Eksamen S2, Va ren 2013

Transkript

1 Eksamen S, Va ren 0 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Oppgave ( poeng) Deriver funksjonene f x x e a) x x x f x x e x e x x e x e e x x b) gx g x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Eksamen REA08 Matematikk S, Våren 0 Side

2 Oppgave (4 poeng) a) Forkort brøken ved å bruke polynomdivisjon x x x x x x x x : x x x Det betyr at x 0 x x x x x b) Bestem tallet a slik at divisjonen går opp x x a: x x x x x a : x x x a x a a 0 a Det betyr at divisjonen går opp hvis a Alternativt: Divisjonen går opp hvis x er en løsning av likningen a 0 a 9 6 x x a 0 Eksamen REA08 Matematikk S, Våren 0 Side

3 c) Bestem tallet b slik at divisjonen går opp x x 4 : x b Divisjonen går opp hvis x b b er en løsning av likningen x x b b 4 0 b b 4 eller b Oppgave ( poeng) Det n -te leddet i en geometrisk rekke er gitt ved a n 0, n Forklar at rekken er konvergent. Hva blir summen? Rekken er konvergent fordi forholdstallet 0, er et tall som ligger mellom og. a 0, Summen av rekken er S 0 k 0, 0,, Oppgave 4 ( poeng) Løs likningssystemet x y z x y z 7 x y z 9 x y z x y z 7 x y z 9 x y z x y z x y z y z y z 7 6 y z y z 7 y z yz yz 9 y z y z 9 4y z x y z x y z x y z x 5 0 y z y z y z y 5 4z z z 4 z z 6 z Eksamen REA08 Matematikk S, Våren 0 Side

4 Oppgave 5 (5 poeng) Funksjonen f er gitt ved a) Bruk f x f x x 6x 9x til å bestemme eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f. f x x x x f x x x x x x x f x 0 x x 0 x x f f f Regningen viser at grafen stiger når x er mindre enn, grafen synker mellom og, og grafen stiger for x -verdier større enn. Siden også den deriverte er null for x og x, så betyr det at grafen har et toppunkt for x og et bunnpunkt for x. Funksjonsverdien i toppunktet er f Funksjonsverdien i bunnpunktet er f 6 9 b) Bruk f x f x x til å bestemme eventuelle vendepunkter på grafen til f. f x x x 9 6 f x 0 6x 0 x Dette betyr at grafen har ett vendepunkt, for x Funksjonsverdien til vendepunktet er f 6 9 c) Lag en skisse av grafen til f. Eksamen REA08 Matematikk S, Våren 0 Side 4

5 Oppgave 6 ( poeng) Sannsynlighetsfordelingen for en stokastisk variabel X er gitt ved følgende tabell: x 0 4 P X t p p p 0, p a) Forklar hvorfor p 0, Samlet sannsynlighet er lik. Da er p p p 0, p 7p 0,7 p 0, b) Bestem E X og Var X E X x P X x 0p p p 0, 4 p p 0,9 0, 0,9,0 0,8 0, 0 0, 0,4,6 Var X x E X P X x Var X Var X Var X 0,0 0,,0 0,,0 0,,0 0, 4,0 0, Eksamen REA08 Matematikk S, Våren 0 Side 5

6 Oppgave 7 (4 poeng) Vi har gitt fire stokastiske variabler X, X, X og X 4 som alle er normalfordelte. Forventningsverdien E og standardavviket SD for disse er E X 5 og SD X E X 5 og SD X E X 0 og SD X E X 0 og SD X 4 4 a) Hvilke av de grafiske framstillingene nedenfor illustrerer X, X, X og X 4? Begrunn svaret. For framstilling og er forventningsverdien E 0 siden grafene er symmetriske om linjen x 0. Framstilling har større spredning av sannsynlighetene enn framstilling. Det betyr at standardavviket er størst i framstilling. Det betyr at framstilling illustrerer X 4 og framstilling illustrerer X. For framstilling og 4 er forventningsverdien E 5 siden grafene er symmetriske om linjen x 5. Framstilling har større spredning av sannsynlighetene enn framstilling 4. Det betyr at standardavviket er størst i framstilling. Det betyr at framstilling illustrerer X og framstilling 4 illustrerer X. b) For den ene variabelen er P X 7 4 0,75. Hvilken variabel er det? Begrunn svaret. For den aktuelle variabelen skal 75 % av arealet under kurven ligge mellom linjene x 7 og x 4. Av figurene ser jeg at det bare kan stemme for framstilling. Det er for variabel X. Eksamen REA08 Matematikk S, Våren 0 Side 6

7 Del Tid: timer Hjelpemidler: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave (6 poeng) En bedrift produserer og selger en vare. En markedsanalyse viser at etterspørselen E kan skrives som der p er prisen i kroner per enhet E p p a) Vis at grenseinntekten er gitt ved der E p I' x 500 0,5x x er antall solgte enheter av varen Siden sammenhengen mellom pris og antall enheter er kjent, kan jeg først finne et uttrykk for inntekten som pris per enhet multiplisert med antall enheter. Jeg deriverer inntektsfunksjonen og finner grenseinntekten. E P x p p 500 0,5x I x p x 500 0,5x x 500x 0,5x I' x 500 0,5x 500 0,5x Bedriften regner med at kostnadene K x 0,0x 0x K x kroner ved å produsere og selge x enheter er gitt ved b) Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge for at overskuddet skal bli størst mulig? Hva er prisen per enhet da? Overskuddet er størst når grenseinntekten og grensekostnaden er like store Bedriften må produsere og selge 74 enheter for at overskuddet skal bli størst mulig. Eksamen REA08 Matematikk S, Våren 0 Side 7

8 Prisen per enhet er da (fra oppgave a) p500 0,5x 500 0, kroner c) Bedriften ønsker å øke sin markedsandel og vil derfor sette ned prisen, slik at flere kjøper produktet. Hva er den minste prisen bedriften kan sette for likevel å kunne gå i balanse? Jeg finner først overskuddsfunksjon som funksjon av antall enheter, ut fra inntekts- og kostnadsfunksjonene. Jeg kan da finne overskuddsfunksjonen som funksjon av pris, siden E P x p. Jeg tegner grafen til overskuddsfunksjonen, finner skjæringspunktene med grafen og x-aksen og ser at priser mellom 0 kroner og 99 kroner gir overskudd for bedriften. Den minste prisen bedriften kan sette for likevel å kunne gå i balanse er 0 kroner. Eksamen REA08 Matematikk S, Våren 0 Side 8

9 Oppgave (7 poeng) Et firma A importerer og selger et produkt. Antall solgte enheter per år kan beskrives ved modellen,45 e 0, f x x der x er antall år etter 006. a) Hvor mange enheter solgte firma A i 0 ifølge denne modellen? År 0 er 6 år etter år 006. Utregning i GeoGebra viser at det etter denne modellen ble solgt 44 enheter i 0. Et konkurrerende firma B importerer og selger et tilsvarende produkt. Antall solgte enheter per år i firma B ser du i tabellen nedenfor. Antall år etter Antall solgte enheter per år b) Bestem ut fra disse tallene en logistisk modell som viser antall solgte enheter per år i firma B. Jeg brukte kommandoen «RegLogist[<Liste med punkt>]» i GeoGebra, og fikk funksjonen som en modell for antall solgte enheter per år i firma B. g x c) Hvilket firma vil i det lange løp selge flest enheter per år ifølge de to modellene? I begge modellene vil eksponetialfunksjonene i nevnerne gå mot null når antall år blir stort. Firma A vil derfor i det lange løp nærme seg solgte enheter per år og firma B vil i det lange løp nærme seg 7 solgte enheter per år. Firma A vil i det lange løp selge flest enheter per år. Eksamen REA08 Matematikk S, Våren 0 Side 9

10 d) Hvor mange enheter forventes det at hvert av de to firmaene importerer og selger totalt i årene fra og med 006 til og med 05? «Areal under graf» gir en tilnærmet verdi for totalt salg. Arealet under grafen fra x 0 til x kan vi tolke som totalt salg i år 006, og arealet under grafen fra x 9 til x 0 kan vi tolke som totalt salg i år 05. Jeg brukte kommandoen «Integral» i GeoGebra og fant tallene a og b som arealene under kurvene Firma A kan forvente å importere og selge totalt 0 enheter i årene fra og med 006 til og med 05. Firma B kan forvente å importere og selge totalt 5 enheter i årene fra og med 006 til og med 05. Eksamen REA08 Matematikk S, Våren 0 Side 0

11 Oppgave (6 poeng) Svanhild vurderer å ta opp et annuitetslån på kroner. Hun kan velge mellom en fast årlig rente på,5 % og flytende rente. Lånet har én termin per år med en nedbetalingstid på 0 år. Første innbetaling skjer om ett år. a) Forklar hvorfor vi kan bestemme terminbeløpet ved en fast årlig rente på,5 % ved å løse følgende likning x ,05,05,05,05 Bestem terminbeløpet ved å løse denne likningen. Svanhild skal betale et fast årlig terminbeløp, x. For å sammenlikne verdien av terminbeløpene omregner vi alle terminbeløpene til verdien de ville hatt da lånet ble tatt opp. Disse verdiene kaller vi nåverdiene til terminbeløpene. Figuren gir en oversikt over situasjonen. Nå.år.år 0.år x x x x Summen av nåverdiene til terminbeløpene må være lik lånets verdi. x x x x ,05,05,05,05 x Jeg setter,05 utenfor parentes på venstre side i likningen og får x ,05,05,05,05 Ved å løse denne likningen kan vi altså bestemme terminbeløpet. Eksamen REA08 Matematikk S, Våren 0 Side

12 Parentesuttrykket i likningen danner en geometrisk rekke med a, Likningen blir da k og n 0.,05 0 x, ,05,05 Jeg løser likningen i GeoGebra Det årlige terminbeløpet er på 4 7 kroner Svanhild vurderer å be banken om å endre lånebetingelsene b) Hva er den høyeste renten Svanhild kan ha dersom hun maksimalt kan betale kroner i terminbeløp med 0 års nedbetalingstid? Jeg setter terminbeløpet til kroner og lar rentesatsen være ukjent Den høyeste renten Svanhild kan ha er 5,45 % Eksamen REA08 Matematikk S, Våren 0 Side

13 Bankens rådgiver mener at Svanhild må kunne betale en fast årlig rente på 6,5 %. For at Svanhild skal klare en slik rente, må hun øke antall terminer. Lånet har fremdeles én termin per år. c) Hvor mange terminer må Svanhild betale dersom terminbeløpet skal være mindre enn kroner med en fast årlig rente på 6,5 %? Jeg lar nå antall terminer være ukjent i likningen og lar terminbeløpet være kroner Etter 4 terminer gjenstår da et restbeløp. For at terminbeløpet skal være mindre enn kroner, må antall terminer være minst 5. Eksamen REA08 Matematikk S, Våren 0 Side

14 Oppgave 4 (4 poeng) Ifølge tall fra Statistisk sentralbyrå røykte 7 % av befolkningen i 0. For å få ned dette tallet startet myndighetene en kampanje. Etter at kampanjen var over, ville myndighetene undersøke om den hadde hatt effekt. 00 tilfeldig valgte personer over 6 år ble spurt om de røykte. Vi kan se på denne undersøkelsen som et binomisk forsøk. Av de 00 som ble spurt, svarte personer at de røykte a) Sett opp en passende nullhypotese og en alternativ hypotese for dette forsøket. Nullhypotesen H 0: Fortsatt røyker 7 % av befolkningen Alternativ hypotese H : Det er nå mindre enn 7 % av befolkningen som røyker b) Avgjør om myndighetene har grunn til å tro at kampanjen hadde effekt. Bruk et signifikansnivå på 5 %. Jeg bruker sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra og finner at sannsynligheten for at eller færre personer i et tilfeldig utvalg på 00 personer røyker, forutsatt at 7 % av hele befolkningen røyker, er,4 %. Denne sannsynligheten er ikke mindre enn signifikansnivået på 5 %. Det er altså ikke grunnlag for å si at andelen av befolkningen som røyker har blitt mindre enn 7 %. Myndighetene har derfor ikke grunn til å tro at kampanjen hadde effekt. (Siden P PX -verdien 0,4.4 % er større enn signifikansnivået på 5 %, er det ikke grunnlag for å forkaste nullhypotesen H 0.) Eksamen REA08 Matematikk S, Våren 0 Side 4

15 Oppgave 5 (7 poeng) Funksjonen f er gitt ved f x e x5 a) Tegn grafen til f. Jeg definerer funksjonen i GeoGebra og tegner grafen. b) Bestem f' f x e x. Bruk produktregelen og kjerneregelen for derivasjon, og vis at x5 f '' x x 0x 4 e Bruk dette resultatetet til å bestemme koordinatene til vendepunktene på grafen til f. x5 Kjerneregelen ' x5 x5 x 5 ' 5 ' x5 x5 ' x5 f x e e x e x 5 f '' x e x 5 e x 5 Produktregelen x5 x5 f '' x e x 5x 5 e x5 f '' x e x 0x 5 x5 f '' x x 0x 4 e Eksamen REA08 Matematikk S, Våren 0 Side 5

16 I vendepunktene på grafen til f er den dobbeltderiverte lik null f'' x 0 når x 0x 4 0 Grafen til f har vendepunktene 4, 0,6 og 6, 0,6 For en normalfordelt variabel X med 5 og gjelder Pa X b f xdx b a c) Bruk integralet til å bestemme P a X b der a og b er x-koordinatene til vendepunktene. Jeg bruker GeoGebra og får P 4 X 6 0,68 Eksamen REA08 Matematikk S, Våren 0 Side 6

17 Oppgave 6 (6 poeng) En likesidet ABC har areal lik T. Midtpunktene på sidene i ABC er hjørnene i en ny likesidet DEF med areal lik T. Midtpunktene på sidene i CDE er hjørnene i en ny likesidet GHI med areal lik T. Etter samme metode lager vi trekanter med areal T, T 4, og så videre. Denne prosessen tenker vi oss fortsetter i det uendelige. Se skissen nedenfor. a) Forklar at rekken av arealer T T T kan skrives som T T T DEF er én av fire like store likesidede trekanter med samlet areal lik arealet til ABC. T DEF har derfor arealet T. 4 GHI er én av fire like store likesidede trekanter med samlet areal lik arealet til CDE. T T GHI har derfor arealet T T T Tilsvarende er T T, og slik fortsetter det b) Vis ved regning eller ved å studere figuren at summen av rekken er lik T. T Rekken er konvergent geometrisk med a og k, og har sum 4 4 T T S T T 4 Eksamen REA08 Matematikk S, Våren 0 Side 7

18 c) Omkretsen av ABC er lik. Trekanten som har areal lik T n har omkrets lik O n. Forklar at rekken av omkretser O O O kan skrives som 4 8 Bestem summen av rekken. Sidene i DEF er halvparten av sidene i ABC. Omkretsen til DEF må da være halvparten av omkretsen til ABC. Det vil si at O Sidene i GHI er halvparten av sidene i DEF. Omkretsen til GHI må da være halvparten av omkretsen til DEF. Det vil si at O O. 4 Tilsvarende er O O, og slik fortsetter det. 4 8 Rekken er konvergent geometrisk med a og k, og har sum S Eksamen REA08 Matematikk S, Våren 0 Side 8