagkunnskap i nye situasjoner kan bruke hensiktsmessige hjelpemidler vurderer om svar er rimelige forklarer framgangsmåter og begrunner svar skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske framstillinger Eksamen REA30 Matematikk R1 Vår 011 Side 9 av 16

10 DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (18 poeng) 500 = + 8 er a) Vis at den deriverte til funksjonen ( ) O ( ) = 3 O b) Deriver funksjonene 1) f ( ) = 3ln( ) ) g( ) = 3 e c) Vi har gitt polynomfunksjonen 3 f ( ) = ) Vis at f (1) = 0. Bruk polynomdivisjon til å faktorisere f ( ) i førstegradsfaktorer. ) Løs ulikheten f ( ) 0 d) Mengden av lava som spruter ut per time ved et vulkanutbrudd, kan tilnærmet beskrives ved et funksjonsuttrykk ft. () Funksjonsverdiene er målt i tonn, og t er antall timer etter begynnelsen av utbruddet. Du får vite at: f f f ( ) (0) = 300, (10) = 0 og 10 = 10 Hva kan du si om vulkanutbruddet på grunnlag av disse opplysningene? e) Skriv så enkelt som mulig a lg ( a b) + lg ( ab ) + lg 3 b Eksamen REA30 Matematikk R1 Vår 011 Side 10 av 16

11 f) Skriv så enkelt som mulig g) En linje l har parameterframstillingen = 1+ t l : y = + t Et punkt P ( 4, 1) ligger utenfor linjen. Regn ut avstanden fra P til linjen l. h) Et linjestykke AB har lengde 10 cm. Konstruer en ABC der C = 90 og AC = 7 cm Oppgave (6 poeng) I en ABC er A = 90. En sirkel med sentrum i S er innskrevet i trekanten. Sidene AC og BC tangerer sirkelen i punktene D og E. Linjen gjennom B og S skjærer DE i F. Se skissen til høyre. Du får oppgitt at DC = EC. Vi setter ABC = v, BCA= u og BFE = a) Forklar at u+ v = 90 og at DEC = 90 u b) Forklar at v FBE = og at BEF = 90 + u c) Vis at = 45 Eksamen REA30 Matematikk R1 Vår 011 Side 11 av 16

12 DEL Med hjelpemidler Oppgave 3 (7 poeng) Vi har et rett prisme der lengden av grunnflaten er fire ganger så stor som bredden. Volumet er 3 00 cm. Vi setter bredden lik cm. Se skissen. 50 a) Vis at h = b) Vis at overflaten O av prismet kan skrives ( ) = + O c) I oppgave 1 a) i Del 1 viste du at O ( ) =. Bruk den deriverte til å finne den minste overflaten O som prismet kan ha. Hva er lengden, bredden og høyden nå? 3 Vi har et annet rett prisme der lengden av grunnflaten er tre ganger så stor som bredden. 3 Volumet er 00 cm. d) Finn den minste overflaten som dette prismet kan ha. Eksamen REA30 Matematikk R1 Vår 011 Side 1 av 16

13 Oppgave 4 (4 poeng) På en skole er det 350 elever. 150 av disse er gutter. En undersøkelse viser at 100 gutter og 180 jenter har med seg matpakke hver dag. Én elev trekkes ut tilfeldig. La A og B være de to hendelsene A: Eleven er en gutt. B: Eleven har med matpakke hver dag. a) Forklar med ord hva vi mener med PA ( B). Finn denne sannsynligheten. b) Finn sannsynlighetene PB ( ) og PBA. ( ) Er de to hendelsene A og B uavhengige? Oppgave 5 (9 poeng) Punktene A(, 1) og B( 5, 3) er gitt. a) Finn AB og regn ut AB. Vektoren AC = 1, ] er gitt. b) Bestem koordinatene til punktet C. c) Regn ut AC BC og kommenter svaret. En rett linje l går gjennom punktet P ( 3, 4) og er parallell med AC. d) Finn en parameterframstilling for linjen l. e) Finn koordinatene til punktet der l skjærer y -aksen. Punktet Q( 8, 6) er gitt. En vektor QR har lengden 10, og R er et punkt på linjen l. f) Bestem koordinatene til R. Eksamen REA30 Matematikk R1 Vår 011 Side 13 av 16

14 Oppgave 6 ( poeng) Du får oppgitt at en funksjon f er definert for 0, 10. Funksjonen er kontinuerlig, men ikke deriverbar i =, og ikke kontinuerlig i = 5. Tegn en skisse som viser hvordan grafen til f kan se ut. Oppgave 7 (6 poeng) I denne oppgaven skal vi undersøke påstanden: Alle primtall som er større enn, kan skrives som differansen mellom to kvadrattall. a) Skriv av og fyll ut tabellen Primtall Naturlige tall Kvadrattall Differanse p n 1 n n n n n I tabellen er p primtall, og n1 og n er naturlige tall, slik at: n1 + n = p n 1 n = 1 p+ 1 p 1 b) Vis at vi kan skrive: n1 = og n = c) Bevis at påstanden i ruten ovenfor er riktig. Eksamen REA30 Matematikk R1 Vår 011 Side 14 av 16

15 Oppgave 8 ( 8 poeng) Matematikeren Arkimedes (ca f.kr.) studerte figuren du ser nedenfor. Det hvite området på figuren kalles skomakerkniven. Området er avgrenset av en ytre halvsirkel og to indre halvsirkler. De to indre halvsirklene, som er fargelagt på figuren, har sentrum i D og E. De indre halvsirklene har radius R og r. Punktene D, C og E ligger på linjestykket AB. a) Vis at lengden av sirkelbuen AB er lik summen av lengdene av de to sirkelbuene AC og CB. På figuren er CH AB. b) Forklar at ACH er formlik med HCB. c) Bruk dette til å vise at CH = R r d) Vis at arealet av en sirkel med diameter CH er lik arealet av skomakerkniven. Eksamen REA30 Matematikk R1 Vår 011 Side 15 av 16

16 Schweigaards gate 15 Postboks 9359 Grønland 0135 OSLO Telefon