Eksamen S2 høsten 2010 Løsning

Transkript

1 Eksamen S høsten 010 Løsning Del 1 Oppgave 1 (4 poeng) a) Deriver funksjonene f x x 3x 4 1) f x x x f x x f x x x g x 6x e ) x x 6x e x x 6 6 x 6 1 g x g x e x e g x e x P x x 6x 8x 4 b) Vi har gitt funksjonen 3 1) Vis at P3 0(1 poeng) P P P ) Bruk polynomdivisjon til å faktorisere P i førstegradsfaktorer. P3 0 viser at 3 3 x 6x x er faktor i polynomet. 3 x 6x 8x 4 : x 3 x 8 8x 4 0 8x 4 1

2 Dette medfører at P x x x x P x x x P x x x 3 P x x x x 3) Forkort brøken 3 x 6x 8x4 x 8 Vi kan bruke resultatene fra oppgaven ovenfor 3 x 6x 8x 4 x 8 x3 x 8 x 8 x 3 c) Formelen for overflaten av en kule er O 4r. Vi øker radien r med 10 %. Hvor mange prosent øker overflaten til kulen da? Vekstfaktoren for radien er 1,1 som gir ny radius 1,1 r. Det gir ny overflate lik 4 1,1r 4 1,1 r 1,1 4r Dette viser at overflaten har økt med 1 %. d) En gummiball slippes fra en høyde på 10 m. Hver gang ballen treffer bakken, spretter den rett opp 3 av den forrige høyden. Hva er den totale lengden ballen har tilbakelagt (ned og opp) fra den slippes, til den faller til ro? Alle nedturene for ballen danner en konvergent geometrisk rekke med a1 10 m og k Total lengde for nedturene blir 30 m Alle oppturene for ballen danner en konvergent geometrisk rekke med a1 10 m og k Total lengde for oppturene blir 3 0 m Den totale lengden ballen har tilbakelagt er 30 m0 m 50 m

3 e) Vi har rekken ) Hva slags rekke er dette? Bestem et uttrykk for det n-te leddet a n. Dette er en aritmetisk rekke med a1 1 og d. Da blir an a1 n1 d 1 n1 1n n 1 ) Bestem et uttrykk for summen S n av de n første leddene. Regn ut S 100. Bruker summeformelen for en aritmetisk rekke. n a a n n Sn n n n n S f) Gitt sannsynlighetsfordelingen: 1) Finn forventingsverdien E X. 1 0,1 0, 3 0,3 4 0,4 0,1 0,4 0,9 1,6 E X 3,0 x ) Bestem variansen Var X. P X x 0,1 0, 0,3 0,4 Var X 1 3,0 0,1 3,0 0, 33,0 0,3 4 3,0 0,4 0,4 0, 0,4 1,0 3

4 g) Løs likningssystemet (3 poeng) x y 3z 10 x y z 6 x 3y z 13 x y 3z 10 x y z 6 x 3y z 13 z 6 x y x y 3 6 x y 10 x 3y 6 x y 13 xy 8 0 x y 1 0 x y 1 y 1 y 8 0 3y 9 0 y 3 x 31 z 6 x y

5 Del Oppgave (8 poeng) Et ungt par skal kjøpe seg leilighet. Den koster kroner. De må låne hele beløpet. Paret får tilbud om et annuitetslån til en rente på 4 % per år. De må betale 0 like store årlige beløp. Det første beløpet skal betales ett år etter at lånet er innvilget. a) Finn ved regning hvor stort det årlige beløpet blir? Løsning Vi kaller det årlige terminbeløpet for x. For å sammenlikne verdien av terminbeløpene med verdien av lånebeløpet, omregner vi alle terminbeløpene til verdien de ville hatt da lånet ble tatt opp. x 1 Nåverdiene til terminbeløpene danner en geometrisk rekke med a1, k og n 0. 1,04 1,04 k 1 Summen av denne rekken finner vi med formelen Sn a1 k 1. Summen må være lik lånets verdi. a 1 n k 0 n k x 1, , ,04 5

6 Vi får en likning med en ukjent. Bruker CAS for å løse likningen. Terminbeløpene (de årlige beløpene) blir altså på kroner. Dette synes paret blir for dyrt. De kan maksimalt betjene et lån som har en fast årlig innbetaling på kroner. b) Bestem ved regning hvor mange like store årlige beløp de da må betale Nå er terminbeløpet kjent, men antall terminer (år) er ukjent. Situasjonen er ellers lik som i a). Løser også nå likningen i CAS. Dette viser at paret minst må betale 4 like store årlige beløp. Beløpene blir da litt mindre enn kroner. 6

7 Paret synes at denne nedbetalingen tar for lang tid. De ønsker seg 0 årlige innbetalinger, og ser seg derfor om etter et bedre rentetilbud. c) Hva må renten per år være for at de årlige beløpene ikke skal overstige kroner? Forskjellen på situasjonen nå og i a), er at nå er terminbeløpet kjent, mens vekstfaktoren er ukjent. Løser også nå likningen i CAS. Vekstfaktor lik 1,09 gir en rente på,9 %. Renten per år må ikke overstige,9 % for å holde de årlige terminbeløpene under kroner. Paret finner ikke et så godt rentetilbud som de trenger. De bestemmer seg derfor for å spare først og så låne restbeløpet, som skal nedbetales med 0 årlige innbetalinger på kroner hver. De forutsetter at en leilighet fremdeles koster kroner, og at lånerenten er 4 %. d) Hvor stort beløp må stå på sparekontoen når paret låner restbeløpet? Summen av beløpet på sparekontoen, x, og nåverdien av de 0 årlige innbetalinger på lånet må til sammen utgjøre kroner. Det gir følgende likning som løses i CAS. Det må stå kroner på sparekontoen. 7

8 Oppgave 3 (10 poeng) En type tabletter inneholder 75 mg av et visst stoff. Når en pasient har dette stoffet i kroppen, vil mengden av stoffet bli halvert i løpet av hver sjette time. a) En pasient tar bare en, 1, slik tablett. Hvor mange milligram av dette stoffet vil pasienten ha igjen i kroppen etter 36 timer? Etter 36 timer er mengden av stoffet halvert 6 ganger. 1 Restmengden er 75 mg 1,17 mg 6 b) En annen pasient får en slik tablett hver tolvte time. 1) Forklar at antall milligram av stoffet som er i pasienten etter 7 timer, like etter at den sjette tabletten er tatt, er ,5 750,5 750,5 750,5 75 0,5 Etter 7 timer har pasienten i kroppen 75 mg fra den tabletten han nettopp har tatt pluss restene fra de tablettene han har tatt tidligere. Etter 1 timer halveres stoffmengden ganger, slik at restene fra den tabletten han tok for 1 timer siden er 750,50,575 0,5 mg. Tabletten han tok for 4 timer siden gir en rest på Tabletten han tok for 36 timer siden gir en rest på Tabletten han tok for 48 timer siden gir en rest på Tabletten han tok for 60 timer siden gir en rest på 75 0, , , ,5. (Vi må tolke oppgaven slik at pasienten tok sin første tablett etter 1 timer) 8

9 ) Bruk en sumformel og finn summen av denne rekken. Rekken er geometrisk og har summen CAS gir 6 0,5 1 S6 75 0,5 1 Pasienten har en samlet mengde på nesten 100 mg i kroppen. 3) Hvor mange milligram av stoffet vil samles i kroppen i det lange løp når pasienten får en tablett hver tolvte time? Vi tenker oss da at pasienten har tatt en tablett hver tolvte time i uendelig lang tid. Vi fortsetter da resonnementet fra oppgave b1, og samlet mengde blir summen av den uendelige konvergente geometriske rekken med a1 75 og k 0,5. CAS gir Det vil totalt samles 100 mg i kroppen. En bestemt pasient bør ikke ha en samlet mengde på mer enn 80 mg av dette stoffet i kroppen. c) Finn ved regning hvor mange milligram av stoffet hver tablett kan inneholde dersom denne pasienten skal ta en tablett i døgnet over lang tid. Samlet mengde i kroppen blir nå summen av en uendelige konvergent geometrisk rekke med a 1 som ukjent, med hånd k 0,5 1 4 og med sum lik 80 mg. Vi kan løse likningen vi får for 9

10 x x 16x x eller i CAS Hver tablett kan inneholde 75 mg. Oppgave 4 (8 poeng) Alternativ 1 Vi har gitt funksjonen x f x x 1 e, x 3, a) Bestem ved regning koordinatene til skjæringspunktene mellom koordinataksene og grafen til f. Utregninger i CAS i GeoGebra, vist til høyre, viser at grafen har 1) ett skjæringspunkt med førsteaksen, 1,0 ) ett skjæringspunkt med andreaksen, 0, 1 10

11 b) Finn ved regning koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f. Utregninger i CAS i GeoGebra, vist til høyre, viser at grafen har ett bunnpunkt, 0, 1 Grafen har ikke toppunkter. c) Bestem ved regning koordinatene til punktet der grafen til f synker raskest. Grafen synker raskest der hvor den deriverte funksjonen har et bunnpunkt. Da er den dobbeltderiverte funksjonen lik null og den dobbeltderiverte funksjonen er negativ til venstre for nullpunktet og positiv til høyre for nullpunktet. Utregninger i CAS i Geogebra, vist til høyre, viser at grafen til f synker raskest i punktet 1, f 1 1, 0,74 11

12 d) Tegn grafen til f. Bruk et digitalt hjelpemiddel og bestem arealet av området som er avgrenset av førsteaksen, grafen til f og linjene x 1 og x. Det aktuelle arealet finnes som det bestemte integralet til funksjonen fra x 1 til x Geogebra Arealet f x dx Integral f,1,,7 1 1

13 Alternativ Ledelsen i et idrettslag planlegger en ukentlig trim året igjennom. De regner med at antall deltakere vil følge modellen x x D x e 80 e Her er 0,35 0,09 Dx antall deltakere per uke x uker etter den første trimuka. Det vil si at D 0 er antall D 1 er antall deltakere den andre uka, og så videre. deltakere den første uka, a) Tegn grafen til D. Hvor mange deltakere regner de med at det er den andre og den tiende uka? Grafen viser at det regnes med 13 deltakere den andre uken og 151 deltakere den tiende uken. b) Bestem når det ifølge modellen er 137 deltakere. Bruk uttrykket Dx til å forklare hva antall deltakere vil stabilisere seg på hvis modellen gjelder i lang tid. Grafen viser at det etter denne modellen er 137 deltakere den tredje uken og den attende uken. 0,35x 0,09 x Når x blir veldig stor, vil e og e nærme seg null. Det betyr at 0,35 0, x 80 D x e e x vil nærme seg 10. Antall deltakere vil altså stabilisere seg 10 hvis modellen gjelder over lang tid. 13

14 c) Bestem ved regning i hvilken uke man kan regne med flest deltakere. Utregningene ovenfor i CAS viser at etter denne modellen vil antall deltakere øke for x > 6, den deriverte funksjonen er positiv, og antall deltakere vil synke for x > 6, den deriverte funksjonen er negativ. Det betyr at man etter denne modellen kan regne med flest deltakere når x = 6, det vil si uke 7. d) Hvor mange vil ha deltatt på trimmen i løpet av de 0 første ukene? I GeoGebra: 14

15 Utregninger i CAS viser at 837 personer etter modellen vil delta på trimmen i løpet av de første 0 ukene. En tilnærmet verdi for antall deltakere kan vi også finne som arealet under grafen, det bestemte integralet til funksjonen, fra x 0 til x 0. Her finner vi et litt høyere antall, 857. Oppgave 5 (10 poeng) Tallet på kunder i en butikk varierer fra uke til uke. I gjennomsnitt har butikken besøk av 1000 personer per uke. Besøkstallet per uke er normalfordelt med et standardavvik på 140 personer. a) Finn sannsynligheten for at flere enn 100 personer besøker butikken i løpet av en tilfeldig valgt uke. Arealet under normalfordelingsfunksjonen viser at sannsynligheten for at flere enn 100 personer besøker butikken i løpet av en tilfeldig valgt uke er 7,7 %. b) Finn sannsynligheten for at besøkstallet er mellom 900 og personer. Arealet under normalfordelingsfunksjonen viser at sannsynligheten for at besøkstallet er mellom 900 og personer er 5,5 %. I denne butikken regner man med at 70 % av dem som kommer innom, kjøper noe 15

16 c) I løpet av en bestemt halvtime kommer 1 personer innom butikken. Bruk binomisk fordeling og finn ved regning sannsynligheten for at 1) akkurat 9 personer av disse kjøper noe Fra GeoGebra 4% ) minst 9 personer av disse kjøper noe Fra GeoGebra 49,3% Butikken gjennomførte en reklamekampanje. Etter kampanjen viste en telling at 47 av 60 besøkende som kom innom butikken, kjøpte noe. d) Bruk hypotesetesting og vurder om reklamekampanjen har ført til økt salg. La signifikansnivået være 5 %. Nullhypotesen Alternativ hypotese H 0 : Reklamekampanjen har ikke ført til økt salg. 70 % av de besøkende kjøper noe. p 0,7 H 1 : Reklamekampanjen har ført til økt salg. Mer enn70 % av de besøkende kjøper noe. p 0,7 16

17 7 % av 60 besøkende svarer til 4 personer. I testen var det altså klart flere enn 7 % av de besøkende som kjøpte noe. Men kan dette ha vært tilfeldig? Vi antar binomisk sannsynlighetsfordeling, og finner sannsynligheten for at det skal være 47 eller flere personer i et utvalg på 60 som kjøper noe når vi antar at det totalt sett er 70 % av de besøkende kjøper noe. Dette kalles for testens p-verdi. I Excel finner vi P-verdien = 1-BINOM.FORDELING(46;60;0,7;SANN) = 10 %. P-verdien er klart høyere enn signifikansnivået. Vi har derfor ikke grunnlag for å forlate nullhypotesen til fordel for den alternative hypotese. Vi kan med andre ord ikke si at reklamekampanjen har ført til økt salg. 17