Eksamen MAT1017 Matematikk 2T. Nynorsk/Bokmål

Transkript

1 Eksamen MAT1017 Matematikk 2T Nynorsk/Bokmål

2 Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: Framgangsmåte: 5 timar: Del 1 skal leverast inn etter 2 timar. Del 2 skal leverast inn seinast etter 5 timar. Vanlege skrivesaker, passar, linjal med centimetermål og vinkelmålar. Alle hjelpemiddel er tillatne, med unntak av Internett og andre verktøy som tillèt kommunikasjon. Du skal svare på alle oppgåvene. Der oppgåveteksten ikkje seier noko anna, kan du fritt velje framgangsmåte. Om oppgåva krev ein bestemt løysingsmetode, vil også ein alternativ metode kunne gi noko utteljing. Rettleiing om vurderinga: Poeng i Del 1 og Del 2 er berre rettleiande i vurderinga. Karakteren blir fastsett etter ei samla vurdering. Det betyr at sensor vurderer i kva grad du viser rekneferdigheiter og matematisk forståing gjennomfører logiske resonnement ser samanhengar i faget, er oppfinnsam og kan ta i bruk fagkunnskap i nye situasjonar kan bruke formålstenlege hjelpemiddel vurderer om svar er rimelege forklarer framgangsmåtar og grunngir svar skriv oversiktleg og er nøyaktig med utrekningar, nemningar, tabellar og grafiske framstillingar Eksamen MAT1017 Matematikk 2T Hausten/Høsten 2011 Side 2 av 24

3 DEL 1 Utan hjelpemiddel På Del 1 av eksamen kan du få bruk for formlane nedanfor. Binomisk fordeling: ( = ) n k PX k = p (1 p k ) n k Talet på uavhengige forsøk er n. X er talet på gonger A inntreffer. P A p i kvart forsøk. ( ) = Hypergeometrisk fordeling: m n m k r k PX ( = k ) = n r m element i D. n m element i D. r element blir trekte tilfeldig. X er talet på element som blir trekte frå D. Eksamen MAT1017 Matematikk 2T Hausten/Høsten 2011 Side 3 av 24

4 Oppgåve 1 (13 poeng) a) I ei gruppe er det sju elevar. Tre av elevane skal vere med i ei undersøking. På kor mange måtar kan dei tre elevane veljast ut? b) A, B og C er tre punkt i eit koordinatsystem. Dei tre punkta dannar ein trekant. Kva for eit av dei tre symbola eller eller skal stå i kvar av dei to boksane som er merkte 1) og 2) nedanfor? Grunngi svara dine. AB = [ 4,3] AB + AC = BC ) 2) AB = 5 AB AC =0 c) Lise har fire rosa og tre brune krus. Ho tek tilfeldig fire krus. Finn sannsynet for at ho tek to rosa krus og to brune krus. Kjelde: ( ) Eksamen MAT1017 Matematikk 2T Hausten/Høsten 2011 Side 4 av 24

5 d) Du får vite følgjande om to hendingar, A og B: P( A ) = 3 8 P( B ) = 4 5 P( A B ) = ) Er A og B uavhengige hendingar? 2) Finn P( B A ). e) Per har ein mynt som er raud på den eine sida og blå på den andre sida. Han kastar mynten fem gonger. Finn sannsynet for at mynten landar med blå side opp akkurat tre av gongene. Eksamen MAT1017 Matematikk 2T Hausten/Høsten 2011 Side 5 av 24

6 Oppgåve 2 (6 poeng) Tabellen nedanfor viser kor mange minutt elevane ved ein vidaregåande skole i gjennomsnitt brukte på Internett per døgn i perioden År Minutt a) Framstill datamaterialet frå tabellen ovanfor i eit koordinatsystem der x - aksen viser talet på år etter 2005, og y - aksen viser talet på minutt. b) Foreslå ein lineær modell som kan brukast for å beskrive utviklinga. c) 1) Kor mange minutt brukte ein elev ved skolen på Internett per døgn i 2005 ifølgje modellen du fann i b)? 2) Når vil ein elev ved skolen i gjennomsnitt bruke over tre timar på Internett per døgn ifølgje modellen du fann i b)? Oppgåve 3 (5 poeng) Punkta ( 1, 1), (4, 2) og (1, 4) er hjørne i ein trekant. a) Vis ved rekning at trekanten er likebeint og rettvinkla. Dei tre punkta ovanfor er også hjørne i eit parallellogram. b) Kva koordinat kan det siste hjørnet i parallellogrammet ha? Grunngi svaret ditt. Eksamen MAT1017 Matematikk 2T Hausten/Høsten 2011 Side 6 av 24

7 DEL 2 Med hjelpemiddel Oppgåve 4 (6 poeng) I 2009 gjennomførte TNS Gallup ei undersøking på oppdrag frå Kunnskapsdepartementet. Undersøkinga viste at 16 % av elevane som gjekk siste året på vidaregåande skole, kunne tenkje seg å bli lærarar. Kjelde: pressesenter/pressemeldinger/2009.html ( ) Tenk deg at prosentdelen er like stor i dag. Vi vel tilfeldig 20 elevar som går siste året på vidaregåande skole. a) Kva er sannsynet for at ingen av elevane kan tenkje seg å bli lærarar? b) Kva er sannsynet for at akkurat to av elevane kan tenkje seg å bli lærarar? c) Kva er sannsynet for at minst fire av elevane kan tenkje seg å bli lærarar? Eksamen MAT1017 Matematikk 2T Hausten/Høsten 2011 Side 7 av 24

8 Oppgåve 5 (6 poeng) Den årlege rapporten frå Helsedirektoratet, Nøkkeltall for helsesektoren, som blei lagd fram i februar 2011, viser ifølgje dagbladet.no at 16-åringar i Noreg er late! Kjelde: nyheter/arbeidsliv/utdanning/livsstil/politikk/ / ( ) Tenk deg at 51,4 % av 16-åringane i Noreg er gutar. a) Kor stor prosentdel av 16-åringane her i landet oppfyller ikkje det tilrådde nivået med ein time fysisk aktivitet om dagen? b) Kor stor prosentdel av 16-åringane som oppfyller det tilrådde nivået, er jenter? Ved ein skole er det 244 jenter. 12 av jentene oppfyller det tilrådde nivået med ein time fysisk aktivitet om dagen. Vi trekkjer tilfeldig 10 jenter. c) Kva er sannsynet for at akkurat to av desse jentene oppfyller det tilrådde nivået med ein time fysisk aktivitet om dagen? Eksamen MAT1017 Matematikk 2T Hausten/Høsten 2011 Side 8 av 24

9 Oppgåve 6 (8 poeng) Haile Gebrselassie frå Etiopia har vore ein av dei beste langdistanseløparane i verda. I tabellen nedanfor ser du dei beste tidene hans på nokre distansar. Distanse x (i meter) Tid T (i minutt) ,550 7,417 12,656 27,033 41,633 44,400 71, ,988 Kjelde: comeback-haile-gebrselassie-postponed ( ) Kjelde: ( ) a) Bruk regresjon til å vise at ( ) T x = 1, x 1,07 er ein modell for tida T som funksjon av distansen x for resultata til Gebrselassie. b) Teikn grafen til T. c) Kor lang tid vil Gebrselassie bruke på ein halvmaraton (21097,5 m) ifølgje modellen i a)? Pete Riegel har laga ein modell som viser samanhengen mellom tida T 1 ein løpar bruker på ein distanse D 1, og tida T2 løparen bruker på ein distanse D 2. Modellen ser slik ut: T T D = D ,06 Kjelde: ( ) d) Ta utgangspunkt i tida Gebrselassie bruker på m, og rekn ut kor lang tid han vil bruke på ein halvmaraton ifølgje Riegels modell. Korleis passar dette svaret med modellen du fann i a)? Eksamen MAT1017 Matematikk 2T Hausten/Høsten 2011 Side 9 av 24

10 Oppgåve 7 (8 poeng) Figuren ovanfor viser eit parallellogram ABCD. Vi set AB = a og AD = b. a) Uttrykk BD og AC ved hjelp av a og b. b) Vis at AC BD = b b a a E er midtpunktet på AC. c) Uttrykk BE ved hjelp av a og b, og vis at E også er midtpunkt på BD. Ein rombe er eit parallellogram der alle sidene er like lange. Ei kjend setning frå geometrien seier at eit parallellogram er ein rombe dersom og berre dersom diagonalane står vinkelrett på kvarandre. d) Bruk resultatet frå b) til å vise dette. Eksamen MAT1017 Matematikk 2T Hausten/Høsten 2011 Side 10 av 24

11 Oppgåve 8 (8 poeng) To båtar A og B køyrer med konstant fart. Posisjonen ( km, km) x y til båt A etter t timar er gitt ved l A : x = 7,2t y = 9,6t Posisjonen ( km, km) x y til båt B etter t timar er gitt ved l B : x = 15t y = 0,3 a) Teikn kursane l A og l B til kvar av båtane i eitt koordinatsystem. Merk av kvar kvar av båtane starta, og kvar dei er etter ein time. b) Finn farten til kvar av båtane. c) Vis at båtane ikkje vil kollidere. d) Når er båtane nærmast kvarandre? Kor langt frå kvarandre er båtane da? Eksamen MAT1017 Matematikk 2T Hausten/Høsten 2011 Side 11 av 24

12 Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: Framgangsmåte: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter 2 timer. Del 2 skal leveres inn senest etter 5 timer. Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Du skal svare på alle oppgavene. Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Om oppgaven krever en bestemt løsningsmetode, vil også en alternativ metode kunne gi noe uttelling. Veiledning om vurderingen: Poeng i Del 1 og Del 2 er bare veiledende i vurderingen. Karakteren blir fastsatt etter en samlet vurdering. Det betyr at sensor vurderer i hvilken grad du viser regneferdigheter og matematisk forståelse gjennomfører logiske resonnementer ser sammenhenger i faget, er oppfinnsom og kan ta i bruk fagkunnskap i nye situasjoner kan bruke hensiktsmessige hjelpemidler vurderer om svar er rimelige forklarer framgangsmåter og begrunner svar skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske framstillinger Eksamen MAT1017 Matematikk 2T Hausten/Høsten 2011 Side 12 av 24

13 DEL 1 Uten hjelpemidler På Del 1 av eksamen kan du få bruk for formlene nedenfor. Binomisk fordeling: ( = ) n k PX k = p (1 p k ) n k Antall uavhengige forsøk er n. X er antall ganger A inntreffer. P A p i hvert forsøk. ( ) = Hypergeometrisk fordeling: m n m k r k PX ( = k ) = n r m elementer i D. n m elementer i D. r elementer trekkes tilfeldig. X er antall elementer som trekkes fra D. Eksamen MAT1017 Matematikk 2T Hausten/Høsten 2011 Side 13 av 24

14 Oppgave 1 (13 poeng) a) I en gruppe er det sju elever. Tre av elevene skal være med i en undersøkelse. På hvor mange måter kan de tre elevene velges ut? b) A, B og C er tre punkter i et koordinatsystem. De tre punktene danner en trekant. Hvilket av de tre symbolene eller eller skal stå i hver av de to boksene merket 1) og 2) nedenfor? Begrunn svarene dine. AB = [ 4,3] AB + AC = BC ) 2) AB = 5 AB AC =0 c) Lise har fire rosa og tre brune krus. Hun tar tilfeldig fire krus. Finn sannsynligheten for at hun tar to rosa krus og to brune krus. Kilde: ( ) Eksamen MAT1017 Matematikk 2T Hausten/Høsten 2011 Side 14 av 24

15 d) Du får vite følgende om to hendinger, A og B: P( A ) = 3 8 P( B ) = 4 5 P( A B ) = ) Er A og B uavhengige hendinger? 2) Finn P( B A ). e) Per har en mynt som er rød på den ene siden og blå på den andre siden. Han kaster mynten fem ganger. Finn sannsynligheten for at mynten lander med blå side opp akkurat tre av gangene. Eksamen MAT1017 Matematikk 2T Hausten/Høsten 2011 Side 15 av 24

16 Oppgave 2 (6 poeng) Tabellen nedenfor viser hvor mange minutter elevene ved en videregående skole i gjennomsnitt brukte på Internett per døgn i perioden År Minutter a) Framstill datamaterialet fra tabellen ovenfor i et koordinatsystem der x - aksen viser antall år etter 2005, og y - aksen viser antall minutter. b) Foreslå en lineær modell som kan brukes for å beskrive utviklingen. c) 1) Hvor mange minutter brukte en elev ved skolen på Internett per døgn i 2005 ifølge modellen du fant i b)? 2) Når vil en elev ved skolen i gjennomsnitt bruke over tre timer på Internett per døgn ifølge modellen du fant i b)? Oppgave 3 (5 poeng) Punktene ( 1, 1), (4, 2) og (1, 4) er hjørner i en trekant. a) Vis ved regning at trekanten er likebeint og rettvinklet. De tre punktene ovenfor er også hjørner i et parallellogram. b) Hvilke koordinater kan det siste hjørnet i parallellogrammet ha? Begrunn svaret ditt. Eksamen MAT1017 Matematikk 2T Hausten/Høsten 2011 Side 16 av 24

17 DEL 2 Med hjelpemidler Oppgave 4 (6 poeng) I 2009 gjennomførte TNS Gallup en undersøkelse på oppdrag fra Kunnskapsdepartementet. Undersøkelsen viste at 16 % av elevene som gikk siste året på videregående skole, kunne tenke seg å bli lærere. Kilde: pressesenter/pressemeldinger/2009.html ( ) Anta at andelen er like stor i dag. Vi velger tilfeldig 20 elever som går siste året på videregående skole. a) Hva er sannsynligheten for at ingen av elevene kan tenke seg å bli lærere? b) Hva er sannsynligheten for at akkurat to av elevene kan tenke seg å bli lærere? c) Hva er sannsynligheten for at minst fire av elevene kan tenke seg å bli lærere? Eksamen MAT1017 Matematikk 2T Hausten/Høsten 2011 Side 17 av 24

18 Oppgave 5 (6 poeng) Helsedirektoratets årlige rapport Nøkkeltall for helsesektoren som ble lagt fram i februar 2011, viser ifølge dagbladet.no at 16-åringer i Norge er late! Kilde: nyheter/arbeidsliv/utdanning/livsstil/politikk/ / ( ) Anta at 51,4 % av 16-åringene i Norge er gutter. a) Hvor stor andel av 16-åringene her i landet oppfyller ikke det anbefalte nivået med en time fysisk aktivitet om dagen? b) Hvor stor andel av 16-åringene som oppfyller det anbefalte nivået, er jenter? Ved en skole er det 244 jenter. 12 av jentene oppfyller det anbefalte nivået med en time fysisk aktivitet om dagen. Vi trekker tilfeldig 10 jenter. c) Hva er sannsynligheten for at akkurat to av disse oppfyller det anbefalte nivået med en time fysisk aktivitet om dagen? Eksamen MAT1017 Matematikk 2T Hausten/Høsten 2011 Side 18 av 24

19 Oppgave 6 (8 poeng) Haile Gebrselassie fra Etiopia har vært en av verdens beste langdistanseløpere. I tabellen nedenfor ser du hans beste tider på noen distanser. Distanse x (i meter) Tid T (i minutter) ,550 7,417 12,656 27,033 41,633 44,400 71, ,988 Kilde: comeback-haile-gebrselassie-postponed ( ) Kilde: ( ) a) Bruk regresjon til å vise at ( ) T x = 1, x 1,07 er en modell for tiden T som funksjon av distansen x for Gebrselassies resultater. b) Tegn grafen til T. c) Hvor lang tid vil Gebrselassie bruke på en halvmaraton (21097,5 m) ifølge modellen i a)? Pete Riegel har laget en modell som viser sammenhengen mellom tiden T 1 en løper bruker på en distanse D 1, og tiden T2 løperen bruker på en distanse D 2. Modellen ser slik ut: T T D = D ,06 d) Ta utgangspunkt i tiden Gebrselassie bruker på m, og regn ut hvor lang tid han vil bruke på en halvmaraton ifølge Riegels modell. Hvordan passer dette svaret med modellen du fant i a)? Kilde: ( ) Eksamen MAT1017 Matematikk 2T Hausten/Høsten 2011 Side 19 av 24

20 Oppgave 7 (8 poeng) Figuren ovenfor viser et parallellogram ABCD. Vi setter AB = a og AD = b. a) Uttrykk BD og AC ved hjelp av a og b. b) Vis at AC BD = b b a a E er midtpunktet på AC. c) Uttrykk BE ved hjelp av a og b, og vis at E også er midtpunkt på BD. En rombe er et parallellogram der alle sidene er like lange. En kjent setning fra geometrien sier at et parallellogram er en rombe hvis og bare hvis diagonalene står vinkelrett på hverandre. d) Bruk resultatet fra b) til å vise dette. Eksamen MAT1017 Matematikk 2T Hausten/Høsten 2011 Side 20 av 24

21 Oppgave 8 (8 poeng) To båter A og B kjører med konstant fart. Posisjonen ( km km) x,y til båt A etter t timer er gitt ved l A : x = 7,2t y = 9,6t Posisjonen ( km km) x,y til båt B etter t timer er gitt ved l B : x = 15t y = 0,3 a) Tegn kursene l A og l B til hver av båtene i ett koordinatsystem. Merk av hvor hver av båtene startet, og hvor de befinner seg etter en time. b) Finn farten til hver av båtene. c) Vis at båtene ikke vil kollidere. d) Når er båtene nærmest hverandre? Hvor langt fra hverandre er båtene da? Eksamen MAT1017 Matematikk 2T Hausten/Høsten 2011 Side 21 av 24

22 Blank side. Eksamen MAT1017 Matematikk 2T Hausten/Høsten 2011 Side 22 av 24

23 Blank side. Eksamen MAT1017 Matematikk 2T Hausten/Høsten 2011 Side 23 av 24

24 Schweigaards gate 15 Postboks 9359 Grønland 0135 OSLO Telefon