Eksamen REA3026 S1, Våren 2013

Transkript

1 Eksamen REA306 S1, Våren 013 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Løs likningene a) lg x 3 5 lg x 3 5 lg x lg x lg x 1 x 10 b) x x 1 x x1 x x1 0 x 4 4 x x Oppgave ( poeng) Løs likningssystemet ved regning y6 x y 4 3x y 6 x y 6 x 3x 4 y 4 3x y 3x x x 5 x x 5 y x y x x 3x 10 0 Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 013 Side 1

2 Oppgave 3 (4 poeng) Skriv så enkelt som mulig a) 3 0 a b a a b a a b a b a b a b a 4 1 a b a b 3 b) lgab lg lgab 3 a b a b a b lg lg lg lg lg lga lgb lga lgb lga lgb 3 lga lgb 3lga lgb lga lgb 6lgb Oppgave 4 (3 poeng) Funksjonen f er gitt ved f x 3x 1 x 3 a) Lag en skisse av grafen til f. b) Bestem gjennomsnittlig veksthastighet for funksjonen fra x 4 til x f7 f Gjennomsnittlig veksthastighet Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 013 Side

3 Oppgave 5 (8 poeng) a) Skriv opp de ni første radene av Pascals talltrekant b) Bruk Pascals talltrekant til å bestemme binomialkoeffisientene,, og , 3, 10 og I oppgavene nedenfor kan du få bruk for denne formelen: Hypergeometrisk fordeling: P X k m n m k r k n r m elementer i D. n m elementer i D. r elementer trekkes tilfeldig. X er antall elementer som trekkes fra D. Fra en gruppe med 3 gutter og 5 jenter skal det velges en komité på 3 elever ved loddtrekning. c) Bestem sannsynligheten for at det blir 1 gutt og jenter i komiteen. Vi har en hypergeometrisk situasjon. La X være antall gutter P X Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 013 Side 3

4 Fra en gruppe med 8 elever skal det velges en komité. Du får vite at komiteen kan settes sammen på 8 ulike måter. d) Hvor mange elever kan det være i komiteen? Nevneren i formelen P X k 8 elever fra n elever. Vi må altså ha at 8. r m n m k r k forteller hvor mange mulige måter vi kan trekke r n r Fra Pascals talltrekant ser vi at da må vi vi ha at r eller r 6. Det kan være enten elever eller 6 elever i komiteen. Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 013 Side 4

5 Oppgave 6 (3 poeng) Funksjonen f er gitt ved 3 f x x x 1x 1 3. a) Bestem f x 3 1 f x x x 3 f x x x x x 1 6 b) Tegn fortegnslinjen til f x synker. Vi setter f x 0 f x x x 1 0 x x 6 0 x x 3 x Bruk denne til å avgjøre hvor grafen til f stiger, og hvor den Det er bare i nullpunktene at uttrykket for den deriverte kan skifte fortegn. Vi velger derfor tilfeldige verdier i hvert av de aktuelle intervallene, 3, 3, uttrykket er positivt eller negativt f f f og, for å se om Vi kan da sette opp fortegnslinjen til f x x - verdier x 3 f 0 0 Vi ser av fortegnslinjen at Grafen stiger for x, 3 og i x,. Grafen synker for x 3, Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 013 Side 5

6 Oppgave 7 ( poeng) Tog A og tog B starter samtidig fra stasjon 1. De kjører på hvert sitt spor til stasjon. Kjørelengden er 10 km for begge togene. Gjennomsnittsfarten til tog A er v km/h, og dette toget bruker t timer på strekningen mellom stasjonene. Gjennomsnittsfarten til tog B er 0 km/h større enn til tog A, og tog B bruker én time kortere tid enn tog A. Stasjon 1 Tog A Stasjon Tog B Forklar at vi kan sette opp likningssystemet vt 10 v0t1 10 Bestem gjennomsnittsfarten til hvert av togene. For begge togene gjelder at kjørt strekning er lik fart multiplisert med tiden de bruker på strekningen. Ut fra opplysningene som er gitt i oppgaven, får vi da 1 v 10 A ta SA vt vb tb S B v0t t vt 10 v v 0t v v v v v 0 10 v v v 010 v 10v 10v v 400 0v 10v v 0v v v v 40 t 3 40 Tog A har en gjennomsnittsfart på 40 km/h. Tog B har en gjennomsnittsfart på 60 km/h. Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 013 Side 6

7 Del Tid: 3 timer Hjelpemidler: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave 1 (6 poeng) En epledyrker har funnet ut at 80 % av eplene han plukker, har god nok kvalitet til at de kan selges til vanlig forbruk. Resten går til produksjon av eplesaft, syltetøy og liknende. a) En dag plukker han 70 epler. Bestem sannsynligheten for at akkurat 60 av disse eplene kan selges til vanlig forbruk. Dette er en binomisk situasjon med p 0,8. Jeg bruker sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra. Sannsynligheten for at akkurat 60 av disse eplene kan selges til vanlig forbruk er 6,3 %. b) Bestem sannsynligheten for at minst 60 av disse eplene kan selges til vanlig forbruk. Sannsynligheten for at minst 60 av disse eplene kan selges til vanlig forbruk er 14,68 %. Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 013 Side 7

8 Epledyrkeren selger epler fra en kasse som inneholder 80 epler av sort A og 100 epler av sort B. Eplene er lagt tilfeldig ned i kassen. c) En kunde kjøper 0 epler. Bestem sannsynligheten for at kunden får akkurat 10 av hver sort når eplene trekkes ut tilfeldig. Dette er en hypergeometrisk situasjon med et utvalg på 0 epler av til sammen 180 epler. n 80 svarer til at det er 80 epler av sort A totalt. X står for antall epler av sort A i utvalget, og når det er 10 epler av sort A, er det også 10 epler av sort B i utvalget. Jeg bruker sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra. Sannsynligheten for at kunden får akkurat 10 epler av hver sort er 16,7 %. Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 013 Side 8

9 Oppgave (5 poeng) Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom høyden over havet målt i kilometer og lufttrykket målt i hektopascal (hpa), under visse betingelser. Høyde x (km over havet) 0 1,10,10 4,0 6,00 Lufttrykk Px (hpa) Jeg løser alle oppgavene i GeoGebra. Se figur nedenfor a) Bruk eksponentiell regresjon til å bestemme en modell px som viser lufttrykket som funksjon av høyden x over havet. Jeg får modellen px 1019,56 0,89 x b) Titicacasjøen ligger 3,8 km over havet på grensen mellom Peru og Bolivia. Bruk modellen px og bestem lufttrykket i denne høyden. Jeg leste grafisk fra modellen punktet 3,8, 3,8 3,8, 644,67 Lufttrykket 3,8 km over havet er 645 hpa. p. c) Bestem ved regning hvor høyt vi er over havet når vi måler lufttrykket til 700 hpa. Løsning av likningen px 700 viser at Vi er 3,1 km over havet når lufttrykket er 700 hpa. Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 013 Side 9

10 Oppgave 3 (10 poeng) Funksjonen f er gitt ved 4 4 f x x x a) Tegn grafen til f når x,5,,5. b) Bestem ved regning grafens skjæringspunkter med koordinataksene. Grafen skjærer x-aksen for x, x 0 og x Grafen skjærer y-aksen for y 0 Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 013 Side 10

11 c) Bruk f x til å avgjøre hvor grafen til f stiger, og hvor den synker. Bestem koordinatene til topp- og bunnpunkter på grafen til f. Grafen til f stiger når f er positiv og synker når f er negativ. Den deriverte funksjonen kan bare skifte fortegn i nullpunktene. Regningen ovenfor viser derfor at Grafen til f stiger når 1,41 x 0 og når x 1,41 Grafen til f synker når x 1,41 og når 0 x 1,41 Koordinatene til toppunktet er 0, f(0 0,0 Koordinatene til bunnpunktene er og 1,41, f(1,41 1,41, 4 En annen funksjon er gitt ved ax g x, der a er en konstant. Grafen til g skal gå gjennom de to bunnpunktene på grafen til f. d) Bestem a. Jeg lar konstanten a være en glider i GeoGebra. Jeg regulerer glideren inntil grafen til g går gjennom bunnpunktene til f. Jeg får at a e) Tegn grafen til g i samme koordinatsystem som grafen til f. Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 013 Side 11

12 Oppgave 4 (6 poeng) En bedrift produserer to typer laksefôr, Godlaks og Gladlaks. For å lage 1 tonn av fôret Godlaks blandes 300 kg av stoffet A og 700 kg av stoffet B. For å lage 1 tonn av fôret Gladlaks blandes 600 kg av stoffet A og 400 kg av stoffet B. Bedriften kan hver uke få kjøpt inntil 0 tonn av stoffet A og inntil 18 tonn av stoffet B. Den maksimale produksjonsmengden er inntil 35 tonn laksefôr per uke Bedriften produserer x tonn av fôret Godlaks og y tonn av fôret Gladlaks hver uke. a) Forklar at x og y må oppfylleulikhetene x0, y0 0,3x 0,6y 0 0,7x0,4y18 xy35 Marker det området som x og y må tilhøre i et koordinatsystem. Bedriften kan ikke produsere et negativt antall tonn med fôr, derfor må vi ha x 0 og y 0. Det går med 0,3 tonn av stoffet A for å lage 1 tonn Godlaks, og 0,6 tonn av stoffet A for å lage 1 tonn Gladlaks. Forbruket av stoff A er lik eller mindre enn 0 tonn. Det betyr at 0,3x0,6y 0. Det går med 0,7 tonn av stoffet B for å lage 1 tonn Godlaks, og 0,4 tonn av stoffet B for å lage 1 tonn Gladlaks. Forbruket av stoff B er lik eller mindre enn 18 tonn. Det betyr at 0,7x 0,4 18. Maksimal produksjonsmengde på 35 tonn betyr at xy 35 Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 013 Side 1

13 Bedriften selger hele produksjonen. Salgsprisen for fôret Godlaks er kroner per tonn, mens fôret Gladlaks selges for kroner per tonn. b) Hvor mye må bedriften produsere av hver fôrtype for at salgsinntekten per uke skal bli størst mulig? Bestem denne salgsinntekten. Inntektsfunksjonen for bedriften er Ix, y 5000x 8500y. Jeg lar inntekten være glideren i i GeoGebra og tegner grafen til linjen i 5000 x 8500y Jeg regulerer glideren inntil «inntektslinjen» tangerer det skraverte området. Maksimal salgsinntekt per uke blir på kroner Det produseres da 3,33 tonn Godlaks og 31,67 tonn Gladlaks. Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 013 Side 13

14 Oppgave 5 (9 poeng) En bedrift har funnet ut at de samlede kostnadene f ved å produsere x enheter av en vare er gitt ved 55 0,01x f x a) De samlede kostnadene må ikke overstige 00. Hvor mange enheter kan bedriften da høyst produsere? Bedriften kan høyst produsere 10 enheter. b) Hele produksjonen blir solgt. Salgsinntekten g er gitt ved 1,6 g x x Hvilke produksjonsmengder gir overskudd for bedriften? Hvilken produksjonsmengde gir størst overskudd? Hvor stort er dette overskuddet? For produksjonsmengder mellom 50 og 110 enheter er inntekten større enn kostnadene, og bedriften går med overskudd. Jeg definerer overskuddsfunksjonen Ox gx f x. Med kommandoen «Ekstremalpunkt» fant jeg toppunktet på denne funksjonen. Maksimalt overskudd er 9. Dette oppnås med en produksjonsmengde på 80 enheter. Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 013 Side 14

15 Hvis prisen per enhet er p, kan salgsinntekten skrives som hx p x Bedriften vil undersøke hvor lavt prisen kan settes dersom det skal være mulig å oppnå balanse mellom kostnader og inntekter. c) Forklar at vi kan bestemme denne minsteprisen når grafen til h tangerer grafen til f. Se figuren. Prisen p er stigningstallet til linjen h. La p 0 være den prisen som gjør at grafen til h tangerer grafen til f. Hvis p p0 så vil grafen til h ligge under grafen til f og kostnadene er hele tiden høyere enn inntektene. Hvis p p0 så vil grafen til h skjære grafen til f og det kan oppnås balanse mellom kostnader og inntekter. Det betyr at p p0 er den minste prisen som gjør det mulig å oppnå balanse mellom kostnader og inntekter. Det kan vises at den minste prisen som vil gi balanse, er p 1,48 d) Forklar at prisen er minst når p f a, der a er førstekoordinaten til tangeringspunktet T på figuren. Bruk dette til å bestemme hvor mange enheter det produseres og selges når prisen er minst. Minsteprisen p 0 er, som vist ovenfor, stigningstallet til tangenten til f i T, altså for x a. f' a er jo per definisjon også stigningstallet til f for x a. p0 f ' a. 55 0,01 0,0 0,0 1,48 74 Men Det betyr at f x x f x x x x Det produseres og selges 74 enheter når prisen er minst. e) Likningen f x hx kan omformes til 0,01x px Bestem en verdi for p som gjør at denne likningen har bare én løsning. Forklar hvorfor denne verdien er den minste prisen som vil gi balanse. p p, 0,01x px 55 0 x, p 0 0,0 Likningen har bare én løsning når p p p, 0, 1,48 Når likningen har to løsninger, er overskuddet lik null for disse x -verdier og overskuddet er positivt for produksjonsmengder mellom disse x -verdier. Se punkt b. Når likningen bare har én løsning, så tangerer grafen til inntektsfunksjonen grafen til kostnadsfunksjonen For mindre Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 013 Side 15

16 verdier av p blir uttrykket under rottegnet negativt, og likningen har ingen løsning. Grafene skjærer ikke hverandre. Prisen p 1,48 er derfor den minste prisen som gir balanse. Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 013 Side 16